Направление, степень смещения максимума кривой плотности вероятности и ее «заостренность» определяется вычислением асимметрии и эксцесса. 1 страница
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра геологии и разведки нефтяных и газовых месторождений
УЧебно-Методическое пособие
к лабораторным работам по дисциплине
«Математические методы моделирования в геологии»
Для студентов специальности 130304
«Геология нефти и газа» и бакалавров 130100 «Геология и разведка полезных ископаемых»
Уфа 2013
В учебно-методическом пособии приведены лабораторные работы, предусмотренные программой по курсу «Математические методы моделирования (процессов и явлений)». Даются описание работ и некоторые сведения, необходимые для их выполнения. Лабораторные работы включают в себя в основном математико-статистический подход для получения количественных характеристик геологических объектов.
Предназначено для студентов обучающихся по направлению подготовки-130101 Прикладная геология (профиль подготовки - Геология нефти и газа) и бакалавров обучающихся по направлению подготовки - 020700 Геология (профиль подготовки- Геология и разведка полезных ископаемых).
Составители: Султанов Ш.Х., доцент, докт. техн. наук
Абабков К.В., доцент, канд. геол.-минерал. наук
|
|
Рецензент Блинов С.А., канд. техн. наук, ведущий научный сотрудник
ГАНУ «Институт нефтегазовых технологий и новых
материалов»
© Уфимский государственный нефтяной технический университет, 2013
Лабораторная работа № 1
«ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ВЫБОРКИ»
Статистическое моделирование заключается в математическом описании свойств исследуемых объектов по результатам их изучения выборочным методом на основе индуктивного обобщения эмпирических данных. В основе статистического моделирования лежит понятие о выборке, которая представляет собой часть генеральной совокупности, используемая для определения приближённых количественных характеристик геологического объекта. Выводы, полученные в выборочных наблюдениях, распространяются на весь изучаемый объём.
Наиболее существенные особенности распределения случайных величин (СВ) могут быть выражены с помощью числовых характеристик положения и разброса.
К характеристикам положения относятся среднее арифметическое ( ), медиана (Me), мода (Mo), математическое ожидание (Mx).
Характеристиками разброса, определяющими степень отклонения значений СВ от её математического ожидания, служат размах варьирования (Rx), дисперсия (D) и ее производные такие как стандартное или среднее квадратическое отклонение (σ), коэффициент вариации (V), стандартная ошибка среднего арифметического ( ).
|
|
В работе по данным таблицы 1 требуется определить и выполнить:
1.Среднее арифметическое значение.
В Microsoft Excel вычисляется как СРЗНАЧ в категории функций “Статистические” вызываемых нажатием иконки мастера функций :
n
∑ xi
X = i=1
n
2.Медиану (Ме).
Медиана находится в середине возрастающего или убывающего ряда, составленного из исходных данных выборки. В Microsoft Excel вычисляется с помощью функции МЕДИАНА.
3.Размах.
Размах варьирования равен разности максимального и минимального значения случайной величины в выборке:
R х = Х max - Х min
2. Дисперсию.
Для выборочной совокупности определяется по формуле:
n
∑ ( xi – Х )2
D = i =1
n – 1
В Microsoft Excel вычисляется как ДИСП в категории функций “Статистические” вызываемых нажатием иконки мастера функций .
|
|
3. Стандартное отклонение.
Является производной от дисперсии и равно ее корню.
σ =
В Microsoft Excel вычисляется как СТАНДОТКЛОН в категории функций “Статистические” вызываемых нажатием иконки мастера функций .
4. Коэффициент вариации.
Этот коэффициент отражает степень рассеяния значений выборки относительно величины , вычисляется по формуле:
5. Стандартную ошибку среднего арифметического.
Определяется по формуле:
6. Доверительные интервалы.
Величина , принимаемая в качестве оценки среднего, может отличаться от истинного среднего, и тем меньше, чем больше объем выборки. Можно утверждать, что с некоторой вероятностью выполняется неравенство: . При заданной вероятности предельная ошибка определяется по формуле:
,
где при = 0,68 1; =0,95, =1,96; =0.99, =2,58.
При распределении совокупности данных близкому к нормальному, доверительным интервалом с вероятностью 0,68 является интервал ( - ; + ),
с вероятностью 0,95 – интервал ( -2 ; +2 ),
с вероятностью 0,99 – интервал ( -3 ; +3 )
7. Выполнить нормирование исходных данных.
Нормирование данных позволяет получить величину, которая приближенно подчиняется нормальному распределению с нулевым средним и дисперсией, равной 1. Нормирование данных выполняется по формуле:
|
|
= .
8. Статистические характеристики для нормированных данных, по формулам приведенных в пунктах 1-6.
9. Сопоставить результаты абсолютных значений статистических характеристик с нормированными.
Лабораторная работа № 2
«ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГЕОЛОГИЧЕСКИХ ДАННЫХ»
Проверить, какому закону подчинено, распределение исходных данных можно графическим методом и путем вычисления параметров распределения.
