Задачи для контрольной работы. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .
Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .
1. , . 14. .
2. , . 15. .
3. , . 16. .
4. . 17. .
5. , . 18. .
6. . 19. .
7. . 20. .
8. . 21. .
9. . 22. .
10. . 23. .
11. . 24. .
12. . 25. .
13. .
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
2.1. Частные производные.
2.1.1.Вычисление частных производных функции двух переменных.Пусть функция двух переменных задана в некоторой области координатной плоскости. Если зафиксировать значение у, то эту функцию можно рассматривать как функцию одной переменной х, и, следовательно , ставить вопрос о дифференцировании по переменой х. В этой ситуации производная , вычисленная по переменной х, называется частной производной от f по х; она обозначается также или . Точно также производную функции f, вычисленную по переменной у при фиксированном х, называют частной производной функции f по у и обозначают , или . При вычислении частных производных пользуются обычными правилами дифференцирования. В частности, если вычисляем , то множитель целиком зависящий только от переменной у, можно вынести за знак производной; точно также поступаем с множителем, целиком зависящим только от переменной х при нахождении .
|
|
Пример. Найти частные производные функции .
Решение. При вычислении множитель и слагаемое рассматриваем как постоянные величины. Следовательно,
При вычислении множитель рассматриваем как постоянную величину:
Итак,
2.1.2.Частные производные высших порядков.
Частные производные и данной функции можно, в свою очередь, рассматривать как функции двух переменных х и у. Следовательно, имеет смысл ставить вопрос о нахождении уже их частных производных - производных второго порядка:
-производная дважды по х; -производная дважды по у;
-«смешанные» частные производные второго порядка по переменным х и у.
Для элементарных функций двух переменных результат вычисления смешанных производных на самом деле не зависит от порядка дифференцирования: .
Пример. Вычислить все частные производные функции
Решение. Cначала вычисляем производные первого порядка:
Теперь , , .
Задачи для контрольной работы
Вычислить частные производные по переменным и данных функций.
|
|
1. . 14. .
2. . 15. .
3. . 16. .
4. . 17.
5. . 18. .
6. . 19. .
7. . 20. .
8. . 21. .
9. . 22. .
10. . 23. .
11. . 24. .
12. . 25. .
13. .
Производная неявной функции.
Неявная функция одной переменной.
Пусть зависимость переменной от переменной , т.е. функция задана неявно, т.е. в виде уравнения . Тогда производная функции может быть вычислена в виде
Пример. Неявная функция задана уравнением . Найти .
Решение. Имеем . Теперь ищем частные производные функции :
,
.
Следовательно, .
Итак, .
Неявная функция двух переменных.
Уравнением задается зависимость переменной z от переменных x и y. Если эта зависимость - функциональная, то имеет смысл ставить вопрос о вычислении частных производных и .
|
|
Имеют место соотношения
, .
Пример. Неявная функция двух переменных задана уравнением . Найти и .
Решение. Имеем . Найдем частные производные , , .
Теперь , .
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 438; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!