Плоска задача теорії пружності декартових координатах. Плоска деформація та узагальнений напружений плоский напружений стан.
Рішення плоскої задачі є одним з найважливіших питань прикладної теорії пружності. Пояснюється це тим, що дуже багато конструкцій або їх елементів працюють в умовах плоского напруженого стану або плоскої деформації, що й розглядається в плоскої задачі теорії пружності.
Плоский напружений стан виникає в тонкій пластинці, яка по торцевих сторонах навантажена силами, паралельними її основі, і рівномірно розподіленими по товщині
У цьому випадку напруги на основах пластинки дорівнюють нулю. Так як пластинка тонка, то ці напруження дорівнюють нулю і по всьому обсягу пластинки, а інші компоненти тензора напружень ( ) не залежать від z і є функціями тільки двох змінних — х и у.
Плоска деформація має місце, якщо переміщення відбуваються тільки паралельно площини ХОУ:
Такі переміщення відбуваються в довгому циліндричному або призматичному тілі при дії навантаження, яке перпендикулярно поздовжньої осі і постійної уздовж її. Цій розрахунковій схемі відповідають задачі про циліндричні котки, тунелі, підпірні стінки, греблях
Якщо поздовжньою віссю є вісь Z, то в перерахованих випадках деформація виникає тільки в площині ХОУ:
Незважаючи на відсутність деформації , нормальні напруги будуть ненульовими, що треба з формули узагальненого закону Гука
Плоский напружений стан і плоска деформація описуються практично однаковими рівняннями, відмінність складається тільки в значеннях пружних постійних. Ця обставина дозволяє об'єднати обидві задачі в одну - плоска задача теорії пружності.
|
|
Запишемо основні рівняння теорії пружності стосовно до випадку плоскої деформації.
Диференціальні рівняння рівноваги:
(3.4) |
де X, Y — постійні по довжині об'ємні сили.
Умови на поверхні:
(3.5) |
де l, m — напрямні косинуси.
Геометричні співвідношення Коші:
(3.6) |
Рівняння нерозривності деформацій:
(3.7) |
Формули закону Гука:
(3.8) |
де
(3.9) |
Для плоского напруженого стану рівняння (3.4) – (3.7) зберігають той же вид, а в рівняннях (3.8) переходять в.
Таким чином, у плоскої задачі теорії пружності невідомими будуть вісім функцій (напружень , деформації , переміщення U, V), що відповідає числу рівнянь (два рівняння рівноваги, три геометричних співвідношення Коші й три формули закону Гука).
Залежно від того, які величини відомі, а які підлягають визначенню, розрізняють пряму задачу, зворотну і змішану. Основне значення для розрахунку конструкцій має пряме задачі; вона ж є й найбільш складною. Зворотне завдання вирішується значно простіше й має допоміжне значення.
Розрізняють наступні методи рішення прямої задачі: рішення в напруженнях, рішення в переміщеннях, змішаний метод.
|
|
Найбільше часто в практичних розрахунках необхідно визначати напруження . У цих випадках виконується рішення плоскої задачі в напруженнях.
Для реалізації такого підходу вводиться так звана функція напружень Эрі — , що пов'язана з напруженнями співвідношеннями
(3.10) |
У результаті виходить рівняння
(3.11) |
Яке називається бігармонічним рівнянням плоскої задачі теорії пружності.
Приєднання до нього умов на контурі, також виражених через функцію напруг Эрі,
(3.12) |
дозволяє визначити функцію напружень , а потім по формулах (3.10) — напруження.
5.Плоска задача теорії пружності в декартових координатах. Спрощення рівнянь теорії пружності.
Рішення плоскої задачі є одним з найважливіших питань прикладної теорії пружності. Пояснюється це тим, що дуже багато конструкцій або їх елементів працюють в умовах плоского напруженого стану або плоскої деформації, що й розглядається в плоскої задачі теорії пружності.
