Построение и деление окружностей

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ

 

Содержание

1.1	Проведение и деление прямых линий	1
1.2	Построение и деление углов	3
1.3	Построение и деление окружности	5
1.4	Сопряжения линий	11

 

 

Проведение и деление прямых линий

Параллельные прямые - две прямые, лежащие в одной плос­кости и не имеющие общих точек. Параллельность обозначают зна­ком //.

Провести прямую линию, параллельную данной, можно при по­мощи двух треугольников или рейсшины и треугольника. Треуголь­ник устанавливают так, чтобы одна сторона его совпадала с направ­лением заданной прямой (черт. 1). К другой стороне этого треуголь­ника подводят второй треугольник, линейку или рейсшину. После этого первый треугольник перемещают вниз или вправо на заданное расстояние. Для проведения параллельной прямой на заданном рассто­ янии I от заданной прямой используется также циркуль (черт. 2). Из двух любых точек заданной прямой проводят дугу окружности ра­диусом, равным I.  Касательная прямая к проведенным дугам будет параллельна заданной прямой.

Перпендикулярные прямые - две прямые, которые пересека­ются между собой под прямым углом. Перпендикулярность обозна­чают знаком ┴.  Провести прямую CD , перпендикулярную заданной АВ, можно с помощью линейки и треугольника (черт. 3, 4) или ли­нейки и циркуля.

Перпендикуляр проходит через точку С, принадлежащую прямой АВ (черт. 5). Из точки С, как из центра, проводят дугу произволь­ным радиусом R . Из точек пересечения F и Е дуги и прямой прово­дят две дуги радиусом R_x большим половины отрезка FE . Точку D пересечения дуг соединяют с точкой С прямой, которая и будет пер­пендикулярна АВ.

Перпендикуляр проходит через точку  С, лежащую вне прямой А В (черт. 6). Приняв точку С за центр, проводят дугу окружности ради­усом R , длина которого больше расстояния от С до заданной пря­мой. Эта дуга должна пересечь прямую АВ в точках Е и F . Из точек Е и F , как из центров, проводят две дуги радиусом R_x большим поло­вины отрезка EF . Точку пересечения дуг D соединяют с точкой С прямой, которая и будет перпендикулярна АВ.

Перпендикуляр проходит через середину прямой  АВ  (черт. 7). Из двух концов отрезка  АВ, как из центров, радиусом R проводят дуги окруж­ности. При этом радиус R должен быть больше половины отрезка АВ. Точки пересечения дуг С и D соединяют между собой прямой, которая и будет перпендикулярна к отрезку АВ в его средней точке.

Деление отрезка прямой на равные части. Чтобы разделить отре­зок АВ на п равных частей, из точки А или В проводят вспомогатель­ную прямую под произвольным углом а (черт. 8). На вспомогатель­ной прямой откладывают п равных отрезков произвольной длины. Крайнюю точку К соединяют с точкой В. Через все точки деления прямой АК проводят прямые, параллельные ВК, до пересечения с отрезком АВ в точках 1,2, 3 ... п. На черт. 8 отрезок АВ разделен на семь равных частей.

 

                 

 

Построение и деление углов

 Углом называют фигуру, образованную двумя прямыми, исхо­дящими из одной точки. Углы обозначают знаком <  и измеряют в градусах. Угол, равный 90°, называют прямым, меньший 90° - ост­рым, больший 90° - тупым.

Построение углов. На черт. 9 показано построение углов, кратных 15°, при помощи линейки и двух угольников. При помощи транспор­ тира можно построить любой угол (черт. 10).

Построить угол, равный данному, можно при помощи линейки и циркуля (черт. 11). Дан <АВС, требуется построить <А_ХВ_ХС_Х =<АВС. Из вершины заданного угла, как из центра, проводят дугу окружно­сти произвольным радиусом R . Эта дуга пересечет стороны угла в точках D и F . Затем проводят прямую и отмечают на ней вершину угла В₁. Из точки В₁ описывают дугу тем же радиусом R . Из точки D ₁ пересечения дуги и прямой проводят новую дугу окружности радиу­сом, равным расстоянию DF . Пересечение двух дуг окружностей обо­значают точкой F ₁ и соединяют с вершиной В₁ прямой.

