Признаки делимости на 10, 100 и 1000.

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

На 10 делятся только те числа, последняя цифра которых нуль, на 100 - только те числа, у которых две последние цифры нули, на 1000 - только те, у которых три последние цифры нули.

Примеры.
8200 делится на 10 и на 100;
542000 делится на 10, 100, 1000.

Признак делимости на 11.

На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, занимающих нечетные места, либо равна сумме цифр, занимающих четные места, либо разнится от нее на число, делящееся на 11.

Примеры.
Число 103785 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих нечетные места, 1+3+8=12 равна сумме цифр, занимающих четные места 0+7+5=12.
Число 9163627 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих нечетные места, есть 9 + 6 + 6 + 7 = 28, а сумма цифр, занимающих четные места, есть 1 + 3 +2 =6; разность между числами 28 и 6 есть 22, а это число делится на 11.
Число 461025 не делится на 11, так как числа 4+ 1 + 2 = 7 и 6 +0 + 5=11 не равны друг другу, а их разность 11 -7 = 4 на 11 не делится.

Признак делимости на 7.

Таким образом, для делимости на числа первого десятка, кроме 7, существуют удобные признаки; для 7 удобного признака делимости не найдено.

Можно дать следующий признак делимости на 7, который недостаточно удобен. Разобьем число справа налево на грани, по три цифры в каждой грани. Число делится на 7, если разность суммы чисел в гранях, стоящих на четных местах, и суммы чисел в гранях, стоящих на нечетных местах, делится на 7. Так, число 159 213 608 421 делится на 7, так как 421 + 213=63, 608 + 159 = 767 и разность 767 - 634 = 133 делится на 7.

Теоремы о делимость суммы, разности и произведения.

Если каждое слагаемое делится на данное число, то и сумма делится на это число.

Обратное утверждение неверно.

Если каждое из двух чисел делится на данное число, то и их разность делится на это число.

Если в сумме чисел все слагаемые, кроме одного, делятся на данное число, то сумма не делится на это число.

Если в произведении чисел один из множителей делится на данное число, то и произведение делится на это число.

Упражнения.

1. Женщина несла на базар корзину яиц. Прохожий нечаянно толкнул женщину, корзина упала и яйца разбились. Виновник несчастья, желая возместить потерю, поинтересовался, сколько яиц было в корзине. - Точно не помню, ответила женщина, - но знаю, что когда я вынимала из корзины по 2, по 3, по 4, по 5, по 6 яиц, в корзине оставалось одно яйцо, а когда я вынимала по 7, в корзине ничего не оставалось. Сколько яиц было в корзине ? Решение: Если бы из корзины вынули одно яйцо, оставшееся количество яиц делилось бы нацело на 2, 3, 4, 5, и 6. Числа, для которых это выполняется, - это 60 и числа, кратные 60-ти. Задача сводится к нахождению числа, кратного 60-ти, которое делилось бы на 7 после добавления 1 ( или, иными словами, при делении на 7 давало бы остаток 6). Число 60 при делении на 7 дает остаток 4. Следовательно, нужно найти число, кратное 4-ем, которое было бы на 6 больше числа, кратного 7-ми. Это число - остаток от деления общего числа яиц на 7, оно равно 7· 2 +6 = 20. ** В этом числе остаток 4 содержится пятикратно, значит, первоначально в корзине было 60 · 5 + 1 = 301 яйцо. ** Замечание. Следующее, большее число, обладающее указанным свойством, равно 7 · 6 + 6 = 48. Такой остаток может быть получен при 12-кратном повторении порции 60 яиц (48 : 4 = 12). В этом случае, число яиц в корзине составило бы 60 · 12 + 1 = 721 яйцо - вариант, в рассматриваемой ситуации нереальный. Такую корзину женщине не поднять.

2. В команде рептилий были только черепашки. Черепашек было больше 50-ти, но меньше 100.На церемонии открытия Олимпийских Игр Зверей эту команду никак не удавалось построить рядами по 2, 3, или 4 животных, так как одного животного всегда не хватало в последнем ряду.
Поэтому пришлось построить команду черепашек рядами по 5 животных в каждом ряду.
Сколько всего черепашек было в команде рептилий?

