Практическое занятие «Решение задач на действия со случайными событиями»
П онятие о случайном событии. Виды событий. Вероятность события . Классическое определение вероятности
Всякое действие, явление, наблюдение с несколькими различными исходами, реализуемое при данном комплексе условий, будем называть испытанием.
Результат этого действия или наблюдения называется событием.
Если событие при заданных условиях может произойти или не произойти, то оно называется случайным. В том случае, когда событие должно непременно произойти, его называют достоверным, а в том случае, когда оно заведомо не может произойти,- невозможным.
События называются несовместными, если каждый раз возможно появление только одного из них.
События называются совместными, если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появление другого при том же испытании.
События называются противоположными, если в условиях испытания они, являясь единственными его исходами, несовместны.
События принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита: а, в, с, д, … .
Полной системой событий а1, а2, а3, … , аn называется совокупность несовместных событий, наступление хотя бы одного из которых обязательно при данном испытании.
Если полная система состоит из двух несовместных событий, то такие события называются противоположными и обозначаются а и 
.
Пример. В коробке находится 30 пронумерованных шаров. Установить, какие из следующих событий являются невозможными, достоверными, противоположными:
|
|
|
Достали пронумерованный шар (а);
Достали шар с четным номером (в);
Достали шар с нечетным номером (с);
Достали шар без номера (д).
Какие из них образуют полную группу?
Решение. А - достоверное событие; д - невозможное событие;
В и с - противоположные события.
Полную группу событий составляют а и д, в и с.
Вероятность события, рассматривается как мера объективной возможности появления случайного события.
Число, являющееся выражением меры объективной возможности наступления события, называется вероятностью этого события и обозначается символом р(а).
Определение. Вероятностью события А называется отношение числа исходов m , благоприятствующих наступлению данного события а, к числу n всех исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных), т.е.
.
Следовательно, для нахождения вероятности события необходимо, рассмотрев различные исходы испытания, подсчитать все возможные несовместные исходы n, выбрать число интересующих нас исходов m и вычислить отношение m к n.
Из этого определения вытекают следующие свойства:
Вероятность любого испытания есть неотрицательное число, не превосходящее единицы.
|
|
|
Действительно, число m искомых событий заключено в пределах 
. Разделив обе части на n, получим
.
2. Вероятность достоверного события равна единице, т.к. 
.
3. Вероятность невозможного события равна нулю, поскольку 
.
Задача 1. В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?
Решение. Общее число различных исходов есть n=1000. Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет m=200. Согласно формуле, получим
.
Задача 2. В партии из 18 деталей находятся 4 бракованных. Наугад выбирают 5 деталей. Найти вероятность того, что из этих 5 деталей две окажутся бракованными.
Решение. Число всех равновозможных независимых исходов n равно числу сочетаний из 18 по 5 т.е.
Подсчитаем число m, благоприятствующих событию а. Среди 5 взятых наугад деталей должно быть 3 качественных и 2 бракованных. Число способов выборки двух бракованных деталей из 4 имеющихся бракованных равно числу сочетаний из 4 по 2:
.
Число способов выборки трех качественных деталей из 14 имеющихся качественных равно
.
Любая группа качественных деталей может комбинироваться с любой группой бракованных деталей, поэтому общее число комбинаций m составляет
|
|
|
.
Искомая вероятность события А равна отношению числа исходов m, благоприятствующих этому событию, к числу n всех равновозможных независимых исходов:
.
Практическое занятие «Решение задач на действия со случайными событиями»
Задача 1. В ящике 5 апельсинов и 4 яблока. Наудачу выбираются 3 фрукта. Какова вероятность, что все три фрукта – апельсины?
Задача 2. Преподаватель предлагает каждому из трех студентов задумать любое число от 1 до 10. Считая, что выбор каждым из студентов любого числа из заданных равновозможен, найти вероятность того, что у кого-то из них задуманные числа совпадут.
Задача 3. Найти вероятность того, что в 8-значном числе ровно 4 цифры совпадают, а остальные различны.
Задача 4. Шесть клиентов случайным образом обращаются в 5 фирм. Найти вероятность того, что хотя бы в одну фирму никто не обратится.
Задача 5. Пусть в урне имеется n шаров, из них м белых и n–m черных. Из урны извлекается n шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно m белых шаров.
Дата добавления: 2021-05-18; просмотров: 100; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!