Сравнение приближенного и численного решений
Разрушение при сжатии однонаправленных композитных труб или звена бамбука по форме «китайского фонарика»
Однонаправленные композитные трубы (например, из боралюминия, пултрузионного угле- или стекло- пластика) используются в ряде несущих элементов конструкций (антенны, фермы космических платформ). При их сжатии наряду с макропотерей устойчивости по Эйлеру или локальным смятием возможно также множественное продольное расщепление с выпучиванием образовавшихся полосок (рис. 2.2.1) по форме, напоминающей китайский фонарик ( Chinese Lantern ) [10, 13, 19, 30, 40, 52, 55]. Собственно, сам китайский фонарик, дошедший до наших дней в виде ёлочной игрушки, получаемой при сжатии бумажной трубки с продольными разрезами, исторически изготавливали из бамбука, сжимая размоченное в воде звено до расщепления и помещая свечу внутрь высохшей, расщепленной трубы (рис. 2.2.2).
Анализ такого специфического вида разрушения на основе энергетического критерия прочности (2.1.2) позволяет оптимизировать размеры композитных труб на основе принципа равнопрочности, реализуемого Природой при создании прочных биологических конструкций типа стебля бамбука.
2.2.1. М ножественное расщепление композитных труб при сжатии
Рассмотрим сжатие трубы длиной L со средним радиусом 
и с толщиной стенки 
; 
– наружный и внутренний радиусы трубы. При напряжении σнакопленная в трубе упругая энергия: 
складывается из упругих энергий в каждой полоске, на которые расщепляется труба; Ех – модуль упругости в направлении сжатия; 
площадь сечения трубы, равная сумме площадей сечения полосок в форме секторов колец.
|
|
|
Рис. 2.2.1. Множественное расщепление по форме «китайского фонарика» (а) при сжатии бамбука или композитных труб с образованием полосок с сечением в виде сектора кольца (б); 1 – смятие, 2 – китайский фонарик, 3 – Эйлер
Рис. 2.2.2. Превращение звена бамбука в «китайский фонарик» при сжатии
При расщеплении на п одинаковых полосок с сечением в виде сектора кольца с угловым размером 
(рис. 2.2.1,б) работа расщепления равна 
, где γ* –удельная энергия расщепления вдоль волокон, в отличие от γ для расслоения в разд. 2.1.
В расчёте на одну полоску приходится одно расщепление: 
Эйлерово напряжение для каждой полоски, а значит, для всей расщеплённой трубы, вычисляется по формуле
| (2.2.1) |
где 
при свободном опирании концов полоски; 
площадь сектора кольца, а его момент инерции:
 .
| (2.2.2) |
По аналогии с анализом, проведенным в п. 2.1.4, можно показать, что энергия сжатия полоски после выпучивания выражается через эйлерово напряжение (2.2.1): 
, а энергия изгиба полоски (2.1.25): 
. Согласно энергетическому критерию разрушения (2.1.23) для одной полоски: 
откуда получается квадратное уравнение 
и
|
|
|
 .
| (2.2.3) |
С ростом числа n (с уменьшением α) растет суммарная работа расщепления, но снижается эйлерово напряжение (2.2.1), так как форма криволинейного сечения полоски приближается к прямоугольной. Две эти противоречивые тенденции приводят к наличию некоторого энергетически выгодного числа полосок п*, которое соответствует критическому раствору сектора 
и наименьшему критическому напряжению 
для нахождения которого (и соответствующего ему угла ) необходимо численно решить трансцендентное уравнение 
. Сложность аналитического решения связана с достаточно громоздким выражением (2.2.2), входящим в (2.2.1) и (2.2.3). Например, для сплошного кругового сечения 
выражение (2.2.2) можно представить разложением по малому параметру 
Однако для сплошного стержня проиллюстрировать качественно интересный результат не удается, и поэтому приходится (только для иллюстрации) остановиться на тонкостенном приближении, полагая 
Чтобы получить результат в замкнутом виде, необходимо постулировать отношение порядков малости α и h / R с. Разумеется, реальные расчеты труб следует проводить без допущения о тонкостенности, но для получения наглядного результата мы положили в (2.2.4) 
, и тогда:
|
|
|
| (2.2.4) |
При таком допущении условие минимума напряжения 
из (2.2.4) дает 
:
| (2.2.5) |
и этот угловой размер секторов, образуемых при расщеплении, соответствует минимальному разрушающему напряжению 
. Строго говоря, в (2.2.3) вместо α* следует подставить 
где 
ближайшее целое число к 
но для получения замкнутого результата мы считаем α и 
непрерывными функциями, и просто подставим (2.2.5) в (2.2.3):
| (2.2.6) |
Сравнение приближенного и численного решений
Степень 1/9 в (2.2.5) и (2.2.6) показывает, что число полосок n, на которые расщепится труба, слабо зависит от свойств материала, а критическое напряжение слабо зависит от предполагаемых условий закрепления концов. Действительно, при изменении Ех или g * вдвое α* изменится лишь на 8%. Замена условия свободного опирания ( 
) жестким защемлением концов полосок ( 
) изменяет эйлерово напряжение (2.2.1) в 4 раза, а критическое напряжение (2.2.6) при этом увеличится всего на 17% , так как (4)1/9=1,17.
Оценки по формуле (2.2.5) для реальных композитов могут давать небольшое число полосок ( 
); тогда принятое для наглядности допущение 
не выполняется и необходим численный анализ. Например, для бамбука при Ех=30 ГПа, γ*=20 КН/м из (2.2.5) n=3,2, 
а в эксперименте происходит расщепление на четыре части (рис. 2.2.2), что качественно согласуется с приближенным расчетом, хотя допущения о большом числе полосок и тонкостенности трубы, строго говоря, не выполняются.
|
|
|
Удивительно, но, несмотря на грубость принятых допущений, зависимость (2.2.6) достаточно точно отражает влияние размеров труб и свойств композита на критические напряжения (рис. 2.2.1) при разрушении по форме китайского фонарика, и, как видно на рис. 2.3.1, этот механизм разрушения реализуется в довольно широком диапазоне размеров однонаправленных труб, что приводит к необходимости уточнить традиционные методы расчета и оптимизации композитных трубных конструкций. Точные численные расчеты (рис. 2.2.3) показали, что расхождение с приближенной формулой (2.2.6) становится заметным лишь для коротких или длинных труб, но для них происходит смена механизмов разрушения: смятие для коротких труб или макропотеря устойчивости для длинных труб, поэтому приближённая, наглядная зависимость (2.2.6) оказывается приемлемо точной в диапазоне реализации множественного расщепления по форме «китайского фонарика». Согласие приближенного и численного решений объясняется тем, что зависимости (2.2.4) и (2.2.9) имеют «слабо выраженный» минимум, который «на глаз» на точном графике трудно обнаружить. Поэтому расхождение результатов поиска минимума по асимптотическим и точным формулам пренебрежимо мало.
Дата добавления: 2021-06-02; просмотров: 79; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!