Решение:

Если искомое число черепашек увеличить на 1, оно будет делиться на 2, 3, 4. Наименьшее общее кратное этих чисел 12.Возьмем под подозрение числа, кратные 12, большие 50 и меньшие 100. Это будут числа: 60, 72, 84 и 96.Искомое число должно быть на 1 меньше указанных чисел и делиться на 5.Из нашего ряда подходит только число 96, так как: 96 - 1 = 95, получаем число, делящееся на 5.Итак, 95 черепашек было в команде рептилий.

3. Делимое в шесть раз больше делителя, а делитель в шесть раз больше частного. Чему равны делимое, делитель и частное?

Решение: Искомое частное равно 6; оно показывает, во сколько раз делимое больше делителя. Делитель в 6 раз больше частного и равен 36.Делимое в 6 раз больше делителя и равно 216.

4. К числу 10 припишите справа и слева по одной цифре так, чтобы получить число, кратное 72.

5. Вставить вместо звездочек цифры, чтобы число 82** делилось на 90.

6. К числу 13 припишите справа и слева по одной цифре, чтобы полученное число было кратно 45.

7. У Змея Горыныча 1000 голов. Илья Муромец может одним ударом меча отрубить1, 17, 21 или33 головы, но при этом у змея отрастает соответственно 10, 14, 0 или 48 голов. Сможет ли богатырь победить змея?

8. Коля и Вася живут в одном доме, на каждой лестничной клетке которого 4 квартиры. Коля живет на пятом этаже, в квартире 83, а Вася - на 3-ем этаже в квартире 169.Сколько этажей в доме ?

Решение:

Если вести сквозной отсчет этажей, начиная с первого подъезда, то Коля живет на 21- м этаже [83 : 4] = 20 (3).В своем подъезде Коля живет на 5-м этаже, поэтому в подъездах, предшествующих Колиному, 16 этажей. 16 делится лишь на числа, кратные 2-м, поэтому в доме может быть либо 16 этажей, либо 8 этажей (вариант четырехэтажного дома исключаем, поскольку Коля живет на 5 этаже). Вася живет на 43 этаже, считая от первого этажа первого подъезда [169: 4] = 42 (1).Значит в подъездах, предшествующих Васиному, 40 этажей. 40 делится на 8, но не делится на 16,следовательно, в доме 8 этажей. Замечание. В процессе решения задачи мы определили числа этажей (16 и 40) в двух разных группах подъездов. Число этажей в каждой группе подъездов кратно числу этажей в доме, оно равно произведению числа этажей в доме на число подъездов в группе. Задача сводится к нахождению общего делителя чисел 16 и 40 (с уcловием, что делитель этот не меньше 5-ти).

Занятие18-21 Задачи на переливание.

Цель: Формирования навыков анализа, применения знаний в нестандартной ситуации; развитие логического мышления, формирование творческой компетентности.

Упражнения.

1. Имеется два сосуда емкостью 3л и 5л. Нужно, пользуясь этими сосудами, получить 1л воды. В нашем распоряжении водопроводный кран и раковина, куда можно сливать воду. Решение:Наполним водой трехлитровый сосуд, затем перельем из него воду в пятилитровый сосуд. Повторим эту операцию, пока не наполнится 5 литровый сосуд. Тогда в первом сосуде останется 1л воды.

2. Как, пользуясь сосудами 7л и 12л, получить 1л воды? В нашем распоряжении водопроводный кран и раковина, куда можно сливать воду.

Решение: Наполним водой 7 литровый сосуд и перельем воду в 12 литровый сосуд. Повторим эту операцию. В первом сосуде осталось 2л воды, второй сосуд – наполнен до краев. Выльем из него воду и перельем в него 2 л воды из первого сосуда. Затем наполняем первый сосуд и переливаем воду во второй сосуд. Повторим операцию. В первом сосуде останется 4 л воды, а второй – наполнен полностью. Выльем из него воду и перельем из первого сосуда 4 л воды. Продолжаем переливать воду из первого сосуда. Когда второй сосуд будет заполнен, в первом останется 6 л воды. Выльем воду из второго сосуда и перельем из первого 6 л воды. Продолжаем наполнять второй сосуд. Когда он будет заполнен, в первом останется 1 литр воды.

