Замечательные точки треугольников

Лекция 2 (часть 1)

Треугольник и его элементы.

Треугольником называется множество трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.

Элементами треугольника являются три стороны, три угла, три тройки отрезков: биссектрисы, медианы, высоты. Иногда к ним присоединяют еще серединные перпендикуляры к сторонам.

Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенный из этой вершины к прямой, содержащей противоположную сторону.

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий данную вершину с серединой противоположной стороны.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине. Сами углы треугольника называют внутренними.

Теорема: Свойство средней линии треугольника

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне и равна ее половине

Доказательство: самостоятельно

Теорема: Сумма углов треугольника равна 180°

Доказательство: самостоятельно

Теорема: Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, несмежных с ним

Доказательство: самостоятельно

Следствие: Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла треугольника, несмежного с ним.

Доказательство: самостоятельно

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны.

Свойства равнобедренного треугольника:

1) В Равнобедренном треугольнике углы при основании равны

(обратно: Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный)

2) Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является биссектрисой и высотой

(без доказательства)

Прямоугольным называется треугольник, у которого один угол прямой.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

(без доказательства)

Два треугольника называются равными, если стороны и углы обоих треугольников соответственно равны

Основное свойство существования равных треугольников задается аксиомой:

· Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.

Предложения, известные как признаки равенства треугольников, дают необходимые и достаточные условия для того, чтобы два треугольника были равны.

(Сформулировать и доказать самостоятельно три признака равенства треугольников):

4) Если два угла и сторона противолежащая одному из этих углов данного треугольника соответственно равны двум углам и стороне другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

ÐА=ÐА'

ÐВ=ÐВ'

ВС=В'С'

т.к. ÐА=ÐА'

ÐВ=ÐВ', то ÐС=ÐС'. Таким образом, по второму признаку равенства треугольников они равны.

5) Если две стороны и угол, лежащий против большей из этих сторон одного треугольника соответственно равен двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

АВ=А'В'

ВС=В'С'

ВС>АВ

В'С'>А'В'

ÐА=ÐА'

Методом от противного докажем, что АС=А'С'. Предположим, что АС≠А'С' и для определенности будем считать, что АС<А'С'. Тогда выберем на А'С' такую точку С'', что АС=А'С''. Тогда треугольник DА'В'С''=DАВС (почему?

)

. Отсюда ВС= В'С'', но по условию ВС= В'С', таким образом, треугольник В'С'С'' – равнобедренный, а по свойству равнобедренного треугольника углы Ð2=Ð3. Но Ð1>Ð3 (почему?

)

и Ð2>ÐA' ( почему? )

Таким образом, Ð1>Ð3, но Ð3=Ð2, а Ð2>ÐA', т.е. получаем, что Ð1>ÐA'. из чего следует, что

А'В'> В'С''(почему? ).

Но В'С''=ВС, следовательно, А'В'>ВС что невозможно по условию. Таким образом, АС= А'С' и треугольники DА'В'С'=DАВС равны по первому признаку.

Замечательные точки треугольников

Теорема: Во всяком треугольнике перпендикуляры, восстановленные в серединах сторон пересекаются в одной точке.

Доказательство: Пусть дан треугольник DАВС. m^AB и проходит через середину АВ, l^AC и проходит через середину АС. Они пересекаются в точке О, так как не могут быть параллельны (почему?

)

Докажем, что прямая, проходящая через середину ВС перпендикулярно ей, проходит через точку О.

Т.к. точка О принадлежит прямой l, то она равноудалена от точек А и С, следовательно, ОА=ОС. Аналогично ОА=ОВ. Но тогда и ОС=ОВ, значит точка О равноудалена от точек В и С, т.е. лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ВС.

Замечание: Точка пересечения серединных перпендикуляров – центр описанной окружности.

Теорема: Во всяком треугольнике все высоты пересекаются в одной точке

Доказательство: Пусть дан треугольник DАВС. Через вершину В проведем А'С'//АС. Через вершину А - В'С'//ВС. Через С - А'В'//АВ. Получим треугольник DА'В'С'. Докажем, что высоты треугольника DАВС являются серединными перпендикулярами DА'В'С'.

Пусть АD^ВС. По построению ВС// В'С', значит AD^ В'С'. Аналогично можно показать, что другие высоты перпендикулярны сторонам треугольника DА'В'С'. Покажем, что AD проходит через середину стороны В'С'. Действительно, т.к. четырехугольник С'ВСА – параллелограмм (почему?

то ВС=С'А, ВС'=АС. Изпараллелограмма АВСВ' аналогично получаем АВ=СВ' и ВС=АВ'.

Отсюда С'А=АВ', т.е. точка А – середина стороны С'В'. Значит, АD – серединный перпендикуляр к С'В'. Аналогично остальные высоты треугольника DАВС являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника DА'В'С', а значит, пересекаются в одной точке.

Замечание: Точка пересечения высот треугольника – ортоцентр треугольника.

Теорема: Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке

Доказательство: самостоятельно

Замечание: Точка пересечения биссектрис внутренних углов треугольника – центр вписанной окружности.

Теорема: Обобщенная теорема о биссектрисах углов треугольника

6 биссектрис внутренних и внешних углов треугольника пересекаются по три в четырех точках:

в одной из этих четырех точек пересекаются биссектрисы внутренних углов треугольника(1),

а в каждой из трех других – биссектрисы внешних углов при двух вершинах и биссектриса внутреннего угла при третьей вершине(2).

Доказательство: То, что биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке, доказано в предыдущей теореме.

Рассмотрим второй случай.

Пусть n – биссектриса угла ÐDBC(ее точки равноудалены от сторон угла BD и BC)

l – биссектриса угла ÐBА C(ее точки равноудалены от сторон угла А B и А C)

m – биссектриса угла ÐЕCВ(ее точки равноудалены от сторон угла ЕС и CВ). Лучи n и m пересекутся в точке О, которая будет равноудалена от AD и АЕ ( почему?

)

т.е. точка О будет лежать на луче l, биссектрисе угла ÐВАС. Аналогично проводится доказательство для оставшихся двух случаев.

Теорема: Три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка отсекает от любой медианы часть, считая от соответствующей стороны.

Доказательство: Пусть ВК=КО и AD=DO. Тогда соединим отрезками точки DK и EF. В треугольнике DАВО DK – средняя линия. По свойству средней линии DK//AB и .

EF – средняя линия треугольника DАВС, По свойству средней линии EF//AB и . Отсюда DK= EF, т.е. DKEF – параллелограмм. Отсюда КО=ОF, DO=OE. Но КО=КВ, DO=AD. Значит, медианы разделены на три равные части и, в частности, , . Аналогично рассматривается, что медианы АЕ и СМ пересекаются и отсекают точкой пересечения , следовательно, СМ проходит через точку О.

Замечание: Точка пересечения медиан треугольника – центр тяжести треугольника.

Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания вписанной окружности проходят через одну точку, которая называется точкой Жергона

Дата добавления: 2021-04-24; просмотров: 62; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!