Решить примеры на логику высказываний самостоятельно, а затем посмотреть решения
Логика высказываний: определение и применение
Логика высказываний, называемая также пропозициональной логикой - раздел математики и логики, изучающий логические формы сложных высказываний, построенных из простых или элементарных высказываний с помощью логических операций.
Высказываниями принято считать такие предложения (написанные на "словесном" либо математическом языке), о которых можно сказать одно из двух: либо они являются истинными, либо ложными.
С математическими высказываний проще всего: они всегда имеют либо значение "истина", либо значение "ложь". Для высказываний, сделанных на "словесном" языке, понятия "истинности" и "ложности" несколько более расплывчаты. Однако, например, такие словесные формы, как "Иди домой" и "Идёт ли дождь?", не являются высказываниями. Поэтому понятно, что высказываниями являются такие словесные формы, в которых что-либо утверждается. Не являются высказываниями вопросительные или восклицательные предложения, обращения, а также пожелания или требования. Их невозможно оценить значениями "истина" и "ложь".
Логика высказываний отвлекается от содержательной нагрузки высказываний и изучает их истинностное значение, то есть является ли высказывание истинным или ложным.
Рисунок слева - иллюстрация явления, известного как "Парадокс лжеца". При этом, на взгляд автора проекта, такие парадоксы возможны только в средах, несвободных от политических заморочек, где на ком-то могут априори поставить клеймо лжеца. В естественном многослойном мире на предмет "истины" или "лжи" оцениваются только отдельно взятые высказывания. И далее на этом уроке вам представится возможность самим оценить на этот предмет немало высказываний (а затем посмотреть правильные ответы). В том числе сложных высказываний, в которых более простые связаны между собой знаками логических операций. Но прежде рассмотрим сами эти операции над высказываниями.
|
|
|
Логические операции над высказываниями
Итак, высказывания можно рассмотривать как величину, которая может принимать два значения: "истина" и "ложь".
Например, даны суждения: "собака - животное", "Париж - столица Италии", "3 < 5", "в каждом треугольнике биссекрисса делит противоположную сторону на две равные части".
Первое из этих высказываний может быть оценено символом "истина", второе - "ложь", третье - "истина" и четвёртое - "ложь". Такая трактовка высказываний составляет предмет алгебры высказываний. Будем обозначать высказывания большими латинскими буквами A, B, ..., а их значения, то есть истину и ложь, соответственно И и Л. В обычной речи употребляются связи между высказываниями "и", "или" и другие.
|
|
|
Эти связи позволяют, соединяя между собой различные высказывания, образовывать новые высказывания - сложные высказывания. Например, связка "и". Пусть даны высказывания: "π больше 3" и высказывание "π меньше 4". Можно организовывать новое - сложное высказывание "π больше 3 и π меньше 4". Высказывание "если π иррационально, то π² тоже иррационально" получается связыванием двух высказываний связкой "если - то". Наконец, мы можем получить из какого-либо высказывания новое - сложное высказывание - отрицая первоначальное высказывание.
Рассматривая высказывания как величины, принимающие значения И и Л, мы определим далее логические операции над высказываниями, которые позволяют из данных высказываний получать новые - сложные высказывания.
Пусть даны два произвольных высказывания A и B.
1. Первая логическая операция над этими высказываниями - конъюнкция - представляет собой образование нового высказывания, которое будем обозначать A ∧ B и которое истинно тогда и только тогда, когда A и B истинны. В обычной речи этой операции соответствует соединение высказываний связкой "и".
|
|
|
Таблица истинности для конъюнкции:
| A | B | A ∧ B |
| И | И | И |
| И | Л | Л |
| Л | И | Л |
| Л | Л | Л |
2. Вторая логическая операция над высказываниями A и B - дизъюнкция, выражаемая в виде A ∨ B, определяется следующим образом: оно истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из первоначальных высказываний истинно. В обычной речи эта операция соответствует соединению высказываний связкой "или". Однако здесь мы имеем не разделительное "или", которое понимается в смысле "либо-либо", когда A и B не могут быть оба истинны. В определении логики высказываний A ∨ B истинно и при истинности лишь одного из высказываний, и при истинности обоих высказываний A и B.
