Влияние нестационарности на значения дисперсий, ковариационных и корреляционных функций

Nbsp;

Влияние ошибок наблюдений на статистические параметры и функции

Ограниченность объема выборки является не единственным фактором, вносящим погрешности в рассчитываемые ковариационные или корреляционные функции. Значительные искажения могут возникнуть и при наличии ошибок наблюдения.

Пусть при измерении величины в точке имеет место некоторая ошибка , тогда получим величину

. (97)

Ошибка состоит из систематической и случайной составляющей

. (98)

Из равенства (97) и (98) следует, что

, (99)

здесь .

Таким образом, при оценивании средней величины ее значение изменяется только на величину систематической ошибки. При вычислении дисперсии величины влияние оказывают также случайные ошибки наблюдений. Действительно, учитывая (97)-(99)

, (100)

где —дисперсия ошибок наблюдения, а

—

— мера ошибок наблюдения. Формула получена при условии, что связь между случайной ошибкой и функцией отсутствует, т.е. .

Формула (100) показывает, что на дисперсию систематические ошибки не оказывают влияния, но она завышается на величину дисперсии случайной ошибки.

При оценивании ковариационных функций, определяемых по данным, содержащим ошибки, используется следующая формула

. (101)

Как следует из (101) значение ковариационной функции также не искажается наличием систематической ошибки, но существенно зависит от коррелированности ошибок в различных точках и от взаимной коррелированности ошибок и значений самой величины .

Будем в дальнейшем рассматривать только случайные ошибки наблюдений. Случайными ошибками называются такие, которые удовлетворяют следующим условиям.

1. Средняя величина случайной ошибки равна нулю.

. (102)

2. Корреляция случайных ошибок в различных точках отсутствует.

где

символ Кронекера

3. Случайные ошибки не коррелируют со значениями самого метеоэлемента.

. (103)

Если принять во внимание все эти условия, то (101) примет вид

. (104)

Из (104) следует, что наличие ошибок в исходных данных не влияет на ковариацию случайной величины в различных точках. Нетрудно видеть также, что при i=j формула (104) переходит в формулу (100).

Для значений эмпирических структурных функций получается следующее выражение

. (105)

В случае, если поле является однородным и изотропным, то предполагается, что

. (106)

При этом формула (105) примет вид

(107)

Если расстояние между точками равно нулю, то из (107) получим

(108)

На этом равенстве основан один из способов определения дисперсии случайных ошибок в данных. Для этого рассчитывают значения структурной функции при расстояниях между точками . Полученные значения можно нанести на график, т. е. построить зависимость . Затем проводят экстраполяцию (обычно линейную) структурной функции в точку . Значение структурной функции при представляет удвоенную дисперсию ошибок наблюдения.

Остановимся теперь на влиянии случайных ошибок на значения корреляционных функций. В отличие от ковариационных функций, на значения которых случайные ошибки не влияют при i ≠j (см. формулу (104)), значения корреляционных функций под влиянием случайных ошибок занижаются. Это видно из следующего равенства

. (109)

В случае однородных и изотропных полей формула (109) принимает вид

(110)

Как следует из формулы (110), при стремлении расстояния ρ к нулю корреляционная функция, стремится не к 1, а к величине

(111)

Используя формулу (111), можно оценить точность исходных данных, если проэкстраполировать значение эмпирической корреляционной функции в точку . В этом случае из (111) получим

. (112)

Влияние нестационарности на значения дисперсий, ковариационных и корреляционных функций

При обработке и анализе реальных метеорологических полей существенные погрешности могут возникать из-за того, что временные ряды не являются стационарными. Нестационарность может вызываться, например, изменением во времени средних величин и дисперсий. Еще более сложную структуру имеют процессы, у которых во времени изменяются ковариационные функции и спектральные плотности.

Рассмотрим наиболее простой, пример, когда значение случайной метеовеличины искажено влиянием годового хода.

(113)

Функция Q(ρ, t) описывает годовой ход.

Выполним статистическое осреднение (113) по некоторому участку годового хода

. (114)

Вычитая (114) из (113), будем иметь

, (115)

где

(116)

Из (116), в частности, следует, что

Для автоковариационной функции случайной величины можно записать следующее выражение

(117)

Для того чтобы оценить влияние последнего слагаемого в (117), зададим годовой ход в виде ряда Фурье

. (118)

Ограничившись первой гармоникой и подставляя (118) при п =1в (116) и (116) в (117), получим следующее выражение для ковариационной функции

. (119)

Это выражение получено в предположении, что амплитуда колебаний в точках i и j одинакова, и фазы колебаний также совпадают. В формуле (119) множитель K(t₂, t₁)имеет вид

(120)

Величина - называется мерой нестационарности для периода времени Т. Используя это обозначение, можно записать (119) в следующем виде:

(121)

Формулы (120|) и (121) позволяют количественно оценить влияние нестационарности, вызванной годовым ходом, на величину ковариационной функции. Количественные оценки приведены в табл. 11.

Из таблицы видно, что влияние нестационарное оказывается существенным в ряде случаев. Завышение происходит на величину пропорциональную квадрату годовой амплитуды.

Для того чтобы исключить влияние нестационарности, обычно проводят некоторые дополнительные преобразования временных рядов. Например, если нестационарность обусловлена изменением во времени средней величины и дисперсии, то обычно вместо наблюдаемой величины y(t) рассматривают следующую величину:

Таблица 11

Завышение ковариации К под влиянием годового хода

Период времени	Дата	K
Год	-	0,500
Полугодия:
экстремальное	15.IV— 15.X, 15.X—15.IV	0,095
промежуточное	0l.III—01.IX, 01.VI—01.ХП 01. IX—01.Ш, 01.XII—0l.VI	0,294
переходное	15.I—15.VII, 15.VII—15.I	0,500
Сезон:
экстремальный	01.VI—1.IX, 01.XII—1.III 15. IV—15.VII, 15.VII—15.Х	0,008
промежуточный	15.X—15.Ш, 15.l—l5.IV	0,094
переходный	01.1Х—l.XII, 01.III—1.Vl	0,182

Полученная реализация случайного процесса, который считается приближенно стационарным, обрабатывается при помощи численных схем, описанных выше.

Рассмотрим влияние ошибки, не связанной с влиянием годового хода.

Пусть при измерении величины в точке имеет место некоторая ошибка, связанная с нестационарностью , тогда получим величину

. (122)

Из равенства (122) следует, что

, (123)

здесь среднее значение ошибки, вызванной нестационарностью.

Таким образом, при оценивании средней величины ее значение изменяется только на величину средней ошибки нестационарности.

При вычислении дисперсии величины ошибка нестационарности также оказывает влияние

, (124)

где —дисперсия ошибок нестационарности, а

— мера ошибки нестационарности.

Формула получена при условии, что связь между ошибкой нестационарности и функцией отсутствует, т.е. .

Формула (124) показывает, что дисперсия завышается на величину дисперсии ошибки нестационарности.

Оценивание ковариационной функции с учетом ошибки нестационарности при условии однородности и изотропии

. (125)

Как следует из (125) значение ковариационной функции завышается за счет дисперсии ошибки нестационарности.

Влияние ошибки нестационарности на величину корреляционной функции можно оценить, учитывая ее связь с ковариационной функцией

(126)

Таким образом, за счет ошибки нестационарности завышается значение дисперсии, ковариационной и корреляционной функций, последняя искажается в наименьшей степени. На величину структурной функции нестационарность такого рода не сказывается.

Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 830; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!