Среди графических методов определения симметричности распределения исходных данных выделяют построение гистограммы и кривой плотности вероятности.
Для графической проверки гипотезы о распределении выборочных данных в таблицы 1 требуется определить:
1. Частоту.
Частотой называется количество значений выборки, попадающих в данный интервал изменения СВ. Для разбивки всего объёма выборки на интервалы необходимо выбрать равный шаг интервала.
Для определения числа интервалов может быть использована следующая формула:
.
или шаг интервала можно определить, разделив размах на количество интервалов (оптимально для исходных выборочных данных от 5 до 7 интервалов).
2. Частость
Частостью называется отношение частоты к объёму выборки: Wj = nj/n. Сумма частостей всех интервалов равна единице;
3. Построить гистограмму
В Microsoft Excel гистограмма строится с помощью мастера диаграмм
4. Модальный интервал и модальное значение
Модальный называется интервал с максимальной частостью. Середина этого интервала называется модальным значением, или модой СВ в выборке.
5. Построить кривую плотности вероятности нормального распределения по данным выборки.
Функция плотности распределения f ( x ) (дифференциальная функция) характеризует вероятность попадания выборочного значения СВ в заданный интервал от х до х+Δх.
Для этого необходимо:
- вычислить ординаты плотности вероятности в точках промежутка от Х - 3σ до Х + 3σ с интервалом 0,5σ. Вычисления выполняются по формуле:
Pj = ×
где xj последовательно принимает значения -3σ, –2,5σ … +3σ. Используются значения, найденные в работе № 1
- построить кривую плотности вероятности в координатах (х j ; Pj)
6. Убедится, что построенная кривая плотности вероятности нормального распределения приближённо отражает характер распределения исходных данных, фиксируемых гистограммой (вывод).
Направление, степень смещения максимума кривой плотности вероятности и ее «заостренность» определяется вычислением асимметрии и эксцесса.
7.Асимметрию
Для характеристики степени асимметрии распределения СВ относительно её математического ожидания используется центральный момент третьего порядка:
n
∑ ( xi – Х )3
µ3 = i =1
n
Для симметричных распределений µ3 = 0. Если в распределении мода, медиана и математическое ожидание смещены от середины размаха варьирования в сторону малых значений (вправо), он имеет знак «плюс» (право- или положительно асимметричное распределение), и соответственно, если эти характеристики смещены в сторону больших значений – то знак «минус» (лево- или отрицательно асимметричное распределение). Показателем асимметрии служит – асимметрия (А):
А= µ3 / σ3
8. Эксцесс
Мерой остроты графика функции плотности распределения (эксцесса) служит центральный момент четвёртого порядка. Эксцесс (Е) характеризует степень заострённости гистограммы по сравнению с соответствующей кривой плотности вероятности нормального закона распределения (НЗР) Е = 0, при НЗР, Е > 0 – сравнительно высокая и острая вершина кривой, Е < 0 – относительно широкая вершина.
n
∑ (xi – Х )4
µ4 = i=1
n
Е = (µ4 / σ 4 ) – 3
9. Вывод о характере распределения выборочной совокупности по результатам определения асимметрии и эксцесса.
Таблица 1