Из восьмилитрового ведра, наполненного молоком, надо отлить 4 литра с помощью двух пустых бидонов: трехлитрового и пятилитрового.

Решение: Переливаем из восьмилитрового ведра 5 литров молока в пятилитровый бидон. Переливаем из пятилитрового бидона 3 литра молока в трехлитровое. Выльем эти 3 литра в восьмилитровое ведро. Теперь в нем 6 литров молока, в пятилитровом бидоне – 2 литра, а трехлитровый бидон пуст. Переливаем 2 литра молока из 5 литрового бидона в трехлитровый, а потом наливаем в него 5 литров молока из ведра.. Теперь в восьмилитровом ведре 1 литр молока, в пятилитровом бидоне 5 литров, а в трехлитровом -0 2 литра. Доливаем дополна трех литровый бидон из пятилитрового и переливаем эти 3 литра в восьмилитровое ведро. Теперь в нем 4 литра молока.

4. Двенадцати ведерная бочка наполнена керосином. Как разлить его на две равные части, пользуясь пяти ведерной и восьми ведерной бочками?

Решение: Перельем из первой бочки в третью 8 ведер керосина. Затем из третьей бочки перельем во вторую 5 ведер и выльем их обратно в 12-ти ведерную бочку. Теперь у нас в первой бочке 9 ведер керосина, в третьей бочке -3 ведра, а вторая бочка пуста. Выльем в нее3 ведра керосина из 8-и ведерной бочки, а в восьми ведерную бочку перельем 8 ведер из 12-ти ведерной. Тогда в ней останется 1 ведро керосина. Из восьми ведерной бочки дольем дополна пяти ведерную бочку. В восьми ведерной осталось 6 ведер керосина. Перельем 5 ведер керосина из пяти ведерной бочки в двенадцати ведерную. Теперь в ней 6 ведер керосина. Керосин разделен поровну.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Имеется десятилитровое ведро с молоком. Как с помощью 7л и 3л бидонов отлить 4л молока?

2. Есть три бидона емкостью 14л, 9л и 5л. В большем бидоне 14 литров молока, остальные бидоны пусты. Как с помощью этих бидонов разлить молоко пополам?

3. Как, имея лишь два сосуда емкостью 5л и 7л налить из крана 6л воды?

4. Каким образом можно принести с реки ровно 6л воды, если имеется только два ведра: одно емкостью 4л, другое – 9 литров?

5. В первый сосуд входит 9л, во второй – 5л, а в третий – 3л. Первый сосуд наполнен водой, а остальные два пусты. Как с помощью этих сосудов отмерить 1л воды? 4л воды?

6. Бидон емкостью 10 литров наполнен молоком. Требуется перелить из этого бидона 5 литров в семилитровый бидон, используя при этом еще один бидон, вмещающий 3 литра.

Домашнее задание.

1. Имеются три сосуда емкостью 6л, 3л и 7л. В первом сосуде 4л кваса, в третьем – 6л кваса. Как разделить этот квас пополам, используя только эти сосуды?

2. Имеется 12-ти литровая бочка с молоком. Используя 8-и и 5-и литровые бидоны, отлить 3 литра молока.

Занятие 22-25 Принцип Дирихле и его применение к решению задач.

Цель: Развитие логического мышления, формирование познавательного интереса, навыков анализа, умений аргументировать своё высказывание, культуры устной речи.

Одной из форм методов рассуждения «от противного» является принцип Дирихле. В простой и наглядной формулировке его можно пояснить так: «Если в п клетках находится не менее п+1 зайца, то в какой-то из клеток их не менее двух».Иначе говоря, если предметов больше, чем мест, по которым мы их распределяем, то на какое-то место попадает не менее двух предметов.

Доказывать это можно, например, так.

