Свойства преобразований Лапласа
Основы операционного исчисления
Лекция 1
Преобразование Лапласа и его свойства
Операционное исчисление применяется при нахождении как частных, так и общих решений линейных дифференциальных уравнений любого порядка с постоянными коэффициентами, при этом правая часть уравнения на различных интервалах может быть задана различными аналитическими выражениями, а также может иметь точки разрыва. Операционный метод используется для решения однородных и неоднородных систем дифференциальных уравнений, причем правые части неоднородных систем также могут быть заданы на различных интервалах различными аналитическими выражениями и иметь точки разрыва первого рода.
Операционное исчисление широко применяется для решения задач электротехники и теории автоматического управления и регулирования, в частности позволяет найти установившийся ток в колебательном контуре при периодическом и непериодическом внешнем напряжении. Операционные методы позволяют рассчитывать процессы в сложных электрических цепях при произвольном внешнем напряжении. Операционные методы позволяют также находить решения уравнений в частных производных, которые появляются в задачах математической физики, например при решении задачи о колебательном движении струн и стержней, о распространении тепла в стержне, плоских пластинах и пространственных телах, о распространении электрических колебаний вдоль длинных цепей.
|
|
Операционное исчисление строится на основе преобразования Лапласа.
Преобразованием Лапласа или изображением по Лапласу функции вещественной переменной называется функция комплексной переменной , определяемая несобственным интегралом
. (1)
Интегралом Лапласа называется интеграл в правой части (1).
Оригиналом называется функция вещественной переменной , которая удовлетворяет условиям:
1) при ,
2) кусочно-непрерывна при ; это означает, что функция может иметь на каждом отрезке при лишь конечное число точек разрыва первого рода;
3) имеет ограниченную степень роста: при любом , где некоторые постоянные числа. Число называется показателем роста функции или абсциссой сходимости интеграла Лапласа.
Иногда преобразованием Лапласа называется операция перехода от оригинала к изображению . Соответствие между функциями и записывается в виде .
Если функция является оригиналом, то интеграл Лапласа сходится абсолютно и равномерно на комплексной полуплоскости .
Доказательство. Пусть , и . Тогда
. Отсюда следует, что интеграл Лапласа сходится абсолютно при , так как он мажорируется абсолютно сходящимся интегралом. Если же , то , где в правой части неравенства получено число. Следовательно, интеграл Лапласа сходится равномерно при .
|
|
Преобразование Лапласа устанавливает связь между оригиналами и их изображениями. Определенным действиям, производимым над оригиналами, соответствуют некоторые действия, производимые над их изображениями, причем действия над изображениями оказываются более простыми, чем над оригиналами. В частности, дифференциальному уравнению относительно оригинала соответствует алгебраическое уравнение относительно изображения. Если решить это алгебраическое уравнение и затем найти оригинал полученного решения, то тем самым будет получено решение исходного дифференциального уравнения.
Единичной функцией Хевисайда называется функция . График функции Хевисайда имеет вид
Для функции Хевисайда используются также следующие обозначения: , , , , , .
Пример 1. Найти изображение единичной функции Хевисайда.
,
(3)
Условимся в дальнейшем под функцией понимать функцию, которая равна нулю при , т.е. .
Пример 2. Найти изображение показательной функции .
|
|
для .
(4)
Пример 3. Найти изображение степенной функции , и , .
(5)
Свойства преобразований Лапласа
1. Свойство линейности: если и , то
. (6)
Используя это свойство и соотношение (4), найдем изображение тригонометрических и гиперболических функций
(7)
(8)
(9)
Аналогично
(10)
2. Теорема подобия. Для любого
. (11)
Доказательство
3. Теорема смещения: умножение оригинала на множитель приводит к смещению аргумента изображения на .
, .(12)
Пример 4.
(13)
(14)
(15)
4. Теорема запаздывания: включению оригинала с запаздыванием на соответствует умножение изображения на .
(16)
Доказательство. Рассмотрим функцию , тогда
Функцию можно представить в виде и тогда .
Пример 5. Найти изображение функции , которая представляет собой единичный импульс, действующий в течение промежутка времени .
На рисунке представлен график функции .
|
|
Учитывая соотношение (3), в соответствии с теоремой запаздывания получим
.
Пример 6. Найти изображение функции
Представим эту функцию с помощью функции Хевисайда в виде
Здесь были использованы формулы приведения и нечетность функции синуса. В соответствии с формулой (8) тогда по теореме запаздывания . Отсюда для исходной функции получим изображение .
Пример 7. Найти изображение функции .
Запишем функцию с помощью функции Хевисайда в виде . Преобразуем эту функцию к функции аргумента . Очевидно, что . Тогда
Учитывая, что в соответствии с (5) , получим . Отсюда по теореме смещения
. Применяя теперь теорему запаздывания, получим
Пример 8. Найти оригинал для функции .
Учитывая, что в соответствии с формулами (7), (8), и (5) , получим по теореме запаздывания . , Тогда
. Следовательно, функцию можно записать в виде
5. Теорема о дифференцировании оригинала:
Если и функции являются оригиналами, то
, (17)
(18)
………………………………………………..
(19)
В частности, если , то
. (20)
Доказательство.
Здесь было использовано интегрирование по частям при обозначениях . Поскольку , то при , если . Поэтому неинтегральный член дает вклад в результат .
Применим соотношение (17) к (17) повторно, тогда получим
(21)
Применяя соотношение (17) к (21), получим
Продолжая этот процесс. получим
Замечание. Если функция является оригиналом, то она является кусочно-непрерывной, т.е. может иметь на каждом отрезке при лишь конечное число точек разрыва первого рода. Если оригиналом является , то сама функция при всех должна быть непрерывной. Если оригиналом является , то при всех должна быть непрерывной и т.д.
6. Теорема об интегрировании оригинала: интегрирование оригинала в пределах от 0 до приводит к делению изображения на .Если и , то , т.е.
(22)
Доказательство. Обозначим . Учитывая, что и , получим в соответствии с теоремой дифференцирования оригинала
. Поскольку , то . Отсюда .
Из свойств (5) и (6) следует, что более сложным действиям над оригиналами (дифференцированию и интегрированию) соответствуют более простые действия над изображениями (умножение и деление на р).
7. Теорема о дифференцировании изображения: дифференцирование изображения сводится к умножению оригинала на .
. , , , ,
. (23)
Доказательство. Учитывая, что , найдем .
Следовательно, . Применяя эту теорему несколько раз, последовательно найдем оригиналы для высших производных изображения.
8. Теорема об интегрировании изображения: если интеграл сходится, то интегрирование изображения в пределах от до соответствует делению оригинала на .
, (24)
т.е. интегрирование изображения в пределах от до соответствует делению оригинала на .
Пример 9. Найти изображение функции .
Учитывая, что , получим по теореме об интегрировании изображения . Применяя теорему об интегрировании оригинала к полученному соотношению, найдем . Отметим, что интеграл определяет неэлементарную функцию, которая называется интегральный синус.
Пример 10. Найти изображение для функции .
Учитывая, что , с помощью теоремы об интегрировании изображения получим .
Следовательно,
Дата добавления: 2021-05-18; просмотров: 110; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!