На этапе аппроксимации необходимо получить аналитическое выражение для рабочей передаточной функции, удовлетворяющей УФР.
При расчетах используют два вида аппроксимации:
1. Аппроксимация по Тейлору: аппроксимирующая функция совпадает с исходной в одной точке, в остальных монотонно отклоняется не более чем на заданную величину ∆.
2. Аппроксимация по Чебышеву: аппроксимирующая функция колеблется относительно исходной, отклоняясь на заданную величину ∆ в некотором интервале, а в не его резко отклоняется.
При проектировании фильтров по рабочему ослаблению на этапе аппроксимации задают функцию фильтрации. В зависимости от вида функции фильтрации получают различные типы фильтров.
Если в качестве функции фильтрации используются полиномы, то фильтры называются полиномиальными. Среди полиномиальных фильтров широко используются:
Ø фильтры Баттерворта (в качестве функции фильтрации полиномы Баттерворта)
Ø фильтры Чебышева (в качестве функции фильтрации полиномы Чебышева)
Если в качестве функции фильтрации используется дробно-рациональная функция, например, дробь Золотарева-Кауэра, то имеем фильтр Золотарева-Кауэра.
На этапе реализации по найденной рабочей передаточной функции определяется схема фильтра и величины ее элементов.
Технические требования, предъявляемые к фильтрам:
Граничные частоты ПП и ПЗ
2. максимальное допустимое ослабление в ПП (или коэффициент отражения)
[дБ].
Минимальное допустимое ослабление в ПЗ
|
|
4. сопротивление нагрузки
Функция фильтрации
В теории электрических фильтров фильтры описываются передаточной функцией вида:
(1)
При этом рабочее ослабление при использовании нормированной частоты
(2)
Здесь – нормированная частота, а - нормирующая частота. Обычно в качестве нормирующей выбирают граничную частоту полосы пропускания ω2.
Функция называется функцией фильтрации, а - коэффициентом неравномерности ослабления. В общем случае - дробно-рациональная функция с вещественными коэффициентами (в частности полином), удовлетворяющая условиям: в полосе пропускания и в полосе непропускания фильтра.
В зависимости от вида функции фильтрации получают различные типы фильтров. Если в качестве функции фильтрации используют полиномы, то фильтры называются полиномиальными. Среди полиномиальных фильтров широкое использование нашли фильтры Баттерворта и Чебышева. Если - дробно-рациональная функция, например, дробь Золотарева, то получают фильтр Золотарева - Кауэра.
Следует отметить, что есть смысл подробно изучать только ФНЧ, т.к. другие типы фильтров могут быть легко получены из ФНЧ заменой (преобразованием) частоты.
|
|
Фильтры Баттерворта
Если в выражениях, описывающих квадрат АЧХ фильтра (1) и его рабочее ослабление (2), в качестве функции фильтрации используются полиномы Баттерворта , то такие фильтры называются фильтрами Баттерворта.
Из формул (1) и (2) следует, что для фильтров Баттерворта на частоте значение квадрата АЧХ равно единице, а рабочего ослабления – нулю. С ростом частоты квадрат АЧХ фильтра Баттерворта уменьшается и падает до нуля на бесконечно большой частоте. Рабочее ослабление плавно растет до бесконечно большого значения. Таким образом, выражения (1) и (2) приближенно воспроизводят характеристики идеального фильтра.
Чтобы эти характеристики «вписывались» в предъявляемые к фильтру требования, необходимо иметь рабочее ослабление (2) в полосе пропускания меньше ΔА= , а в полосе непропускания большее . Первому условию можно удовлетворить, если потребовать на граничной частоте полосы пропускания ( ) выполнения равенства или . Отсюда с учетом (1) И (2) имеем , вычисляем коэффициент : (3),
который называется коэффициентом неравномерности ослабления в полосе пропускания фильтра. В этой формуле величина имеет размерность непер. Если воспользоваться значениями в дБ, то (4). 0 < ε Если ε=1, то АР=3 дБ.
|
|
С учетом введенных обозначений квадрат АЧХ фильтра Баттерворта запишется в виде:
Эта функция удовлетворяет свойствам квадрата АЧХ реальных ЧП, и поэтому ей можно сопоставить физически осуществимый фильтр.
Рабочее ослабление фильтра Баттерворта:
, дБ
, Нп Крутизна частотных характеристик зависит от степени n – порядка фильтра. Чем больше степень n, тем выше крутизна характеристики.
Таким образом, для удовлетворения требований в полосе непропускания необходимо выбрать соответствующий порядок фильтра n. Его легко определить из условия: на граничной частоте полосы непропускания Ω3:
или . С учетом этого условия получаем: , откуда . Логарифмируя обе части неравенства, придем к окончательному выражению:
. Здесь Ω3=ω3/ω2 Округление производится в большую сторону до целого числа.
Величина входит в формулу в неперах. Если вычислять ее в децибелах, то
.Фильтры Баттерворта называют также фильтрами с максимально плоским ослаблением в полосе пропускания.
где
Корни уравнения , лежащие в левой полуплоскости, принадлежат , являющемуся полиномом Гурвица. Следовательно, функция: удовлетворяет условиям физической реализуемости.
|
|
Эти корни определяются соотношениями:
и позволяют найти искомую передаточную функцию в виде:
. (3.7)
Рабочее ослабление нетрудно теперь получить через передаточную функцию на основании :
дБ.
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 585; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!