Предположим, что нет такой клетки, где больше одного зайца. Тогда в п клетках окажется не более п зайцев, а по условию их не менее п+1 - противоречие.

Упражнения.

1. В мешке лежат шарики двух разных цветов: черного и белого. Какое наименьшее число шариков нужно вынуть из мешка так, чтобы среди них заведомо оказались два шарика одного цвета?

Решение: Будем рассматривать в качестве клеток два цвета – черный и белый. Зайцами будем считать вынимаемые шарики. Тогда достаточно взять три шарика, чтобы выполнить требование задачи. Ясно, что двух шариков для этого будет не хватать.

2. В лесу растет миллион елок. Известно, что на каждой из них не более 600000 иголок. Доказать, что в лесу найдутся две елки с одинаковым количеством иголок.

Решение: В данном случае удобно считать зайцами елки, а клетками - возможные количества иголок. Клеток всего 600001 (от 0 до 600000), а зайцев миллион, то есть гораздо больше. Если бы в каждой клетке сидело не более одного зайца, то всего зайцев было бы не более 600001, что противоречит условию. Значит, найдутся две елки с одинаковым количеством иголок.

Принцип Дирихле в обобщенной формулировке : «Если в п клетках размещены пк+т зайцев (0<т<к), то хотя бы в одной клетке их не менее к+1».

3. В классе 30 человек. В диктанте один ученик сделал 13 ошибок, а остальные – меньше. Доказать, что по крайней мере три ученика сделали ошибок поровну (может быть и по 0 ошибок).

Решение: рассмотрим в качестве клеток количество сделанных ошибок. Зайцами будут ученики. В клетку 0 поместим всех, кто не сделал ни одной ошибки, в клетку 1 – тех, у кого 1 ошибка и так далее до клетки 13, в которую попал единственный неудачник. Теперь применим принцип Дирихле: предположим, что никакие 3 ученика не сделали по одинаковому числу ошибок, то есть в каждую из клеток 0,1,2, …,12 попало меньше трех школьников. Тогда в каждой из них – два человека и меньше, а всего в этих 13 клетках не больше 26 человек. Если прибавить к ним неудачника с 13 ошибками, все равно не наберем 30 учеников. Противоречие.

Задачи для самостоятельного решения.

1. В магазин привезли 25 ящиков яблок трех сортов. В каждом ящике лежат яблоки одного сорта. Продавец утверждает, что у него нет 9 ящиков с яблоками одного сорта. Не ошибся ли он?

2. В поход пошли 20 туристов. Самому старшему из них 35 лет, а самому младшему а)16 лет б) 17 лет. Верно ли что среди туристов есть одногодки?

3. Волк попытался обманом пробраться в дом к семерым козлятам, но те бросили в него 22 кочана капусты, после чего побитый хищник удрал в лес зализывать раны. Каждый козленок принял участие в сражении и бросил хотя бы один кочан. Докажите, что какие-то козлята бросили в волка одинаковое число кочанов.

4. В школе учатся 400 учеников. Докажите, что хотя бы двое из них отмечают день рождения в один и тот же день.

5. Дед Мазай в половодье спас 25 зайцев и привез к себе на ферму. В клетке может с комфортом разместиться не более 4 зайцев. Сумеет ли дед Мазай обеспечить комфортные условия для спасенных зверушек в своих 6 клетках?

6. Дед Мазай засеял морковью 50 грядок, причем на каждой у него выросло не более 40 морковок. Докажите, что найдутся грядки, где число морковок совпадет.

7. Сможете ли вы разложить 44 шарика на 9 кучек так, чтобы количество шариков в разных кучках было различным?

8. Докажите, что в любой компании из 5 человек есть двое, имеющие одинаковое число знакомых в этой компании.

Домашнее задание.

1. В математической олимпиаде приняло участие 100 школьников. Докажите, что хотя бы у 4 участников фамилия начинается с одной буквы.

2. В классе 25 учащихся. Докажите, что хотя бы у трех из них день рождения приходится на один месяц.

Занятие № 26-29 Графы и их применение к решению задач.

Цель: Развитие логического мышления, графической культуры, аккуратности, наблюдательности.

