Производная сложной и обратной функции.
Теорема. Пусть функции имеют производные в точке . Тогда справедливы соотношения:
1) (1)
2) (2)
3) . (3)
Доказательство. Придадим аргументу приращение . Тогда функция получит приращение , получит приращение . Так как по условию теоремы и имеют производные, то по теореме из предыдущего пункта эти функции непрерывны в точке . Следовательно, при имеют место: .
1) Если , то ;
.
2) Если , то ;
.
Из теоремы вытекает следствие: если , то . (4)
Доказательство. Сначала найдем производную для функции , где .
Если получило приращение , то . Следовательно, , тогда 0. Таким образом, .
Тогда, подставляя в (2) , где , с учетом , получим (4).
Соотношения (1)-(4) называют правилами дифференцирования.
Пример. Найдем производную для .
. Тогда, используя (3), получаем: .
Таким образом, .Аналогично доказывается .
Производная сложной функции.
Пусть задана сложная функция .
Теорема. Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в соответствующей точке , то и сложная функция имеет производную в точке . При этом .
Примеры. Найти производные функций:
1) - сложная функция. Обозначим: .
.
2) - сложная функция. Обозначим .
.
3) простая функция. Однако для нахождения представим ее в виде сложной:
, где .
.Таким образом, .
Можно доказать, что это соотношение справедливо для любых , при которых функция
|
|
определена.
Производная обратной функции.
Рассмотрим функцию , возрастающую (убывающую) и непрерывную на некотором промежутке . Тогда по теореме существования для этой функции существует обратная функция , определенная в соответствующем промежутке , также возрастающая (убывающая) и непрерывная.
Теорема. Пусть - монотонная, непрерывная функция, определенная на промежутке и имеющая в точке производную, отличную от нуля: . Тогда обратная функция в соответствующей точке имеет производную .
Пример. Найти производную функции .
Решение. Функция, обратная заданной, имеет вид . Тогда
.
Преобразования выполнены с учетом того, что для , поэтому .
Аналогично доказываются следующие формулы:
; ; .
Объединим в одну таблицу основные формулы и правила дифференцирования.
Таблица производных.
1) , где .
2) , где . В частности, .
3) .
В частности, .
4) . В частности, .
5) . 6) .
7) . 8) .
9) . 10) .
11) . 12) .
Правила дифференцирования.
I. Если - дифференцируемые функции, , то
|
|
1)
2)
3)
4) .
Лекция 3.
Дифференциал функции одной переменной. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала.
Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.
Дифференциал функции. Связь дифференциала с производной.
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и непрерывна
при . Пусть - приращение независимой переменной в этой точке. Если приращение функции в точке можно представить в виде
, (1)
где не зависит от , а б/м при , то функцию называют дифференцируемой в точке .
Пример. Пусть . Тогда, выбрав произвольное , получаем:
.
Обозначив ( не зависит от ), , получаем, что для функции
в точке . Заметим, что в данном примере .
Определение. Дифференциалом функции называется главная часть ее приращения , линейная относительно приращения независимой переменной .
Теорема. Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала конечная производная , при этом . (2)
|
|
Доказательство.
1) Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке , т.е. . Тогда, разделив обе части равенства на и переходя к пределу
при , получаем ;
.
Таким образом, из дифференцируемости функции в точке следует существование производной и равенство .
2) Достаточность. Пусть для функции в точке существует производная . Тогда , или , где б/м при .
Умножив обе части этого равенства на , получим . (3)
Так как не зависит от , и при , то равенство (3)
аналогично (1). При этом .
Замечание.
1) Из определения и теоремы вытекает, что для всякой дифференцируемой в точке функции справедливо соотношение . Тогда , (4)
поскольку б/м более высокого порядка, чем .Это равенство широко применяют для приближенных вычислений.
2) Введем понятие дифференциала независимой переменной. Для этого рассмотрим функцию . С одной стороны, . С другой стороны, из теоремы следует, что .
Таким образом, дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: . (5)
3) С учетом (5) формулу (2) для вычисления дифференциала функции можно записать в виде . (6)
|
|
Из этого равенства вытекает, что . Следовательно, производная функции равна отношению дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной .
Геометрический смысл дифференциала..
Пусть задана функция , имеющая производную в точке . Из существования производной следует, что . Тогда . . Следовательно, дифференциал функции равен приращению ординаты касательной , проведенной к кривой |
Свойства дифференциала функции.
Если и дифференцируемые функции, , то
1) .
2) .
3) .
4) .
5) .
6) .
Доказательство. В качестве примера докажем свойство 5.
.
Остальные свойства доказываются аналогично.
Производные высших порядков.
Как уже ранее отмечалось, если функция имеет производную в каждой точке некоторого промежутка , то сама производная является функцией независимой переменной . Если при этом функция дифференцируема,
т.е. существует производная , то ее называют второй производной функции . Рассуждая аналогично, получим .
Определение. Производной го порядка функции называется производная от производной го порядка.
Примеры.
1) .
2)
Вторая производная от функции имеет определенный физический смысл. Если характеризует скорость изменения переменной , то величина задает ускорение.
Основные теоремы дифференциального исчисления.
Дифференциальное исчисление является удобным аппаратом для исследования функций. В основе различных приложений лежат рассматриваемые ниже теоремы, которые также называют теоремами о среднем.
Теорема Ферма.
Теорема. Если функция определена на некотором промежутке , во внутренней точке этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение, и в этой точке существует конечная производная , то .
Доказательство. Положим, для определенности, что в точке функция принимает наибольшее значение: , тогда при любом или получим:
. Следовательно, при ,
а при . Поскольку, по условию теоремы, производная при существует, то, перейдя к пределу в неравенствах при , получаем:
при ; при .
Существование производной обусловливает тот факт, что левая и правая производные должны быть равны, а это возможно лишь в том случае, когда . Таким образом, из существования производной следует: .
Теорема имеет простое геометрическое содержание, а именно: если в точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение и существует , то ,следовательно, в этой точке угловой коэффициент касательной . Тогда |
касательная в этой точке параллельна оси OX.
Теорема Ролля.
Теорема. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на
интервале и , то существует по крайней мере одна точка , такая, что .
Доказательство. Так как функция определена и непрерывна на отрезке , то она принимает на этом промежутке свои наибольшее и наименьшее значения. При этом возможны следующие случаи:
1) . Тогда функция на всем отрезке – величина постоянная, т.е. . Следовательно, , и в качестве точки можно выбрать любую точку, принадлежащую интервалу .
2) . Тогда . Причем, поскольку из условия теоремы , то хотя бы одно из значений или функция принимает во внутренней точке промежутка . Тогда, по теореме Ферма, получаем: . Теорема доказана.
Геометрический смысл заключается в том, что при выполнении условий теоремы на графике функции найдется хотя бы одна точка, в которой касательная параллельна оси OX.
Заметим, что все условия теоремы существенны, и нарушение хотя бы одного из них делает теорему неверной. В качестве примера можно рассмотреть функцию
на отрезке (нарушено условие существования производной во внутренней точке ).
Теорема Лагранжа.
Теорема. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на
интервале , то существует по крайней мере одна точка такая, что
. (1)
Соотношение (1) называется формулой Лагранжа.
Геометрический смысл теоремы заключается в том, что для функции найдется хотя бы одна точка , в которой касательная к графику функции будет параллельна хорде . |
Теорема Коши.
Данную теорему называют также теоремой о конечных приращениях.
Теорема. Если функции и непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале и для , то существует по крайней мере одна точка такая, что .
Лекция 4.
Дата добавления: 2021-04-23; просмотров: 80; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!