Вычисление ОДПФ с помощью алгоритма прямого ДПФ
Как показано в п. 3.1.2.3ОДПФ последовательности конечной длины определяется в соответствии с формулой (3.13), которая с учетом (3.18) может быть записана в виде
Взяв выражение, комплексно сопряженное с данным, и умножив обе части его на N, получим:
Сравнивая полученное соотношение с (3.19), можно заметить, что его правая часть представляет собой ДПФ последовательности {X*(ejωn)} и может быть вычислена с помощью алгоритма БПФ.
Искомую последовательность {x(k∆t)} можно получить, взяв комплексно-сопряженное с последним выражение и разделив его на N, т.е.
(3.24)
Таким образом, с помощью алгоритма БПФ можно вычислить часть выражения (3.24), заключенную в квадратные скобки. Для того, чтобы получить отсчеты х(k∆t), т.е. определить ОДПФ, нужно результаты БПФ подвергнуть комплексному сопряжению и разделить на N .
Свертка последовательностей
Свертка последовательностей - эта алгебраическое действие над двумя последовательностями. Данное действие играет большую роль в теории дискретных линейных систем, так как позволяет определять выходной сигнал линейной системы по известному входному воздействию и импульсной реакции системы. В результате свертки последовательностей {х(k∆t)} и {у(k∆t)} получается новая последовательность {w(k∆t)}. Символом операции свертки является *, т.е.
|
|
Математически действие свертки описывается соотношением
(3.25)
Соотношение (3.25) называется бесконечной сверткой и соответствует общему случаю, когда обе исходные {х(k∆t)} и {у(k∆t)}, а следовательно, и результирующая {w(k∆t)} последовательности непериодичны и содержат бесконечное число отсчетов.
На практике часто приходится иметь дело с последовательностями конечной длины, теория обработки которых базируется на результатах, полученных при обработке периодических последовательностей. В связи с этим оказываются полезными понятия периодической или круговой свертки и апериодической, или линейной свертки.
Круговая (периодическая) свертка последовательностей
Если {хр(k∆t)} и {ур(k∆t)} - две периодические последовательности с периодами по N отсчетов, то их круговой (или периодической) сверткой называется последовательность {wр(k∆t)}, определяемая соотношением
(3.26)
Последовательность {wр(k∆t)} также является периодической с периодом в N отсчетов.
|
|
Понятие круговой свертки позволяет рассмотреть еще одно (четвертое) свойство ДПФ. Пусть Xp(nω) и Yp(nω) - ДПФ последовательностей {хр(k∆t)} и {ур(k∆t)}. Найдем ДПФ Wp(nω) их круговой свертки {wp(k∆t)}. Для этого подставим в (3.10) значение wp(k∆t), определяемое (3.26):
(3.27)
Итак, ДПФ круговой свертки равно произведению ДПФ свертываемых последовательностей. Рассмотренное свойство ДПФ позволяет реализовать метод вычисления круговой свертки, называемый методом быстрой свертки в отличие от непосредственного вычисления по формуле (3.26), называемого прямой, или медленной сверткой. Сущность метода быстрой свертки заключается в следующем:
1) определяется ДПФ свертываемых последовательностей Xp(nω) и Yp(nω);
2) в результате перемножения ДПФ последовательностей определяется ДПФ свертки Wp(nω);
3) определяется круговая свертка последовательностей wp(k∆t) как ОДПФ от Wp(nω). Названием "быстрая" этот метод обязан тому, что на этапах нахождения ДПФ и ОДПФ предполагается использование алгоритма БПФ.
Даже при небольших N (порядка 32) быстрая свертка оказывается эффективнее прямой.
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 538; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!