Смысл произведения и частного натуральных чисел

Натуральное число как мера величины

Нам известно, что числа возникли из потребности счета и измерения. Если для счета предметов нам достаточно натуральных чисел, то для измерения нам необходимы действительные числа. В начальной школе в качестве результата измерения выступают натуральные числа. Мы также встанем на эту позицию, определив натуральное число как меру величины. Выясним, какой смысл имеют арифметические действия над натуральными числами с этой позиции.

Натуральные числа будем рассматривать в связи с измерением положительных скалярных величин: длин, площадей, масс, времени и др.

§1. Понятие положительной скалярной величины.

Рассмотрим два высказывания:

1.Многие окружающие нас объекты имеют длину;

2. Стол имеет длину.

Таким образом, термин «длина» применим для обозначения свойства целого класса объектов или одного объекта. Длина, это такое свойство объекта или объектов, которое проявляется в разной степени, т.е. можно сказать, что один стол длиннее другого, чего нельзя сказать о форме стола или о материале, из которого он сделан. Мы не можем сказать, что один стол «прямоугольнее» другого или «деревяннее»другого.

Таким образом, свойство «длина»- это особое свойство объектов, которое проявляется при сравнении их по протяженности. В процессе сравнения устанавливается, что два объекта либо имеют равные длины, либо длина одного больше длины другого объекта. Такие свойства объектов будем называть величинами.

Величины, выражающие одни и те же свойства объектов будем называть величинами одного рода или однородными величинами.

Основные положения однородных величин

1. Любые величины одного рода сравнимы: А=В либо А<В либо А>В.

2. Отношение «меньше» для однородных величин транзитивно: А<В и В<С => А<С.

3. Величины одного рода можно складывать А+В=С, С- однозначно определенная величина того же рода. Сложение коммутативно и ассоциативно.

4. Величины одного рода можно вычитать. Определение: Разностью величин А и В называется такая величина С =А-В, что А=В+С. Разность А-В существует тогда и только тогда, когда А>В.

5. Величину можно умножать на положительное действительное число, в результате получают величину того же рода х·А=В.

6. Величины одного рода можно делить, в результате получают число. Определение: Частным величин А и В называется такое положительное число х=А:В, что А=х∙В (деление определено через умножение величины на число).

Величины обладают одной особенностью, их можно оценить количественно. С этой целью величину надо измерить. Для измерения величины данного рода выбирают величину, называемую единицей измерения. Её будем обозначать Е.Если задана величина А и выбрана единица величины Е (того же рода), то измерить величину А – это значит найти такое положительное число х, что А=х·Е, х- численное значение величины А при выбранное единице величины Е или мера величины А при единице Е. Пишут х=m_Е(А).

Пример 1. А-длина отрезка а, Е- длина отрезка b, который в отрезке a укладывается 4 раза, тогда 4- мера длины отрезка а.

Пример 2. 2,6 кг=2,6∙кг, 13см=13·см, 16 с =16∙с.

Используя это представление, можно обосновать переход от одной единицы величины к другой.

ч= ·ч= ∙(60мин)= ( ∙60)мин=25мин.

Определение. Величина, определяемая только численным значением, называется скалярной.

Определение. Величина, которая при выбранной единице измерения определяется положительным числом, называется положительной скалярной величиной.

Измерение величин позволяет переходить от сравнения величин к сравнению чисел, от действий над величинами к действиям над числами и наоборот.

1. Если величины А и В измерены с помощью единицы величины Е, то

А=В <=>m(A)=m(B)

A<B <=>m(A)< m(B)

A>B <=>m(A) > m(B)

2. Если величины А и В измерены с помощью единицы величины Е, то

А+В=С <=> m(A+В)=m(А)+ m(B)

Пример. А=5кг, В=3кг. =>А+В=5кг+3кг=(5+3)кг=8кг.

3. Если величины А и В таковы, что В=х∙А, а величина измерена с помощью единицы величины Е, то В=х∙А <=> m(B)=х∙ m(A)

Пример. Если масса В в 3 раза больше массы А и А=2кг, то В=3 ∙А=3∙(2кг) =(3∙2)кг=6кг.

Рассмотренные понятия: объект (предмет, явление, процесс), его величина, её мера, единица величины- надо уметь вычленять в текстах и задачах.

В предложении «купили 3кг яблок»: объект- яблоки, величина-масса, единица величины –кг, мера величины -3.

Один и тот же объект может обладать несколькими величинами: для человека – рост (длина), масса, возраст (время), процесс равномерного движения связывает три величины S=V·t.

Аксиоматическое определение величины см. стр. 275.

Смысл суммы и разности

Для выяснения смысла натурального числа как меры величины все рассуждения будем вести на примере одной величины – длины отрезка.

Определение. Отрезок х состоит из отрезков х₁,х₂,х₃,….х_n, если он является их объединением и никакие два из них не имеют общих внутренних точек за исключением общих концов. х= х₁ х_{2 …} х_n .Длину отрезка х будем обозначать Х, а длину отрезка е обозначим через Е.