Таблица истинности для дизъюнкции:
| A | B | A ∨ B |
| И | И | И |
| И | Л | И |
| Л | И | И |
| Л | Л | Л |
3. Третья логическая операция над высказываниями A и B, выражаемая в виде A → B; полученное таким образом высказывание ложно тогда и только тогда, когда A истинно, а B ложно. A называется посылкой, B - следствием, а высказывание A → B - следованием, называемая также импликацией. В обычной речи эта операция соответствует связке "если - то": "если A, то B". Но в определении логики высказываний это высказывание всегда истинно независимо от того, истинно или ложно высказывание B. Это обстоятельство можно кратко сформулировать так: "из ложного следует всё, что угодно". В свою очередь, если A истинно, а B ложно, то всё высказывание A → B ложно. Оно будет истинным тогда и только тогда, когда и A, и B истинны. Кратко это можно сформулировать так: "из истинного не может следовать ложное".
|
|
|
Таблица истинности для следования (импликации):
| A | B | A → B |
| И | И | И |
| И | Л | Л |
| Л | И | И |
| Л | Л | И |
4. Четвёртая логическая операция над высказываниями, точнее над одним высказыванием, называется отрицанием высказывания A и обозначается ~ A (можно встретить также употребление не символа ~, а символа , а также верхнего надчёркивания над A). ~ A есть высказывание, которое ложно, когда A истинно, и истинно, когда A ложно.
Таблица истинности для отрицания:
| A | ~ A |
| Л | И |
| И | Л |
5. И, наконец, пятая логическая операция над высказываниями называется эквивалентностью и обозначается A ↔ B. Полученное таким образом высказывание A ↔ B есть высказывание истинное тогда и только тогда, когда A и B оба истинны или оба ложны.
Таблица истинности для эквивалентности:
| A | B | A → B | B → A | A ↔ B |
| И | И | И | И | И |
| И | Л | Л | И | Л |
| Л | И | И | Л | Л |
| Л | Л | И | И | И |
В большинстве языков программирования есть специальные символы для обозначения логических значений высказываний, записываются они почти во всех языках как true (истина) и false (ложь).
Подытожим вышесказанное. Логика высказываний изучает связи, которые полностью определяются тем, каким образом одни высказывания строятся из других, называемых элементарными. Элементарные высказывания при этом рассматриваются как целые, не разложимые на части.
Систематизируем в таблице ниже названия, обозначения и смысл логических операций над высказываниями (они нам вскоре вновь понадобятся для решения примеров).
| Связка | Обозначение | Название операции |
| не | 
| отрицание |
| и | 
| конъюнкция |
| или | 
| дизъюнкция |
| если ..., то... | 
| импликация |
| тогда и только тогда | 
| эквивалентность |
Для логических операций верны законы алгебры логики, которые можно использовать для упрощения логических выражений. При этом следует отметить, что в логике высказываний отвлекаются от смыслового содержания высказывания и ограничиваются рассмотрением его с той позиции, что оно либо истинно, либо ложно.
Пример 1. Вычислите логические значения следующих высказываний:
1) (2 = 2) И (7 = 7);
2) Не(15 < 3);
3) ("Сосна" = "Дуб") ИЛИ ("Вишня" = "Клён");
4) Не("Сосна" = "Дуб");
5) (Не(15 < 3)) И (10 > 20);
6) ("Глаза даны, чтобы видеть") И ("Под третьим этажом находится второй этаж");
7) (6/2 = 3) ИЛИ (7*5 = 20).
Решение.
1) Значение высказывания в первых скобках равно "истина", значение выражения во вторых скобках - также истина. Оба высказывания соединены логической операцией "И" (смотрим правила для этой операции выше), поэтому логическое значение всего данного высказывания - "истина".
2) Значение высказывания в скобках - "ложь". Перед этим зтим высказыванием стоит логическая операция отрицания, поэтому логическое значение всего данного высказывания - "истина".
3) Значение высказывания в первых скобках - "ложь", значение высказывания во вторых скобках - также "ложь". Высказывания соединены логической операцией "ИЛИ" и ни одно из высказываний не имеет значения "истина". Поэтому логическое значение всего данного высказывания - "ложь".
4) Значение высказывания в скобках - "ложь". Перед этим высказыванием стоит логическая операция отрицания. Поэтому логическое значение всего данного высказывания - "истина".
5) В первых скобках отрицается высказывание во внутренних скобках. Это высказывание во внутренних скобках имеет значение "ложь", следовательно, его отрицание будет иметь логическое значение "истина". Высказывание во вторых скобках имеет значение "ложь". Два этих высказывания соединены логической операцией "И", то есть получается "истина И ложь". Следовательно, логическое значение всего данного высказывания - "ложь".
6) Значение высказывания в первых скобках - "истина", значение высказывания во вторых скобках - также "истина". Два этих высказывания соединены логической операцией "И", то есть получается "истина И истина". Следовательно, логическое значение всего данного высказывания - "истина".
7) Значение высказывания в первых скобках - "истина". Значение высказывания во вторых скобках - "ложь". Два этих высказывания соединены логической операцией "ИЛИ", то есть получается "истина ИЛИ ложь". Следовательно, логическое значение всего данного высказывания - "истина".