Исходные данные для выполнения работ 1-2
№ пп | Варианты | |||||||||||||||
Пористость, % | Толщина пласта,м | Нефтенасыщенность, д.е | ||||||||||||||
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
1 | 3,6 | 4,7 | 4,3 | 3,6 | 4,7 | 3,6 | 27,1 | 25,3 | 25,6 | 27,1 | 30,3 | 25,3 | 0,72 | 0,68 | 0,68 | 0,68 |
2 | 5,7 | 6,3 | 6,4 | 5,7 | 6,3 | 5,7 | 30,3 | 29,2 | 30,0 | 30,3 | 31,2 | 29,2 | 0,76 | 0,73 | 0,69 | 0,73 |
3 | 9,7 | 8,7 | 8,7 | 7,1 | 8,7 | 7,1 | 31,2 | 30,1 | 30,5 | 31,2 | 32,3 | 30,1 | 0,76 | 0,73 | 0,72 | 0,74 |
4 | 10,1 | 10,1 | 10,1 | 9,7 | 10,1 | 8,4 | 32,3 | 33,2 | 32,2 | 32,3 | 32,7 | 34,1 | 0,77 | 0,75 | 0,73 | 0,75 |
5 | 10,1 | 11,0 | 11,2 | 10,1 | 11,0 | 9,7 | 32,7 | 34,1 | 34,7 | 32,7 | 35,2 | 34,1 | 0,77 | 0,76 | 0,74 | 0,76 |
6 | 11,5 | 12,5 | 12,5 | 10,1 | 12,5 | 10,1 | 35,2 | 34,4 | 35,3 | 35,2 | 36,3 | 34,4 | 0,78 | 0,77 | 0,75 | 0,77 |
7 | 13,9 | 13,0 | 13,0 | 11,5 | 13,0 | 10,1 | 35,4 | 35,4 | 35,3 | 35,4 | 36,4 | 35,4 | 0,79 | 0,77 | 0,76 | 0,77 |
8 | 15,0 | 14,9 | 13,6 | 13,9 | 14,9 | 11,5 | 36,3 | 35,5 | 35,7 | 36,3 | 36,7 | 35,5 | 0,80 | 0,78 | 0,76 | 0,78 |
9 | 15,4 | 15,1 | 14,3 | 15,0 | 15,1 | 13,9 | 36,4 | 36,0 | 35,9 | 36,4 | 37,0 | 36,0 | 0,80 | 0,78 | 0,77 | 0,78 |
10 | 16,0 | 15,9 | 15,1 | 15,4 | 15,9 | 15,0 | 36,7 | 36,1 | 36,2 | 36,7 | 37,2 | 36,1 | 0,81 | 0,79 | 0,77 | 0,78 |
11 | 16,3 | 16,8 | 15,5 | 16,0 | 16,8 | 15,4 | 37,0 | 36,4 | 36,6 | 37,0 | 37,9 | 36,4 | 0,81 | 0,81 | 0,79 | 0,79 |
12 | 17,2 | 17,5 | 16,5 | 16,3 | 17,5 | 16,0 | 37,2 | 37,6 | 36,7 | 37,2 | 38,2 | 38,3 | 0,83 | 0,82 | 0,80 | 0,81 |
13 | 19,0 | 18,0 | 16,8 | 17,2 | 17,7 | 16,3 | 37,9 | 38,3 | 38,2 | 37,9 | 39,1 | 38,8 | 0,83 | 0,82 | 0,80 | 0,81 |
14 | 19,3 | 19,6 | 17,5 | 17,7 | 18,0 | 16,8 | 38,2 | 38,8 | 38,2 | 38,2 | 39,3 | 38,8 | 0,84 | 0,83 | 0,80 | 0,82 |
15 | 19,9 | 19,9 | 18,0 | 19,0 | 19,9 | 17,2 | 39,1 | 39,2 | 38,5 | 39,1 | 39,4 | 39,2 | 0,84 | 0,83 | 0,81 | 0,83 |
16 | 20,0 | 20,0 | 19,4 | 19,9 | 20,0 | 19,0 | 39,3 | 39,9 | 38,6 | 39,3 | 40,4 | 39,9 | 0,84 | 0,83 | 0,82 | 0,83 |
17 | 20,9 | 20,5 | 19,9 | 20,0 | 20,5 | 19,9 | 39,4 | 40,1 | 40,3 | 39,4 | 41,3 | 40,1 | 0,85 | 0,84 | 0,84 | 0,83 |
18 | 21,5 | 21,9 | 20,0 | 20,9 | 21,9 | 20,0 | 40,4 | 40,5 | 40,3 | 40,4 | 41,7 | 40,5 | 0,86 | 0,85 | 0,84 | 0,84 |
19 | 23,0 | 23,7 | 20,5 | 21,5 | 23,7 | 20,9 | 41,2 | 40,9 | 41,3 | 41,2 | 41,8 | 40,9 | 0,86 | 0,86 | 0,85 | 0,85 |
20 | 24,1 | 24,0 | 21,9 | 23,0 | 24,0 | 21,5 | 41,5 | 42,3 | 41,6 | 41,3 | 43,7 | 42,3 | 0,87 | 0,87 | 0,86 | 0,86 |
21 | 24,8 | 24,5 | 23,5 | 24,1 | 24,9 | 23,0 | 41,7 | 44,0 | 42,1 | 41,7 | 44,8 | 44,0 | 0,87 | 0,87 | 0,88 | 0,87 |
22 | 25,9 | 25,3 | 23,7 | 25,7 | 26,3 | 24,1 | 41,8 | 44,2 | 43,7 | 41,8 | 46,1 | 44,2 | 0,88 | 0,88 | 0,89 | 0,88 |
23 | 26,2 | 26,8 | 27,3 | 26,2 | 28,2 | 25,2 | 44,4 | 47,2 | 46,5 | 48,1 | 48,1 | 47,2 | 0,89 | 0,89 | 0,89 | 0,89 |
24 | 26,2 | 28,2 | 28,2 | 29,5 | 28,5 | 26,2 | 48,1 | 47,3 | 46,8 | 48,4 | 48,4 | 47,3 | 0,91 | 0,91 | 0,91 | 0,91 |
25 | 32,3 | 30,1 | 29,9 | 32,3 | 30,1 | 32,3 | 48,4 | 50,1 | 49,9 | 52,2 | 52,2 | 50,1 | 0,93 | 0,92 | 0,93 | 0,92 |
Дата добавления: 2021-06-02; просмотров: 120; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!