ЛОДУ второго пордка с переменными коэффициентами-степенными функциями. Уравнения Эйлера.
6.1.1. Подстановка Эйлера (сведение к ЛОДУ с постоянными коэффициентами). ЛОДУ второго порядка, у которых коэффициенты при производных-степенные функции с показателем равным порядку производной с помощью подстановки Эйлера сводятся к ЛОДУ с постоянными коэффициентами
(1)
решение которого определяется известными методами, изложенными в предыдущих лекциях.
6.1.2. Метод характеристических показателей степенных фундаметальных решений Эйлера. Полагая фундаментальные решения соответствующих однородных ЛОДУ в виде степенных функций с искомым показателем 
(2)
Характеристическое (вековое) определяющее уравнение для чисел -алгебраическое уравнение второго порядка, корням которого
(3)
соответствуют следующие фундаментальные решения
- корни действительные простые (некратные) 
(4)
- корни действительные кратные 
(5)
- корни комплксно-сопряженные 
(6)
Пример 13 (РГР). Решить уравнение
Используем метод подстановки Эйлера-степенных фундаментальных решений, в соответствии с которым однородному уравнению ставится в соответствие вековое уравнение и фундаментальные решения
Правая часть специального вида, поэтому частное решение может быть определено методом неопределенных коэффициентов по схеме
6.2. Общие и частные решения для ОДУ второго порядка. Для ОДУ второго порядка определены три основные типа задач:
-определение общего решения ОДУ на заданном промежутке 
;
(7)
-определение частного решения ОДУ на заданном промежутке , удовлетворяющем начальному условию (условию Коши), когда заданы значение искомой функции и ее производной в заданной точке промежутка
(8)
-определение частного решения ОДУ на заданном промежутке , удовлетворяющем граничным условиям (краевым), когда заданы значение искомой функции или ее производной в конечных точках промежутка.
Краевая задача для ОДУ второго порядка.
Произвольные постоянные (две) интегрирования в общем решении ОДУ определяются из дополнительных краевых (граничных) условий. Для ЛОДУ второго порядка
(9)
различают три типа линейных краевых условий:
-условия первого рода (Дирихле), когда на краях интервала заданы значения искомой функции
(10)
-условия второго рода (Неймана), когда на краях интервала заданы значения производных искомой функции
(11)
-условия третьего рода (Робина или Ньютона), когда на краях интервала заданы линеные комбинации значений искомой функции и ее производных
(12)
В результате постоянные интегрирования определяются из линейной системы двух алгебраических уравнений, дающей частное решение краевой (граничной) задачи для ОДУ второго порядка.
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 674; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!