Определение. Если отрезок х состоит из отрезков, каждый из которых равен единичному отрезку е, то число а называют численным значением длины Х при единице длины Е. пишут Х= а·Е или а= m_Е(Х).

Из данного определения получаем, что натуральное число как результат измерения длины отрезка показывает, из скольких единичных отрезков состоит отрезок, длина которого измеряется.

В связи с таким подходом к натуральному числу сделаем два замечания.

Замечание 1. При переходе к другой единице длины численное значение длины изменяется, хотя отрезок остается неизменным.

Замечание 2. Если отрезок х состоит из а единичных отрезков е, а отрезок y состоит из b единичных отрезков е, то а =b <=> отрезки х и у равны.

Теорема 1. Если отрезок х состоит из отрезков у и z, длины которых выражаются натуральными числами, то мера длины отрезка х равна сумме мер длин его частей.

Доказательство

Пусть m(Y)=a, m(Z) =b при единице Е, тогда отрезок у состоит из а частей длины Е, z состоит из b частей длины Е.Поэтому весь отрезок х состоит из а+b таких частей, значит m(X)=a+b=m(Y) + m(Z).

Таким образом, сумму натуральных чисел а и b можно рассматривать как меру отрезка х, состоящего из отрезков у и z мерами длин которых являются а и b.

Пример. В саду собрали 3кг смородины и 4 кг малины. Сколько килограмм ягод собрали в саду?

Теорема 2. Если отрезок х состоит из отрезков у и z, длины которых выражаются натуральными числами, то мера длины отрезка z равна разности мер длин отрезков х и у: а-b=m_E(X)- m_E(Y)= m_E(X-Y).( доказательство аналогичное).

Пример. Купили 7 кг картофеля и капусты. Сколько куплено картофеля, если капусты купили 3кг?

С помощью сложения и вычитания решаются задачи, в которых величины связаны отношением «больше на», «меньше на».

Задача. Купили 3 кг моркови, а картофеля на 2кг больше. Сколько куплено картофеля?

Смысл произведения и частного натуральных чисел

Мы выяснили, что сложение и вычитание натуральных чисел связано со сложением и вычитанием величин. Возникает вопрос: с каким действием над величинами связано умножение и деление натуральных чисел? Предварительно рассмотрим задачу: купили 3 пакета муки по 2 кг в каждом. Сколько килограммов муки купили?

3пак.=3·пак.=3·(2кг)=(3·2)кг. Видим, что ответ на вопрос находится умножением и связан он с переходом от одной единицы массы к другой, более мелкой.

Теорема1. Если отрезок х состоит из а отрезков длиной Е, а отрезок длины Е состоит из b отрезков, длина которых Е₁, то мера длины отрезка х при единице величины Е₁ равна а·b.

Доказательство

Х=а·Е, Е=b·Е₁, тогда число частей отрезка х, длина которых равна Е₁, будет равно а·b. Х=а·Е=а·(bЕ₁)=(а·b)Е₁.

Итак, умножение натуральных чисел связано с переходом в процессе измерения к новой единице величины, более мелкой.

а·b= m_E(X) ·m_E1(E)= m_E1(X).

Задача. Объяснить смысл произведения 4·3, если числа 4 и 3 получены в результате измерения величин.

Решение. Пусть 4= m_E(X), 3= m_E1(E) => Х=4·Е =4·(3Е₁) =(4 ·3)Е₁.

Теорема 2. Если отрезок х состоит из а отрезков длиной Е, а отрезок длины Е₁ состоит из b отрезков длины Е, то мера длины отрезка х при единице длины Е₁ равна а:b. а:b= m_E(X) : m_E(Е₁) = m_E₁(X)

Задача. Обосновать выбор действия при решении задачи: «Из 12 м ткани сшили платья, расходуя на каждое по 4м. Сколько сшили платьев?»

12м=12·м=12·( пл.)=(12· ) пл. = (12:4)пл.

Итак, действия умножения и деления натуральных чисел связаны с переходом от одной единицы величины к другой: умножение - с переходом к более мелкой единице величины, деление - с переходом к более крупной единице величины.

Выбор действий умножения и деления натуральных чисел при решении текстовых задач с величинами можно интерпретировать с точки зрения умножения величины на число.

В=х·А или В=А·х, причем В=А₁+А₂+…+ А_х .

Чтобы найти численное значение величины В при единице величины Е, достаточно численное значение величины А, полученное при той же единице Е, умножить на число х.

Если В=А·х, то с помощью деления можно решить две задачи:

1. Зная А и В находят число х (х=А:В, причем х =m_E(A) : m_E(B). Это деление по содержанию.

2. Зная В и х, находят А (А=В:х), причем m_E(A)= m_E(B):х. Это деление на равные части.

Обосновать выбор действий в задачах:

1. 6 кг муки разложили в пакеты по 2 кг в каждом. Сколько получилось пакетов?

2. Купили 3кг моркови, а картофеля в 2 раза больше. Сколько кг картофеля купили?

Дата добавления: 2021-04-05; просмотров: 104; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!