Примеры решения систем линейных уравнений методом Гаусса
Пример 1
Решить методом Гаусса систему уравнений
x 1 – 2 x 2 + x 3 + x 4 = –1;
3 x 1 + 2 x 2 – 3 x 3 – 4 x 4 = 2;
2 x 1 – x 2 + 2 x 3 – 3 x 4 = 9;
x 1 + 3 x 2 – 3 x 3 – x 4 = –1.
Решение:Составим матрицу В и преобразуем ее. Для удобства вычислений отделимвертикальной чертой столбец, состоящий из свободных членов:
1 –2 1 1 –1
B = 3 2 –3 –4 2
2 –1 2 –3 9
1 3 –3 –1 –1
Умножим первую строку матрицы В последовательно на 3, 2 и 1 и вычтем соответственно из второй, третьей и четвертой строк. Получим матрицу,эквивалентную исходной:
1 –2 1 1 –1
0 8 –6 –7 5
0 3 0 –5 11
0 5 –4 –2 0
Третью строку матрицы умножим на 3 и вычтем ее из второй строки. Затем новую вторую строку умножим на 3 и на 5 и вычтем из третьей и четвертой строк. Получим матрицу, эквивалентную исходной:
1 –2 1 1 –1
0 –1 –6 8 –28
0 0 –1 0 –3
0 0 0 19 –19
|
|
Из коэффициентов последней матрицы составим систему, равносильную исходной:
x 1 – 2 x 2 + x 3 + x 4 = –1;
– X 2 – 6 x 3 + 8 x 4 = –28;
– x 3 = –3;
19 x 4 = –19.
Решим полученную систему методом подстановки, двигаясь последовательно от последнего уравнения к первому. Из четвертого уравнения x 4 = –1, из третьего х 3 = 3. Подставив значения х3 и x 4 во второе уравнение, найдем x2 = 2. Подставив значения x 2 , x3, x4 в первое уравнение, найдем x 1 = 1.
Ответ. (1; 2; 3;-1).
Пример 2
Решить систему уравнений
Решение :
Выразим из первого уравнения переменную x: и подставим её во второе и третье уравнения:
Выразим теперь из второго уравнения переменную и подставим её в третье уравнение системы: Теперь третье уравнение зависит только от y и мы можем его решить: Итак, переменная y найдена. По уже полученным формулам для x и z мы можем последовательно их найти: Ответ. (2; –1; 1). |
Этот метод иногда можно применить и для решения нелинейных систем.
Пример 3
Решить систему уравнений
|
|
Решение :
Выразим z из второго уравнения: z = 1 + 2x – y и подставим его в первое и третье уравнения. Получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
Опять из первого уравнения выражаем y (её легче выразить, чем x): Подставляем y во второе уравнение и получаем: Теперь по найденному x находим y и z:
Ответ. (1; 0; 3), (–1; –2; 1). |
Контрольные вопросы:
- понятие определителя n-ого порядка;
- методы решения систем линейных уравнений;
- решение систем линейных уравнений методом Крамера;
- формулы Крамера;
- решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Порядок выполнения работы:
- Используя теоретические сведения выполнить предложенное преподавателем задание
- Соответствующим образом оформить работу
Лист 1. Практическая работа № 8 по теме « Решение систем линейных алгебраических уравнений различными способами» Выполнил:__________ (ФИО) группа:_____________ Проверил:__________ Оценка:____________ | Лист 2. № примера Решение: Ответ: |
Оформление работы:
Примеры по теме:
Решение систем линейных уравнений методом Крамера
|
|
ВАРИАНТ 1
Решить системы:
ВАРИАНТ 2
Решить системы:
ВАРИАНТ 3
Решить системы:
ВАРИАНТ 4
Решить системы:
ВАРИАНТ 5
Решить системы:
ВАРИАНТ 6
Решить системы:
ВАРИАНТ 7
Решить системы:
Примеры по теме:
Дата добавления: 2021-05-18; просмотров: 97; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!