Графы- рисунки, состоящие из точек и линий, которые соединяют эти точки. Точки называют вершинами графа, а линии – ребрами графа.

В повседневной жизни мы часто встречаем графы. Это и схема метро, изображение железных дорог на картах, схемы авиалиний.

Особым видом графа является дерево. Это способ организации информации об отношении между объектами. В нем нет циклов. Примерам такого дерева может служить генеологическое дерево.

Степенью вершины графа называется количество выходящих из него ребер. Вершина, имеющая четную степень, называется четной вершиной. Вершина, имеющая нечетную степень, называется нечетной вершиной.

1. В селе Васюки 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы каждый телефон был соединен ровно с 5 другими?

Решение : Пусть телефоны – вершины графа, а провода – его ребра. Степень каждой вершины графа 5. Чтобы найти число проводов, надо просуммировать степени всех вершин графа и полученный результат разделить на 2. Но в результате получим дробное число. Значит, каждый телефон нельзя соединить ровно с 5 другими телефонами.

2. В государстве 100 городов и из каждого города выходит 4 дороги. Сколько всего дорог в государстве?

Решение: 100·4:2=200

3. Нарисовать фигуру, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя два раза по одной линии. Все ли фигуры получились? Почему?

4. Задача о Кенигсбергских мостах.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Может ли в государстве, в котором из каждого города выходит ровно 3 дороги, быть ровно 100 дорог?

2. Какие буквы русского алфавита можно нарисовать одним росчерком?

3. Муха забралась в банку, имеющую форму куба. Сможет ли муха обойти все 12 ребер, не проходя дважды по одному ребру и не перелетая с места на место?

4. В квартирах 1,2 и 3 живут Саша , Маша и Наташа. В квартирах 1 и 2 живет не Саша. Маша живет в квартире 1. Кто в какой квартире живет?

5. В школьном драмкружке решили ставить гоголевского «Ревизора». И тут разгорелся жаркий спор. Все началось с Ляпкина-Тяпкина.

- Ляпкиным-Тяпкиным буду я! – решительно заявил Гена.

- Нет, я буду Ляпкиным-Тяпкиным, - возразил Дима. – С раннего детства мечтал воплотить этот образ на сцене.

- Ну, хорошо, согласен уступить эту роль, если мне дадут сыграть Хлестакова, - проявил великодушие Гена.

- …А мне – Осипа – не уступил ему в великодушии Дима.

- Хочу быть Земляникой или Городничим, - сказал Вова.

- Нет, Городничим буду я, - хором закричали Алик и Боря. – Или Хлестаковым, - добавили они одновременно.

Удастся ли распределить роли так, чтобы исполнители были довольны? (Мы не спрашиваем, будут ли довольны зритель.)

6. В первенстве класса по настольному теннису принимали участие 6 учеников: Андрей, Борис, Виктор, Галина, Дмитрий и Елена. Первенство проводится по круговой системе – каждый из участников играет с каждым из остальных один раз. К настоящему моменту некоторые игры уже проведены: Андрей сыграл с Борисом, Галиной и Еленой; Борис, как уже говорилось, с Андреем и еще с Галиной; Виктор – с Галиной, Дмитрием и Еленой; Галина – с Андреем и Виктором. Сколько игр проведено к настоящему моменту и сколько еще осталось?

7. В шахматном турнире участвовало 7 человек. Каждый с каждым сыграл по одной партии. Сколько партий они сыграли? (Ответ: 21 партию)

8. На улице, став в кружок, беседуют четыре девочки: Аня, Валя, Галя и Надя. Девочка в зеленом платье ( не Аня и не Валя) стоит между девочкой в голубом платье и Надей. Девочка в белом платье стоит между девочкой в розовом платье и Валей. Какое платье носит каждая девочка? ( Ответ: Аня в белом платье, Валя – в голубом, Галя – в зеленом, Надя – в розовом)

9. На одном заводе работают три друга: слесарь, токарь и сварщик. Их фамилии Борисов, Иванов и Семенов. У слесаря нет ни братьев, ни сестер, он самый младший из друзей. Семенов старше токаря и женат на сестре Борисова. Назовите фамилии слесаря, токаря и сварщика. ( Ответ: Иванов- слесарь, Борисов – токарь, Семенов – сварщик)

Домашнее задание.