Пример 2. Запишите с помощью логических операций следующие сложные высказывания:
1) "Пользователь не зарегистрирован";
2) "Сегодня воскресенье и некоторые сотрудники находятся на работе";
3) "Пользователь зарегистрирован тогда и только тогда, когда отправленные пользователем данные признаны годными".
Решение.
1) p - одиночное высказывание "Пользователь зарегистрирован", логическая операция: 
;
2) p - одиночное высказывание "Сегодня воскресенье", q - "Некоторые сотрудники находятся на работе", логическая операция: 
;
3) p - одиночное высказывание "Пользователь зарегистрирован", q - "Отправленные пользователем данные признаны годными", логическая операция: 
.
Решить примеры на логику высказываний самостоятельно, а затем посмотреть решения
Пример 3. Вычислите логические значения следующих высказываний:
1) ("В минуте 70 секунд") ИЛИ ("Работающие часы показывают время");
2) (28 > 7) И (300/5 = 60);
3) ("Телевизор - электрический прибор") И ("Стекло - дерево");
4) Не((300 > 100) ИЛИ ("Жажду можно утолить водой"));
5) (75 < 81) → (88 = 88).
Правильное решение и ответ:
Решение.
1) Значение высказывания в первых скобках равно "ложь", значение выражения во вторых скобках - "истина". Высказывания соединены логической операцией "ИЛИ", поэтому логическое значение всего данного высказывания - "истина".
2) Значение высказывания в первых скобках - "истина", значение высказывания во вторых скобках - также "истина". Высказывания соединены логической операцией "И", поэтому логическое значение всего данного высказывания - "истина".
3) Значение высказывания в первых скобках - "истина", значение высказывания во вторых скобках - "ложь". Высказывания соединены логической операцией "И". Поэтому логическое значение всего данного высказывания - "ложь".
4) Значение высказывания в скобках - "истина", значение высказывания во вторых скобках - также "истина". Оба высказывания соединены операцией "ИЛИ", поэтому значение высказывания в обобщающих скобках - "истина". Перед обобщающими скобками стоит логическая операция отрицания. Поэтому логическое значение всего данного высказывания - "ложь".
5) Значение высказывания в скобках - "истина", значение высказывания во вторых скобках - также "истина". Высказывания соединены знаком следования, то есть из "истины" следует "истина". Поэтому логическое значение всего высказывания - "истина".
Пример 4. Запишите с помощью логических операций следующие сложные высказывания и вычислите их логические значения:
1) "Если часы неправильно показывают время, то можно невовремя прийти на занятия";
2) "В зеркале можно увидеть своё отражение и Париж - столица США";
3) Не "дуб - дерево".
Правильное решение и ответ:
1) "Если часы неправильно показывают время, то можно невовремя прийти на занятия";
2) "В зеркале можно увидеть своё отражение и Париж - столица США";
3) Не "дуб - дерево".
Решение.
1) p - одиночное высказывание "Часы неправильное показывают время", q - одиночное высказывание "Можно невовремя прийти на заняти", логическая операция: p → q. Значение сложного высказывания - "истина";
2) p - одиночное высказывание "В зеркале можно увидеть своё отражение", q - "Париж - столица США", логическая операция: p ∧ q. Логическое значение сложного высказывания - "ложь";
3) p - одиночное высказывание "Дуб - дерево", логическая операция: ∼p. Логическое значение сложного высказывания - "ложь".
Пример 5. Определите логическое значение выражения
(p → q) ↔ (r → s),
если
p = "278 > 5",
q = "Яблоко = Апельсин",
p = "0 = 9",
s = "Шапка покрывает голову".
Правильное решение и ответ:
Решение.
Значение высказывания - "истина". Высказывание p имеет значение "истина", высказывание q - "ложь". Если из "истины" следует "ложь", то сложное высказывание имеет значение "ложь". Высказывание r имеет значение "ложь", высказывание s - "истина". Если из "лжи" следует "истина", то сложное высказывание имеет значение "ложь". Таким образом, знаком ↔ (эквивалнтность, "тогда и только тогда") соединены два высказывания, имеющих значение "ложь". Поэтому всё высказывание имеет значение "истина". Всё верно, "ложь" эквивалентна "лжи".
Задания для тренировки:
https://resh.edu.ru/subject/lesson/4713/main/202996/
Задача1 " Кто преступник"
Определить участника преступления, исходя из двух посылок:
1) "Если Иванов не участвовал или Петров участвовал, то Сидоров участвовал";
2) "Если Иванов не участвовал, то Сидоров не участвовал".
Задача 2 "Прогноз погоды"
На вопрос, какая завтра будет погода, синоптик ответил:
1.Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя.
2.Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра.
3.Если будет пасмурная погода, то будет дождь и не будет ветра.
Дата добавления: 2021-04-15; просмотров: 1079; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!