Менять ли функцию на кофункцию или оставить прежней?

Санкт-Петербургское государственное бюджетное профессиональное учреждение

«Реставрационный колледж «Кировский»

Методическая разработка по теме

«Формулы приведения»

Преподаватель: Подзорова Т И

Март 2020г

Вступление

Данная методическая разработка посвящена изучению темы «Формулы приведения»

Формулы приведения имеют широкое практическое применение. Они позволяют упрощать выражения, находить значения некоторых тригонометрических выражений без использования калькулятора. В данной работе дан полный список формул, показан вывод формул с помощью формул сложения, приведены примеры их использования при решении упражнений.

Дано мнемоническое правило, которое позволяет не запоминать каждую формулу отдельно, а запомнить сам принцип преобразований.

 

Формулы приведения

Формулы ,позволяющие свести вычисления синуса, косинуса, тангенса и котангенса любого угла к вычислению их значений для острого угла.

Формулы приведения для тригонометрических функций можно доказать с помощью формул сложения.

Например:

Применяя формулу сложения для синуса, получаем                                 =

=

Таким образом можно доказать все оставшиеся формулы .

Таблица формул приведения

Формул приведения очень много. Таблицей пользоваться не всегда удобно.

Запомнить их трудно, да в этом нет необходимости. Достаточно запомнить одно правило:

1. Если под знаком преобразуемой тригонометрической функции содержится сумма аргументов вида π+t, π−t,2π+t, 2π−t, то наименование тригонометрической функции следует сохранить;

 

2. если под знаком преобразуемой тригонометрической функции содержится сумма аргументов вида +t, −t, +t, −t, то наименование тригонометрической функции следует изменить (на кофункцию :

3. перед полученной функцией от аргумента t надо поставить тот знак, который имела бы преобразуемая функция при условии, что 0<t<π2.

Как определить знак перед конечной функцией (плюс или минус)?

Какой знак был у исходной функции в исходной четверти, такой знак и нужно ставить перед конечной функцией.

Например, выводим формулу приведения для cos( − )=....

С исходной функцией понятно – косинус, а исходная четверть?

Для того, чтобы ответить на этот вопрос, представим, что

– угол от 0 до π2, т.е. лежит в пределах 0°…90∘ (хотя это может быть не так, но для определения знака данная условность необходима). В какой четверти тригонометрической окружности при таком условии будет находиться точка, обозначающая угол − ?

Чтобы ответить на вопрос, надо от точки, обозначающей   повернуть в отрицательную сторону на угол a

.

В какой четверти мы окажемся? В третьей. А какой же знак имеет косинус в третьей четверти? Минус. Поэтому перед итоговой функцией будет стоять  минус:   cos( − )=.-  

Менять ли функцию на кофункцию или оставить прежней?

Здесь правило еще проще:

- если «точка привязки»    (90  или   (270 )

– функция меняется на кофункцию;
- если «точка привязки» π  (180  ) или 2 (360 )

– функция остается той же.

То есть, при аргументах исходной функции + ,  − , +

 или , мы должны поменять функцию, а при аргументах π+ , π− , 2π+   или 2π−  - нет

. Для того, чтоб это легче запомнить, вы можете воспользоваться мнемоническим правилом, которое в школе называют «лошадиным правилом»:

Точки, обозначающие   (90  или (270 )

 расположены вертикально, и если вы переводите взгляд с одной на другую и назад, вы киваете головой, как бы говоря «да

Точки же, обозначающие π (180  ) или 2 (360 ) расположены горизонтально, и если вы переводите взгляд между ними, вы мотаете головой, как бы говоря «нет».

 Эти «да» и «нет» - и есть ответ на вопрос: «меняется ли функция?».
Таким образом, согласно правилу, в нашем примере выше cos(3π2−a)=...

косинус будет меняться на синус. В конечном итоге получаем,  cos( − )= −sin a

 

. Примеры с формулами приведения

Пример:         Преобразуем cos( + ).

Наименование функции изменяется на sin . Далее из того, что 0< < , следует, что + — аргумент из второй четверти, а в ней преобразуемая функция косинус имеет знак «минус». Этот знак надо поставить перед полученной функцией. Таким образом,  cos( + )= -

Пример .   Угол 120  лежит во второй четверти,значит в качестве «точки привязки» можем взять либо 180 , либо 90

I способ:

II способ:

Решение упражнений

Зачем нужны формулы приведения? Ну, например, они позволяют упрощать выражения или находить значения некоторых тригонометрических выражений без использования калькулятора.

Пример . (Задание из ЕГЭ) Найдите значение выражения                  18cos41: sin49∘

Решение:

18cos41 sin49 =

 

Углы 41 и 49  нестандартные, поэтому «в лоб» без калькулятора вычислить непросто. Однако, используя формулы приведения, мы легко найдем правильный ответ.
Прежде всего, обратите внимание на один  важный момент: 49 =90 −41 . Поэтому мы можем заменить на 49  на 90 −41

.

=18cos41 sin(90 −41 )=

 

Теперь применим к синусу формулу приведения: 90 −41

· – это первая четверть, синус в ней положителен. Значит, знак будет плюс;

 

• 90 - находится на «вертикали» - функция меняется на кофункцию.

sin(90 −41 )=cos41

=18cos41 cos41 =

 

=18

 

Ответ: 18

Пример.  Вычислите при помощи формул приведения а) sin600 , б) tg480 , в) cos330 , г) sin240

.Решение: а) sin600 =sin(360 +240 )= - =−

б) tg480 =tg(360 +120 )=tg120 = =

в) cos330 =cos(360 −30 )=cos30 =

г) sin24 =sin(270 −30 )=−cos30 =−

Задача  Упростить выражение:

Решение:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Ответ: 1.

 

 

 Вычислить

Решение:

1.

2

3.

Ответ:

  Решить уравнение:

Решение:

Задача 6. Решите уравнение:

Решение:

1)

2)

3) при любом действительном

Ответ:

Самостоятельная работа

Учебник алгебры Алимова

---

Дата добавления: 2021-05-18; просмотров: 66; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!