Деление угла пополам (черт. 12). Из вершины В угла проводят дугу окружности произвольным радиусом R .  Из  точек   D и Е    пересечения    дуги   и  сторон  угла  проводят  новые  дуги  радиусом

R _{1 ,}большим по­ловины расстояния DE . Точку пересечения дуг F соединяют с вер­шиной угла В и тем самым делят угол на две равные части.

Деление прямого угла на три равные части (черт. 13). Из вершины В угла произвольным радиусом R проводят дугу окружности. Из то­чек  А и Е пересечения дуги и сторон угла тем же радиусом  R  засекают на дуге АЕ точки М и N. Вершину угла В соединяют с точками M и N прямыми, которые разделяют угол на три равные части по 30°.

Уклон - наклон одной прямой линии к другой (черт. 14). Укло­ном i прямой ВС относительно АВ называют отношение разности высот двух точек А и В к горизонтальному расстоянию l между ними или отношение катета АС к катету ВС:

 

i = h / l = АС/ BC = tg α

 

Для того чтобы провести прямую с уклоном 1:5, проводят две пря­мые под прямым углом (см. черт. 14). На одной прямой откладывают от угла пять произвольных одинаковых делений, на другой прямой -такое же одно. Крайние точки делений соединяют между собой пря­мой, которая и будет иметь уклон 1:5  к прямой с пятью делениями.

Уклон обозначают знаком , острый угол которого всегда рас­полагают в сторону уклона (черт. 15 и 16).

Конусность К -отношение разности диаметров D - d двух по­перечных сечений конуса к расстоянию между ними l (табл. 1).

Построение конусности 1 : п относительно данной оси сводится к построению уклона 1 : 2 п  с каждой стороны оси. Конусность обо­значается знаком , острый угол которого направляют в сторону вершины конуса (черт. 17).

 

      

 

 

Таблица 1.1 – Нормальные конусности (ГОСТ 8593-81) и уклоны

Построение и деление окружностей

Построение окружности. Через одну или две точки можно провес­ти неограниченное число окружностей. Через три точки, лежащие на одной плоскости, можно провести только одну окружность.

При нахождении центра окружности, проходящей через три задан­ ные точки, соединяют эти точки ломаной прямой АВС (черт. 18). Че­рез середины прямых АВ и ВС проводят перпендикуляры. Центр О искомой окружности будет находиться в точке пересечения перпен­дикуляров, а радиус равен расстоянию от центра О до одной из задан­ных точек.

Если задано четыре и более точек, принадлежащих окружности, то для нахождения центра берут только три точки и построение выпол­няют изложенным способом (черт. 19).

При нахождении центра окружности заданной дуги на дуге выби­раются три произвольные точки и дальнейшее построение выполня­ется аналогично.

Центр окружности легко находится при помощи равнобедренного треугольника (черт. 20). Вершину прямого угла совмещают дважды с произвольными точками окружности. Стороны треугольника пе­ресекут окружность один раз в точках А ж В, второй - в точках С и D . Полученные точки соединяют прямыми АВ и CD , пересечение ко­торых и определит искомый центр О.

Центр окружности определяют и проведением двух непараллель­ ных хорд (черт. 21). Пересечение двух перпендикуляров, проходящих через середины хорд, и будет центром данной окружности О.

Деление окружности на три равные части (черт. 22). Из конца од­ного диаметра проводят дугу радиусом R , равным радиусу заданной окружности. Эта дуга засекает на данной окружности две искомые точки 1 и 2. Третья точка будет лежать на другом конце этого же диаметра. Соединив полученные точки 1, 2, 3 прямыми, получают вписанный в окружность правильный треугольник.

Деление окружности на четыре равные части (черт. 23). Окружность разделится на четыре равные части двумя взаимно перпендикуляр­ными прямыми с точкой пересечения их в центре окружности О. Эти­ми прямыми могут служить вертикальный и горизонтальный диа­метры окружности. Соединив четыре точки по замкнутому контуру прямыми линиями, получают вписанный в окружность квадрат.