1. Составить генеологическое дерево своей семьи.

2. В розыгрыше первенства по футболу участвуют 17 команд. Каждая команда с каждой из остальных должна сыграть 2 раза: на своем и на чужом поле. Сколько матчей будет сыграно в турнире? ( Ответ:272 матча)

3. В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в бутылке, сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом, в банке не лимонад и не вода. Стакан стоит около бутылки и сосуда с молоком. В какой сосуд налита каждая жидкость? ( Ответ: Молоко – в кувшине, лимонад – в бутылке, квас – в банке, вода – в стакане).

Занятие 30-31 Множество. Способы задания множеств. Пересечение и объединение множеств.

Цель: сформировать представление о множестве и его элементах, о пустом множестве, способах задания множеств. Развитие логического мышления, графической культуры, аккуратности, наблюдательности.

Понятие множества , подобно понятиям точки, числа и т.д., не сводится к другим понятиям и не определяется. Мы можем говорить о множестве всех учеников школы, о множестве всех людей на Земле, о множестве всех картофелин на картофельном поле, о множестве всех целых чисел и т.д.

Когда в математике говорят о множестве, то объединяют некоторые предметы или понятия в одно целое – множество, состоящее из этих элементов. «Множество есть много чего-то, мыслимое, как единое». (Георг Кантор)

Предметы, составляющие множество, называют его элементами. Если х является элементом множества А, то пишут х А.Если объект х не является элементом множества А, то пишут х А.

Упражнения.

1. Какие названия используют для обозначения множества животных?

2. как называют множество артистов, работающих в театре?

3. Как называют множество царей (фараонов, императоров, …), данного государства, принадлежащих одному семейству?

4. Как называют множество цветов, стоящих в вазе?

5. Как называют множество точек земной поверхности, равноудаленных от Северного полюса?

Множество иногда можно задать перечислением его элементов. Например, множество стран земного шара задаются их списком в атласе, множество учащихся класса – их списком в классном журнале. Если множество задано списком, то используют фигурные скобки, в которые помещают название всех элементов множества, разделяя их запятыми. Например, запишем множество однозначных чисел, меньших 5: {1,2,3,4}. Но элементы этого множества можно записать и в другом порядке: {3,2,4,1}. Такие множества, состоящие из одинаковых элементов, называют равными.

Но не все множества можно задать списком. Если множество содержит бесконечно много элементов, то такой список составить невозможно. Множество считают заданным, если указано некоторое свойство, которым обладают все его элементы, но не обладают никакие другие объекты. Такое свойство называют характеристическим свойством. Одно множество может быть задано разными характеристическими свойствами.

В геометрии множество точек, обладающих данным характеристическим свойством, называют геометрическим местом точек с данным свойством. Например, биссектриса угла – геометрическое место точек плоскости, лежащих внутри этого угла и равноудаленных от сторон.

Множество элементов, обладающих данным характеристическим свойством, обозначают так: А={х:-4≤х≤6}. Эта запись означает, что множество А состоит из всех чисел х, удовлетворяющих неравенству -4≤х≤6.

Упражнения.

6. В данных множествах все элементы, кроме одного, имеют некоторое свойство. Исключите лишний элемент.

а) {2,6,15,84,156}

б) {9,15,21,23,471}

в) {жираф, аист, корова, барсук, собака}

Множество, не имеющее ни одного элемента, называют пустым множеством. Примером таких множеств могут служить множество шестилапых собак, множество точек пересечения параллельных прямых, и т.д. Пустое множество обозначают так : Ø

Упражнения.

7. Среди данных множеств укажите пустое множество.

а) множество прямоугольников с неравными сторонами

б) множество прямоугольников с неравными углами.

в) множество прямоугольников с неравными диагоналями.

г) множество натуральных чисел.

