Схема полного исследования функции.
1) Область определения функции.
2) Чётность, нечётность.
3) Периодичность.
4) Точки пересечения с осями.
5) Точки разрыва, вертикальные асимптоты.
6) Интервалы монотонности, точки экстремума.
7) Точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости.
8) Наклонные, горизонтальные асимптоты.
Пример: Исследуйте функцию и постройте её график.
Решение.
1)
2) - функция нечётная, график симметричен относительно начала координат;
3) функция непериодическая;
4) точка пересечения с осями Ox и Oy - ;
5) найдём односторонние пределы для точек разрыва:
; ;
; .
- точка разрыва второго рода;
- точка разрыва второго рода.
Прямые , - вертикальные асимптоты.
6) найдём первую производную функции :
;
из уравнения получаем критические точки , , .
Определяем знаки первой производной.
В результате получаем две точки экстремума и . Находим значения функции в этих точках: , .
7) найдём вторую производную функции :
;
при получаем точку .
Определяем знаки второй производной.
Точка является точкой перегиба. На интервалах и график функции вогнутый, а на интервалах и – выпуклый.
8) найдём коэффициенты k и b:
; .
Уравнение наклонной асимптоты имеет вид .
Дата добавления: 2021-04-15; просмотров: 54; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!