Плоский напружений стан виникає в тонкій пластинці, яка по торцевих сторонах навантажена силами, паралельними її основі, і рівномірно розподіленими по товщині (рис.3.1).
|
|
Рис.3.1. Пластинка в умовах плоского напруженого стану
У цьому випадку напруги на основах пластинки дорівнюють нулю. Так як пластинка тонка, то ці напруження дорівнюють нулю і по всьому обсягу пластинки, а інші компоненти тензора напружень ( ) не залежать від z і є функціями тільки двох змінних — х и у.
Плоска деформація має місце, якщо переміщення відбуваються тільки паралельно площини ХОУ:
(3.1) |
Такі переміщення відбуваються в довгому циліндричному або призматичному тілі при дії навантаження, яке перпендикулярно поздовжньої осі і постійної уздовж її. Цій розрахунковій схемі відповідають задачі про циліндричні котки, тунелі, підпірні стінки, греблях і т.п. (рис.3.2).
Рис.3.2. Плоска деформація
Якщо поздовжньою віссю є вісь Z, то в перерахованих випадках деформація виникає тільки в площині ХОУ:
(3.2) |
Незважаючи на відсутність деформації , нормальні напруги будуть ненульовими, що треба з формули узагальненого закону Гука
(3.3) |
Плоский напружений стан і плоска деформація описуються практично однаковими рівняннями, відмінність складається тільки в значеннях пружних постійних. Ця обставина дозволяє об'єднати обидві задачі в одну - плоска задача теорії пружності.
|
|
Запишемо основні рівняння теорії пружності стосовно до випадку плоскої деформації.
Диференціальні рівняння рівноваги:
(3.4) |
де X, Y — постійні по довжині об'ємні сили.
Умови на поверхні:
(3.5) |
де l, m — напрямні косинуси.
Геометричні співвідношення Коші:
(3.6) |
Рівняння нерозривності деформацій:
(3.7) |
Формули закону Гука:
(3.8) |
де
(3.9) |
Для плоского напруженого стану рівняння (3.4) – (3.7) зберігають той же вид, а в рівняннях (3.8) переходять в.
Таким чином, у плоскої задачі теорії пружності невідомими будуть вісім функцій (напружень , деформації , переміщення U, V), що відповідає числу рівнянь (два рівняння рівноваги, три геометричних співвідношення Коші й три формули закону Гука).
Залежно від того, які величини відомі, а які підлягають визначенню, розрізняють пряму задачу, зворотну і змішану. Основне значення для розрахунку конструкцій має пряме задачі; вона ж є й найбільш складною. Зворотне завдання вирішується значно простіше й має допоміжне значення.
Розрізняють наступні методи рішення прямої задачі: рішення в напруженнях, рішення в переміщеннях, змішаний метод.
Найбільше часто в практичних розрахунках необхідно визначати напруження . У цих випадках виконується рішення плоскої задачі в напруженнях.
Для реалізації такого підходу вводиться так звана функція напружень Эрі — , що пов'язана з напруженнями співвідношеннями
(3.10) |
У результаті виходить рівняння
(3.11) |
Яке називається бігармонічним рівнянням плоскої задачі теорії пружності.
Приєднання до нього умов на контурі, також виражених через функцію напруг Эрі,
(3.12) |
дозволяє визначити функцію напружень , а потім по формулах (3.10) — напруження.
6. Плоска задача теорії пружності, розв’язок плоскої задачі в напруженнях, ф-ція напруження Ері.
Розв’язання плоскої задачі є одним з найважливіших питань прикладної теорії пружності. Пояснюється це тим, що дуже багато конструкцій або їхніх елементи працюють в умовах плоского напруженого стану або плоскої деформації, що й розглядається в плоскій задачі теорії пружності.
Плоский напружений стан виникає в тонкій пластинці, що по торцевих сторонах навантажена силами, паралельними її основам, і рівномірно розподіленими по товщині (рис)
Розвяхок плоскої задачі в напруженнях
При похідні від них будуть=0.
Функція Ері
Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 594; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!