Тема 1.2. Оптимизационные методы принятия управленческого решения в условиях определенности
Математические модели экономических задач линейного программирования
Примеры экономических ЗЛП, их математические модели.
Примеры решения типовых задач
Пример 1. Задача об использования сырья
Предприятие располагает двумя видами сырья S1 и S2 в количествах 10 и 15 условных единиц и изготавливает из него изделия трех видов П1, П2 и П3. Известен расход каждого вида сырья на единицу продукции, что задается матрицей расхода сырья . Известна прибыль от реализации единицы продукции, которая задается вектором . Найти такой план производства продукции, от реализации которого предприятие получит максимальную прибыль.
Составить экономико-математическую модель задачи.
Решение
Для наглядности данные задачи занесем в таблицу.
Таблица 1 – Исходные данные задачи об использовании сырья
Вид сырья | Расход сырья на 1 единицу продукции |
Запас сырья | ||
П1 | П2 | П3 | ||
S1 S2 | 1 4 | 2 3 | 3 2 | 10 15 |
Прибыль, ден. ед. | 2 | 4 | 3 |
Построим экономико-математическую модель. Запишем искомый план производства в виде , где - количество единиц продукции П1, П2, П3 соответственно. Система ограничений по расходу сырья примет вид
, , ,
а целевая функция (прибыли) .
Математическая модель задачи имеет стандартную форму.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Составить математическую модель задачи.
|
|
Для изготовления изделий А и В используется 3 вида сырья. В таблице приведены нормы расхода сырья всех видов на изготовление единицы каждого вида изделий, запасы сырья и прибыль от реализации единицы продукции А и В.
Таблица 2
Сырье | А | В | Запасы сырья |
S1 S2 S3 | 16 8 5 | 4 7 9 | 784 552 567 |
Прибыль, ден. ед. | 4 | 6 |
Задача 2. Составить математическую модель задачи.
На мебельной фабрике из стандартных листов фанеры необходимо вырезать заготовки трех видов в количестве не менее 24, 30 и 30 штук. Каждый лист фанеры может быть разрезан на заготовки двумя способами. В таблице приведено количество получаемых заготовок и величины отходов, которые получаются при раскрое одного листа фанеры при каждом способе.
Сколько листов фанеры по каждому способу следует раскроить, чтобы получить минимальные отходы от раскроя?
Таблица 3
Вид заготовки | Количество заготовок при раскрое по способу: | |
1 | 2 | |
I II III | 2 5 10 | 6 4 3 |
Отходы, кв. см | 12 | 16 |
Указание. - количество листов фанеры, раскраиваемых по 1-му и 2-му способам. Ограничения по количеству заготовок - неравенства вида . Целевая функция - общие отходы от раскроя.
Задача 3. Составить математическую модель задачи.
|
|
На станках Р1 и Р2 производится два вида продукции А и В. Для изготовления 1 ед. продукции А станок Р1 используется 2 часа, а станок Р2 - 3 час. Для 1 ед. продукции В это время равно соответственно 1 час и 2 часа. Продукции А должно быть произведено не более 4 ед.
В течение суток станок Р1 может работать не более 12 часов, а станок Р2 - не более 5 часов. От реализации 1 ед. А прибыль составляет 2 ден. ед., а от 1 ед. В - 1 ден. ед. Какое количество продукции вида А и В нужно произвести, чтобы чистая прибыль была максимальной?
Указание. - количество продукции вида А (вида В). Целевая функция - это доход от реализации продукции.
Задача 4.Составить математическую модель задачи.
Доски длиной 4,5 м, имеющиеся в достаточном количестве, следует распилить на заготовки длиной 1,7 м и длиной 1,4 м, причем заготовок первого вида должно быть получено не менее 86 штук и заготовок второго вида - не менее 90 штук. Каждая доска может быть распилена на указанные заготовки несколькими способами.
1) Требуется найти число досок, распиливаемых каждым способом, с тем, чтобы наименьшее количество заготовок было получено:
1) из наименьшего числа досок; 2) при минимальных отходах.
Указание. Для составления математической модели задачи нужно сначала определить всевозможные способы распила на заготовки нужной длины и подсчитать остатки доски от раскроя по каждому способу раскроя.
|
|
Дополнительные задачи
Задача 1*. Составить математическую модель задачи.
Рассматривается пять проектов, которые могут быть осуществлены в течение последующих трех лет. Ожидаемые величины прибыли от реализации каждого из проектов и распределение необходимых капиталовложений по годам (в тыс. руб.) приводятся в таблице.
Таблица 4
Проект | Распределение капиталовложений | Прибыль | ||
год 1 | год 2 | год 3 | ||
1 | 5 | 1 | 8 | 20 |
2 | 4 | 7 | 10 | 40 |
3 | 3 | 9 | 2 | 20 |
4 | 7 | 4 | 1 | 15 |
5 | 8 | 6 | 10 | 30 |
Максимальный объем капиталовложений | 25 | 25 | 25 |
Требуется выбрать совокупность проектов, которой соответствует максимум суммарной прибыли.
Задача 2*. Составить математическую модель задачи.
Совет директоров фирмы изучает предложения по наращиванию производственных мощностей на трех принадлежащих фирме предприятиях. Для расширения всех трех предприятий фирма выделяет средства в объеме 5 млн. руб.
Каждое предприятие представляет на рассмотрение проекты, которые характеризуются величинами суммарных затрат (C) и доходов (R), связанных с реализацией каждого из проектов.
|
|
Соответствующие данные приведены в таблице, в которую включены также проекты с нулевыми затратами. Это позволяет учесть возможность отказаться от расширения какого-либо предприятия.
Таблица 5
Проект | Предприятие 1 | Предприятие 2 | Предприятие 3 | |||
С1 | R1 | С2 | R2 | C3 | R3 | |
1 2 3 4 | 0 1 2 - | 0 5 6 - | 0 2 3 4 | 0 8 9 12 | 0 1 - - | 0 3 - - |
Цель фирмы состоит в получении максимального дохода от инвестиций.
Задача 3*. Составить математическую модель задачи.
В задаче выбора вариантов примем, что для получения результата в виде максимально возможной прибыли необходимо два вида ресурсов: материальные и трудовые Возможны четыре варианта расхода ресурсов и получения прибыли (табл.).
Таблица 6
Показатели | Варианты | Наличие | |||
1 | 2 | 3 | 4 | ||
Прибыль, д.е./ед. Материальные ресурсы Трудовые ресурсы | 65 200 10 | 80 180 15 | 90 240 22 | 210 250 28 | – 800 50 |
Требуется выбрать, какие варианты принять для реализации при условии, чтобы общее число принятых вариантов не превышало трех.
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 963; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!