На дне рождения у Ани были Надя, Миша, Петя и Леночка, а на дне рождения у Вити – Шура, Надя и Петя. Обозначим А={ Надя, Миша, Петя , Леночка }; В={ Шура, Надя , Петя }. Надя и Петя – общие элементы множеств Аи В.

Все общие элементы множеств, и только такие, образуют множество, которое называют пересечением данных множеств. А В={+Надя; Петя}

Если А В= Ø, то множества не имеют общих элементов или не пересекаются.

Упражнения.

8. Заштрихуйте пересечение треугольников на рисунке. Какую фигуру вы получили?

Из одного класса в сборную по легкой атлетике входят Миша, Петя, Сева и Коля. В сборную по волейболу – Миша, Коля и Саша. Обозначим А={ Миша, Петя, Сева , Коля}; В={ Миша, Коля , Саша}. Членами сборной спортивной команды будут все мальчики, принадлежащие этим множествам.

А В={ Миша, Петя, Сева , Коля, Саша}.

Объединением множеств называется множество всех элементов, принадлежащих этим множествам.

Упражнения.

9. Найти пересечение и объединение множеств А и В.

А={5,26,58,39,17,81}; В={17,26,58,3}

Самостоятельная работа.

1. Как называют множество птиц, летящих вместе?

2. Назвать три элемента множества дней недели.

3. Запишите множество четных однозначных чисел.

4. Запишите все множества, равные множеству{2,5,7}.

5. По какому характеристическому свойству образованы данные множества: А={5,10,15,20,25,30,35,40,45,50}; В={март, апрель, май}

6. В данных множествах все элементы, кроме одного, имеют определенное свойство. Опишите это свойство и исключите лишний элемент. А={треугольник, квадрат, круг, прямоугольник, шестиугольник}; В={бежать, смотреть, синий, рисовать, знать}.

7. М- множество всех автомобилей жителей Донецка, В- множество всех автомобилей марки «Волга», С- множество всех серых автомобилей. Что представляет собой множество : М

8. На каждом рисунке заштриховать множество А В.

Домашнее задание:

1. Задать два множества перечислением его элементов.

2. Задать множество , указав его характеристическое свойство.

3. придумать задачу на нахождение объединения и пересечения множеств.

Занятие 32-34 Подмножество. Диаграмма Эйлера-Венна.

Цель: сформировать представление об отношении между множествами и их элементами. Научить работать с диаграммами Эйлера-Венна. Развитие логического мышления, графической культуры, культуры устной и письменной речи, аккуратности, наблюдательности. Формирование творческой и коммуникативной компетентностей.

Если каждый элемент множества В одновременно является и элементом множества А, то В- подмножество А. В А. Каждое непустое множество имеет по крайней мере два подмножества: пустое множество и само это множество. Таким образом, пустое множество является подмножеством любого множества.

Упражнения.

1. Расставить множества, чтобы каждое последующее было подмножеством предыдущего.

а) Множество всех позвоночных животных

б) множество всех животных

в) множество всех млекопитающих животных

г) множество всех волков.

2. Расставить множества, чтобы каждое последующее было подмножеством предыдущего

а) множество действительных чисел;

б) множество целых чисел;

в) множество натуральных чисел;

г) множество рациональных чисел.

Рассмотрим множество С= {1,2,3,а,б,с,о}, которое разбито на две части: А={1,2,3}и В={а,в,с,о}. Видим, что А

В= Ø, А

В=С.

Объединение непересекающихся множеств называют суммой этих множеств и записывают А+В=С.

Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов множества А, которые не являются элементами множества В. Запись «А\В» читают: «Разность множеств А и В»

Графическое представления разности множеств А и В представлено на рисунке. Множество А\В закрашено.

	В

Известный швейцарский математик Эйлер предложил изображать объем понятий в границах круга. Такие круги были названы его именем – круги Эйлера. Например, понятия деревья и тополя – совместные, так как объем понятия тополя полностью входит в объем понятия деревья. Несовместные понятия – это понятия, объемы которых не имеют общих элементов. Например, понятия огурцы и помидоры – несовместны, так как нет огурцов, которые одновременно являются помидорами, и наоборот, нет помидоров, которые одновременно являются огурцами.

