Примечание: Фото/скан конспекта прислать на страницу преподавателя в контакте.
Тема. Перпендикуляр и НАКЛОННАЯ.
ТЕОРЕМА О ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ
Вопросы темы:
Перпендикуляр и наклонная.
Теорема о трех перпендикулярах.
Решение задач.
Домашнее задание.
Вопрос 1. Перпендикуляр и наклонная
Наклонной, проведённой из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости.
Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной.
AB – наклонная; B – основание наклонной
Перпендикуляром, проведённым из данной точки к данной плоскости , называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости.
Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.
AC – перпендикуляр;
C – основание перпендикуляра.
Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведённого из этой точки к плоскости.
Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведённых из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.
CB – проекция наклонной AB на плоскость α.
Треугольник ABC – прямоугольный.
Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость.
∢ CBA – угол между наклонной AB и плоскостью α.
|
|
|
Если AD>AB, то DC>BC
Если из данной точки к данной плоскости провести несколько наклонных, то бо׳льшей наклонной соответствует бо׳льшая проекция.
∢DAB – угол между наклонными;
∢DCB – угол между проекциями.
Отрезок DB – расстояние между основаниями наклонных.
Равные наклонные имеют равные проекции.
Если проекции наклонных равны, то и сами наклонные равны.
Бо׳льшая наклонная имеет бо׳льшую проекцию
Из двух наклонных больше та, у которой проекция больше.
Вопрос 2. Теорема о трех перпендикулярах
Если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.
a ⊥ AB
| 
a ⊥ AB, BC ⊥ BA} ⇒ a ⊥ CA
|
Справедлива также обратная теорема:
Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.
a ⊥ AC
|
a ⊥ AC, BC ⊥ BA} ⇒ a ⊥ BA
|
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1
Задача 3
АВСD – прямоугольник, МD ⊥ АВС
СD = 3 см, АD = 4 см, МВ = 5 см.
Найти: ∠(DМ; АВС).
Решение:
Угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
|
|
|
DМ - наклонная, DВ ее проекция на плоскость АВС, следовательно, нам нужно найти угол МDВ. Обозначим его за φ.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ВАD.
АВ = СD = 3 см (как противоположные стороны прямоугольника).
Найдем ВD по теореме Пифагора.
Рассмотрим прямоугольный треугольник МВD.
Найдем угол ВDМ.
Угол φ – острый, значит, 
Ответ: 
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
1. Перенести представленный материал в конспект по математике.
2. Выучить теоретический материал, выучить основные понятия, свойства и признаки.
3. Внимательно рассмотреть решение задач и также перенести решение в конспект.
4. Решить задачи:
Задача 1
Назвать отрезок и его длину, используя рисунок
1) наклонная;
2) перпендикуляр;
3) проекция;
Задача 2
Дан отрезок АВ, точка А которого принадлежит плоскости α, а точка В удалена от нее на N см. Найдите расстояние от середины отрезка АВ до плоскости α. (рис 3)
Задача 3
Длина перпендикуляра равна N см, а угол между наклонной и перпендикуляром равен 60°. Найдите длину проекции и наклонной.
Задача 4
Из точки М к плоскости α проведены две наклонные, длины которых N и N/2см. Их проекции на эту плоскость относятся как 3 : 4. Найдите расстояние от точки М до плоскости α.
|
|
|
Задание 5
В треугольнике АВС АС = СВ = 8 см, <АСВ = 120°. Точка М удалена от плоскости АВС на расстояние, равное N см, и находится на равном расстоянии от вершин треугольника АВС. Найдите угол между МА и плоскостью АВС.
Примечание: Фото/скан конспекта прислать на страницу преподавателя в контакте.
Дата добавления: 2021-06-02; просмотров: 79; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!