Деление окружности на пять и десять равных частей (черт. 24). Проводят два взаимно перпендикулярных диаметра окружности АВ и CD . Радиус ОВ делят пополам в точке Е. Из точки Е делают засеч­ку F на диаметре АВ радиусом, равным отрезку ЕС. Величиной от­резка CF окружность разделится на пять равных частей. Половина отрезка CF разделит окружность на десять равных частей.

Разделить окружность на пять и десять равных частей можно и другим способом (черт. 25). Среднюю точку Е на радиусе ОВ соеди­няют прямой с концом диаметра D . Из точки Е откладывают отре­зок EF = ОЕ. Из точки D проводят дугу радиусом R = DF до пересе­чения с окружностью. Величина хорды MN разделит окружность на пять равных частей, а отрезка DF - на десять равных частей. Соеди­нив последовательно полученные точки ломаной линией, получают вписанный в окружность правильный пяти- или десятиугольник.

 

 

 

  

 

Черт. 18
Черт. 19

 

 

 

Черт. 20

Черт. 21

 

                                C2

:В   А

3 С

4 D

Черт. 23

Черт. 24

 

                                              

 

Деление окружности на шесть равных частей (черт. 26). Радиусом окружности R из двух концов одного какого-либо диаметра, напри­мер CD , проводят две дуги до пересечения с окружностью. Точки пересечения 1, 2, 3, 4 и две точки пересечения этого же диаметра CD разделят окружность на шесть равных частей. Соединив последова­тельно шесть точек прямыми по замкнутому контуру, получают впи­санный в окружность правильный шестиугольник.

Деление окружности на семь равных частей (черт. 27). Радиусом окружности R из конечной точки какого-либо диаметра проводят вспомогательную дугу до пересечения ее с окружностью. Точки MN соединяют прямой. Половина отрезка MN (т. е. отрезок МК) разде­лит окружность на семь равных частей. Соединив последовательно полученные точки прямыми по замкнутому контуру, получают впи­санный в окружность правильный семиугольник.

Деление окружности на восемь равных частей (черт. 28). Два вза­имно перпендикулярных диаметра разделят окружность на четыре равные части ( ABCD ). Два смежных угла делят пополам. Линии де­ления пересекут окружность еще в четырех точках. Соединив восемь точек последовательно ломаной линией, получают вписанный в ок­ружность правильный восьмиугольник.

Деление окружности на двенадцать равных частей (черт. 29). Из четырех концов двух перпендикулярных диаметров проводят вспо­могательные дуги радиусом, равным радиусу окружности R . Восемь точек пересечения дуг окружности в совокупности с точками концов диаметров разделят окружность на двенадцать равных частей. Со­единив последовательно все точки по замкнутому контуру, получа­ют вписанный в окружность правильный двенадцатиугольник.

Деление окружности на любое количество равных частей (черт. 30).

Разделить окружность на любое количество равных частей мож­но и графическим способом (черт. 31). Величину одного диаметра де­лят на то количество одинаковых частей, на которое нужно разде­лить окружность. Из какого-либо конца этого диаметра проводят вспомогательную дугу окружности радиусом R₁, равным диаметру данной окружности до пересечения с диаметром, который проведен перпендикулярно первому в точках F и F_1. Лучи, исходящие из точек F и F₁, и проходящие через четные или нечетные точки на диаметре, разделят окружность на нужное количество равных частей.

При делении окружности на части можно воспользоваться специальными таблицами хорд (коэффициентов для деления окружности). В справочной таблице (таблица 2)   приведены коэффициенты деления окружности на любое количество равных частей. Длина хорды l определяется умножением диаметра окружности d на коэффициент К:

 

                                                             l = dK .

 

Величина коэффициента К зависит от числа частей делений ок­ружности.