Изобразим с помощью кругов Эйлера соотношения между объемами понятий: А- числа, В – четные числа, С – нечетные числа, Д –трехзначные числа, Е – шестизначные числа, М - числа, в разряде десятков тысяч которых 4 единицы. Рисунок имеет такой вид.

Упражнения.

1. Покажите графически с помощью кругов Эйлера соотношения между объемами понятий: А- города, В – столицы, С- города России, Д- Москва.

2. Покажите графически с помощью кругов Эйлера соотношения между объемами понятий: А- люди, В- студенты, Д- дончане, Е – студенты, получающие повышенную стипендию.

Некоторые задачи можно решать с помощью теории множеств.

Пример.

Приехали 100 туристов. Из них 10 – не знают ни немецкого, ни французского языков, 75 знают немецкий язык и 83- французский. Сколько туристов знают и немецкий, и французский языки?

Решение.

Прямоугольник – это все 100 туристов. Часть прямоугольника, не входящая в круги, - это туристы, которые не знают ни немецкого, ни французского языков. Меньший круг – 75 туристов, которые знают немецкий язык, больший круг -83 туриста, которые знают французский язык. Пересечение кругов – туристы, знающие оба языка. Их количество нужно найти. 100-10=90 – количество туристов, знающих хотя бы один из языков. 90-83 туристов знают только немецкий язык. 75-7=68 туристов знают оба языка.

Упражнения.

1. В поход ходили 80% учеников класса, а на экскурсии было 60% учеников, причем каждый был или в походе, или на экскурсии. Сколько процентов учеников класса было и там, и там?

2. В классе 235 учащихся. 20 из них занимаются в математическом кружке, 11- в биологическом, а 10 ничем не занимаются. Сколько учащихся занимается и математикой, и биологией.

3. Из 35 учащихся класса 12 принимали участие в конкурсе чтецов, 10 – в конкурсе рисунков, 4 – принимали участие в этих двух конкурсах. Сколько учащихся не принимало участия ни в одном из конкурсов?

4. Группа из 80 туристов приехала на экскурсию. 52 хотят пойти в театр, 30- в музей, а 12 хотят пойти и в театр и в музей. Сколько туристов не собирается посещать ни театр, ни музей?

5. Сколько детей в семье, если 7 из них любят капусту, 6 – морковку, 5- горох, 4- капусту и морковку, 3- капусту и горох, 2- морковку и горох, а 1 любит и капусту, и морковку, и горох.

Самостоятельная работа.

a. В лагере отдыха оздоравливалось 70 детей. 27 из них посещают театральный кружок, 32 – поют в хоре, 22- посещают спортивные секции. В театральном кружке – 10 участников хора и 8 спортсменов. 3 спортсмена посещают театральный кружок и хор. Сколько детей не поет в хоре?

b. Из 38 пятиклассников изостудию посещает 28, а лыжную секцию – 17. Сколько «лыжников» посещает изостудию, если 4 пятиклассника не посещают ни один из этих кружков?

Домашнее задание:

В бригаде строителей были каменщики, штукатуры, печники и подсобные рабочие. Среди каменщиков, являющихся и печниками, нет ни одного, кто был бы штукатуром. Все каменщики, являющиеся штукатурами, еще и печники. Кроме того известно:

1) рабочих, владеющих только одной специальностью, столько же, сколько подсобных рабочих;

2) сумма удвоенного числа рабочих, являющихся только штукатурами и утроенного числа рабочих, являющихся только каменщиками, равна 15;

3) число рабочих, владеющих специальностью каменщика в 5 раз меньше, чем сумма числа 9 и утроенного числа рабочих, владеющих всеми специальностями.

Сколько рабочих в бригаде?

Занятие 35. Итоговое занятие.

Цель: систематизация и обобщение знаний учащихся.

Решение задач школьного этапа республиканской олимпиады по математике, конкурсов «Кенгуру» и «Золотой ключик».

Дата добавления: 2021-05-18; просмотров: 171; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 12

Мы поможем в написании ваших работ!