Площадь криволинейной трапеции
Урок №127
Комбинированное занятие № 56
Тема: Понятие неопределенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции.
Цель:
Учебная:
- познакомить обучающихся с понятием неопределенного интеграла, научить находить площадь криволинейной трапеции;
Развивающая:
- формирование умений применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного, логически излагать мысли, делать выводы, развивать речь, внимание и память.
Воспитательная:
- способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выявления главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.
Методы обучения: практическая работа, контрольная работа.
Оборудование: компьютер, проектор.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Формируемые на уроке ПК и ОК
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.
План занятия.
1. Организационный момент.
2. Актуализация темы.
3. Понятие неопределенного интеграла.
4. Площадь криволинейной трапеции.
5. Домашнее задание.
6. Итоги занятия.
Ход занятия.
|
|
|
1. Организационный момент – приветствие, проверка посещаемости.
Актуализация темы.
Обучающиеся вспоминают, что такое первообразная.
Понятие неопределенного интеграла.
Неопределенным интегралом от непрерывной на интервале (а; b ) функции f (х) называют некоторую ее первообразную. Неопределенный интеграл от функции f(x) обозначают так:
dx
В этой записи функцию f(x) называют подынтегральной функцией, а выражение f(x)dx — подынтегральным выражением.
Из сказанного следует, что если функция F (х) есть какая-то первообразная для функции f(x) на интервале (а; b ), то
(x)dx= F(x) + C, (1)
где С – некоторая постоянная.
ПРИМЕР. Для любых х 
справедливы равенства:
= x + C, 
= 
+ C (n = 2, 3, …)
= 
+ C (a ≠ 0), 
= 
+ C (a ≠ 0),
где С – некоторая постоянная.
Если функция F(x) есть первообразная для функции f(x) на интервале 
, то для k ≠ 0 справедливо равенство
= 
F(kx + b) + C.
где С – некоторая постоянная.
Если f 1 (x) и f2(x) — непрерывные на интервале (a; b) функции и А1 и А2 — постоянные, то имеет место равенство, выражающее основное свойство неопределенного интеграла:
= 
+ 
+ C ( 2 )
где C – некоторая постоянная.
Это свойство распространяется на любое количество слагаемых (с любым знаком).
|
|
|
Как следствие при А1 = 1, А2 = ±1, п = 2 получаем равенства:
= 
+ 
+ C
= – + C
а при А1 = А и A2 = 0, f1 = f – равенство
= 
+C
где C – некоторая постоянная.
Площадь криволинейной трапеции
Пусть функция у = f(x) неотрицательна и непрерывна на отрезке [a; b]. График ее изображен на рисунке слева. Поставим задачу определить понятие площади фигуры, ограниченной кривой – графиком функции у = f(x), осью Ох, прямыми х = а, х = b, и вычислить площадь этой фигуры, называемой криволинейной трапецией.
Поставленную задачу естественно решать так. Произведем разбиение отрезка [ a; b] на п частей точками:
а = х0 < х1 < ... < хп = b, (3)
выберем на каждом из частичных отрезков [хj; хj+1] (j = 0, 1, ... ..., п – 1) по произвольной точке сj и составим сумму
Sn = f(c0)Δx0 + f(c1)Δx1 + ... + f(c n )Δx n, где
Δx j = xj+1 – xj.
Эта сумма, очевидно, равна сумме площадей закрашенных прямоугольников (см. рис. слева).
Устремим теперь все Δx j к нулю, неограниченно увеличивая п (п → 
), и притом так, чтобы длина самого большого частичного отрезка разбиения стремилась к нулю. Если при этом величина Sn стремится к определенному пределу S, не зависящему от способа разбиения (3) и выбора точек с} на частичных отрезках, то величину S называют площадью данной криволинейной трапеции. Итак,
|
|
|
S = 
f(c0)Δx0 + f(c1)Δx1 + ... + f(c n-1 )Δx n-1).
Пусть теперь функция y = f(x) неположительна и непрерывна на отрезке
[a; b] (рис. справа).
Рассмотрим функцию у = –f(x). Она непрерывна и неотрицательна на отрезке [a; b]. Криволинейные трапеции A1BCD1 и ABCD, ограниченные соответственно кривыми у = –f(x) и у = f(x), а также осью Ох и прямыми
х = а и х = b, симметричны относительно оси Ох. Поэтому естественно считать, что трапеция ABCD имеет площадь S1 равную площади S2 трапеции A1BCD1.
Сумму
Sn = f(c0)Δx0 + f(c1)Δx1 + ... + f(c n-1 )Δx n-1 (4)
называют интегральной суммой.
Таким образом, площадь криволинейной трапеции, расположенной:
а) над отрезком [a; b] оси Ох есть предел интегральной суммы Sn, когда maxΔx j → 0;
б) под отрезком [a; b] оси Ох, есть взятый со знаком «минус» предел интегральной суммы S n, , когда maxΔx j → 0.
Домашнее задание
Учебник Башмакова, стр. 198-201
Учебник Никольского, 11 класс, §§6.6. 6.7 №6.48, №6.69(а).
Итог урока
Обучающиеся отвечают на вопросы, что они сегодня изучили, что было понятно, а что нет.
Дата добавления: 2021-05-18; просмотров: 65; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!