 

 

        

                           Таблица 1.2 - Таблица хорд (коэффициентов для деления   окружности)

 

Число частей делений окружности	Коэффи­циент	Число частей  делений окружности	Коэффи­циент	Число частей| делений окружности	Коэффи­циент
1	0,000	22	0,142	43	0,073
2	1,000	23	0,136	44	0,071
3	0,866	24	0,130	45	0,070
4	0,707	25	0,125	46	0,068
5	0,588	26	0,120	47	0,067
6	0,500	27	0,116	48	0,065
7	0,434	28	0,112	49	0,064
8	0,383	29	0,108	50	0,063
9	0,342	30	0,104	51	0,062
10	0,309	31	0,101	52	0,060
11	0,282	32	0,098	53	0,059
12	0,258	33	0,095	54	0,058
13	0,239	34	0,092	55	0,057
14	0,223	35	0,090	56	0,056
15	0,208	36	0,087	57	0,055
16	0,195	37	0,085	58	0,054
17	0,184	38	0,083	59	0,053
18	0,174	39	0,080	60	0,052
19	0,165	40	0,078	61	0,051
20	0,156	41	0,076	62	0,050
21	0,149	42	0,075	63 64	0,050 0,049

                     Примечание.  Пример деления окружности диаметром 50 мм на 14 равных ча­стей:

                                                 d - К = 50 х 0,223 »11,15. Раствором циркуля 11,15 мм окружность 050

                                                раз­делится на 14 равных частей.

 

Сопряжения линий

Сопряжение - плавный переход одной линии в другую. Общая точка этих линий называется точкой сопряжения, или точкой перехода.

Построение касательной к окружности (черт. 32). Касательная пря­мая имеет с окружностью одну общую точку и составляет угол 90° с радиусом, проведенным в эту точку касания. При построении пря­мой, касающейся окружности в заданной точке С,проводят искомую прямую перпендикулярно к радиусу ОС. При нахождении цент­ра окружности, касающейся заданной прямой в точке С, проводят через эту точку перпендикуляр к прямой и откладывают на нем ве­личину радиуса заданной окружности.

Построение касательной к окружности через заданную точку К, лежащую вне окружности (черт. 33). Соединяют точку К с центром окружности О. Расстояние ОК делят пополам. Из средней точки О₁,как из центра, радиусом О₁О проводят дугу окружности, пересекаю­щую заданную окружность в точке С. Касательная СК к окружности перпендикулярна к радиусу ОС. Точка С - точка сопряжения.

Построение внешней касательной к двум окружностям (черт. 34). Из центра О₁, проводят вспомогательную окружность радиусом R₃ = R_l - R₂инаходят точку К. Построение точки К аналогично постро­ению точки С, приведенному на черт. 33. Точку 0, соединяют с точ­кой К прямой и проводят параллельную ей прямую из точки О₂ до пересечения с окружностью. Точки сопряжения С₁ и С₂ будут лежать на пересечении прямых О₁К и ранее проведенной линии из центра О₂с окружностями радиусов R₁и R₂.

Если R₁ = R₂,то точки сопряжения будут лежать на перпендику­лярах, проведенных из центров окружностей к линии центров.

На черт. 35 показано построение касательной к двум окружнос­тям способом, аналогичным предыдущему. Вспомогательная окруж­ность проводится в этом случае радиусом R₃ = R₁ + R₂.

Сопряжение двух дуг окружностей . Точки касания двух дуг окруж­ностей должны находиться на линии центров О₁О₂ (черт. 36) или на продолжении линии центров О₁О₂ (черт. 37). Расстояние между цент­рами О₁О₂ = R₁ + R₂ -  для случая внешнего касания (черт. 36) или О₁О₂ = R₁ - R₂  -  для случая внутреннего касания (черт. 37).

Сопряжение двух дуг окружностей дугой заданного радиуса . Из центров О₁ и О₂описываются дуги вспомогательной окружности ра­диусом R₃ = R + R₁и R₄ = R + R₂(при внешнем сопряжении, черт. 38) или R₃ = R – R₁и R₄ = R - R₂(при внутреннем сопряжении, черт. 39). Точка О пересечения этих дуг и будет центром искомой дуги окруж­ности радиуса R .

