Свободные затухающие электрические колебания

Свободные незатухающие электрические колебания

Колебательный контур состоит из конденсатора электроёмкостью , соединённого последовательно с сопротивлением и катушкой индуктивности . Если сопротивление контура , то такой контур называется идеальным и колебания в таком контуре будут незатухающими.

Рассмотрим идеальный колебательный контур.

Зарядим конденсатор, при разомкнутой цепи, от внешнего напряжения max зарядом , при разности потенциалов . В этот момент ток в цепи . Замкнем цепь, конденсатор начнет разряжаться, в контуре пойдет ток.

(На рисунках: ; ).

Вследствие явления самоиндукции, ток в контуре постепенно увеличивается и достигает максимального значения в момент времени , когда заряд на конденсаторе . Далее ток в цепи, сохраняя свое направление, постепенно уменьшается по величине, и при , , при этом заряд конденсатора и разность потенциалов на его обкладках вновь достигают максимальных значений, но , а . Затем процессы идут в обратном направлении.

Энергия незатухающих электрических колебаний

При незатухающих электрических колебаниях ( ) в контуре происходит периодический переход энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки. В моменты: и т.д. энергия электрического поля максимальна и равна , энергия же магнитного поля равна нулю, т.к. тока в цепи нет. В моменты: и т.д. энергия магнитного поля максимальна и равна ; энергия же электрического поля равна нулю, т.к. конденсатор полностью разряжен.

Полная энергия в случае свободных незатухающих колебаний, остается постоянной, так как потерь электромагнитной энергии на нагревание в идеальном колебательном контуре нет

откуда .

В колебательном контуре периодически изменяются (колеблются) заряд и напряжение на обкладках конденсатора и сила тока в катушке индуктивности.

Найдем уравнение колебаний в контуре, содержащем при .

Используем закон Ома

Будем считать положительным ток, заряжающий конденсатор (более полная аналогия между электрическими и механическими колебаниями)

В этом случае , а ( в цепи приложена только ЭДС самоиндукции, возникающая в катушке при протекании по ней переменного тока).

Так как , то закон Ома примет вид

. (8.1)

, ( , т.к. заряд на положительной пластине в указанной ситуации прибывает), то

или , (8.2)

где – собственная циклическая частота колебаний контура.

(8.2) дифференциальное уравнение незатухающих электрических колебаний.

Решением уравнения (8.2) является функция

, (8.3)

где – амплитудный заряд, – начальная фаза колебаний.

(8.3) – закон изменения заряда на обкладках конденсатора.

Так как , то закон изменения напряжения на конденсаторе:

(8.4)

где - амплитуда напряжения.

(8.4) – закон изменения напряжения на конденсаторе

(8.5)

где амплитуда силы тока.

(8.5) – закон изменения силы тока в катушке индуктивности:

Период незатухающих колебаний:

. (8.6)

(8.6) – формула Томсона.

Свободные затухающие электрические колебания

В реальном колебательном контуре всегда есть электрическое сопротивление . При прохождении через него электрического тока выделяется тепло (проводник нагревается), вследствие чего свободные колебания затухают.