Критерии проверки и оценка решений задания 14

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 15Следующая ⇒

Задание 14 – стереометрическая задача, она разделена на пункты а и б. Для получения 2 баллов нужно, чтобы были выполнены оба пункта, а для получения 1 балла хватает выполнения одного из этих пунктов.

Содержание критерия	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Задача 14 (демонстрационный вариант 2020 г.).

Все рёбра правильной треугольной призмы имеют длину . Точки и — середины рёбер и соответственно.

а) Докажите, что прямые и перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями и .

Решение. а) Пусть точка — середина . Тогда

Вместе с тем

а тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник является прямоугольным с прямым углом .

б) Проведём перпендикуляр к прямой . Тогда и . Следовательно, . Поэтому — проекция на плоскость .

Прямая перпендикулярна , тогда по теореме о трёх перпендикулярах . Следовательно, угол — линейный угол искомого угла.

Длина равна половине высоты треугольника , то есть . Поэтому . Следовательно, .

Ответ: б) .

Задание 1

В правильной треугольной призме сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 3. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём . Точка — середина ребра . Плоскость параллельна прямой и содержит точки и .

а) Докажите, что прямая перпендикулярна плоскости .

б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка , а основание — сечение данной призмы плоскостью .

Решение.

а) Проведём через точки

прямые, параллельные

. Пусть эти прямые пересекают рёбра

в точках

соответственно (рис. 1). Тогда трапеция

является сечением исходной призмы плоскостью

. Рассмотрим плоскость

. Пусть эта плоскость пересекает прямые

в точках

соответственно. Четырёхугольник

— прямоугольник, причём

Кроме того, , , откуда , . Пусть — высота трапеции (рис. 2), тогда

. Поскольку

, то есть прямые

перпендикулярны.

Прямая параллельна прямой , которая перпендикулярна плоскости . Значит, прямые и перпендикулярны прямой , поэтому прямая перпендикулярна плоскости .

б) Расстояние от точки до плоскости равно , а площадь трапеции равна

Значит, искомый объём равен .

Ответ: б) .

Задание 2

Основанием четырёхугольной пирамиды является трапеция , причём . Плоскости и перпендикулярны плоскости основания, — точка пересечения прямых и .

а) Докажите, что плоскости и перпендикулярны.

б) Найдите объём пирамиды , если , а высота пирамиды равна 9.

Решение.

а) Заметим, что . Плоскости и перпендикулярны плоскости основания, поэтому они пересекаются по прямой, содержащей высоту пирамиды. Значит, — высота пирамиды. Таким образом, угол является линейным углом двугранного угла между плоскостями и . Значит, они перпендикулярны.

б) Поскольку , трапеция является равнобедренной. Значит,

;

Таким образом, площадь треугольника равна ,
а объём пирамиды равен .

Ответ: б) 12.

Задание 3

В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 7. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём . Плоскость содержит прямую и параллельна прямой .

Рис. 1

Рис. 2

а) Докажите, что плоскость параллельна прямой .

б) Найдите расстояние от точки до плоскости .

Решение.

а) По условию , значит, прямые и параллельны. Следовательно, плоскости и параллельны (рис. 1).

Поскольку отрезки и параллельны, а плоскость параллельна плоскости , прямая параллельна плоскости .

б) Поскольку плоскость параллельна прямой , расстояние от точки до плоскости равно расстоянию от прямой до плоскости . Пусть точки и — середины рёбер и соответственно. Тогда прямые и перпендикулярны прямой . Таким образом, плоскость перпендикулярна прямой и параллельной ей плоскости . Пусть плоскость пересекает прямые и в точках и соответственно (рис. 2). Тогда искомое расстояние равно расстоянию от точки до прямой . Высота пирамиды лежит в плоскости , откуда