Точки сопряжения С, и С₂ будут находиться на линии центров О₁О и О₂О (черт. 38) или на продолжении линии центров (черт. 39).

При нахождении центра радиуса внешне-внутреннего сопряжения вспомогательные дуги проводятся радиусами R ₃ = R – R₁из центра О₁, и R₄= R + R₂из центра О₂ (черт. 40).

Сопряжение двух неконцентрических дуг окружностей дугой задан­ ного радиуса (черт. 41). Из заданного центра О, проводится дуга вспо­могательной окружности радиусом R₃= R₁+ R,а из заданного цент­ра О₂ - радиусом R₄= R₂ - R .  Пересечение этих дуг определит искомый центр О радиуса сопряжения R . Точка касаний С, находится на линии центров О₁О, а С₂ -  на продолжении линии центров О₂О.

Сопряжение окружности с прямой по дуге радиуса R (черт. 42). Из заданного центра О₁ проводится дуга вспомогательной окружности радиусом R₂= R₁ + R и прямая, параллельная заданной, на расстоя­нии R (черт. 42, внешнее касание). Пересечение вспомогательной дуги окружности и прямой определит искомый центр О. Точка сопряже­ния дуг С₁ будет лежать на линии центров О₁О, а прямой и дуги со­пряжения С - на перпендикуляре, проведенном к заданной прямой из центра О.

Отметим прямой угол (90°).

 

 

 

 

 

 

                        

 

В случае внутреннего касания дуга вспомогательной окружности проводится радиусом

R₂ = R₁- R (черт. 43).

Сопряжение пересекающихся прямых дугой окружности радиуса R (черт. 44). Построение сводится к нахождению центра радиуса со­пряжения R . Искомый центр О будет находиться на пересечении вспо­могательных прямых, проведенных параллельно заданным, на рас­стоянии, равном R . Точки сопряжения С₁ и С₂лежат на перпендику­лярах к заданным прямым, проведенных из точки О.

Если величина радиуса сопряжения R не задана, а задана одна из точек сопряжений С₁, то искомый центр О находится на пересечении перпендикуляра, проходящего через точку С₁, и биссектрисы угла, образуемого данными прямыми (черт. 45).

Если заданы две точки сопряжения прямых, а величина радиуса сопряжения неизвестна, то центр О будет находиться на пересече­нии перпендикуляров, проведенных через заданные точки к задан­ным прямым (черт. 46).

Сопряжение параллельных прямых дугой окружности. Если даны две концевые точки сопряжения С₁С₂, то центр радиуса сопряжения R будет лежать на середине прямой С₁С₂ (черт. 47).

Если дана одна точка сопряжения С₁ и надо сопрячь прямые дву­мя одинаковыми радиусами, то точка сопряжения С₁ и центры О₁ и 0₂будут лежать на прямой, проходящей посредине сопрягаемых пря­мых (черт. 48). Центр О₁ находят на пересечении этой линии и пер­пендикуляра, проведенного из точки С₁. Центр О₂находят на рас­стоянии, равном двум R , т. е. O₁О₂ = 2С₁О₁.Точка сопряжения дуг С₃ лежит на пересечении линии центров O₁О₂. Точка сопряжения С₂ле­жит на пересечении перпендикуляра, проведенного через центр О₂к заданной прямой C₂D₂.

Если даны две точки сопряжения и требуется сопрячь их двумя радиусами  R₁ и R₂, то точка сопряжения двух дуг С будет находиться на прямой С₁С₂. Точку С можно отметить посредине прямой С₁С₂,тогда R₁ = R₂(черт. 49), а можно взять произвольно (черт. 50). Центр

радиуса сопряжения О₁ будет лежать на пересечении перпендикуляра, проведенного через точку С₁, и перпендикуляра, проведенного через середину отрезка С₁С. Величина радиусов сопряжения равна отрезкам С₁О₁ и С₂О₂.

 

 

 

 

---

Дата добавления: 2021-05-18; просмотров: 299; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!