Задача 11. Устойчивость сжатых стержней
Глава 9. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
Под действием сжимающей силы стержень может утратить первоначальную форму равновесия и искривиться. Произойдет потеря устойчивости стержня. Наименьшая сила, при которой происходит потеря устойчивости, называется критической и определяется по формуле Эйлера:
где Е – модуль упругости материала стержня;
Imin– минимальный осевой момент инерции сечения стержня;
μ – коэффициент приведения длины, зависящий от способа закрепления концов стержня (рис. 38);
l – длина стержня, μ ∙ l = lпр – приведенная длина стержня.
Рис. 38. Значения коэффициента μ приведенной длины и критической
силы Fкр для сжатых стержней при различных способах закрепления концов
Напряжения, вызванные критической силой, называются критическими и определяются по формуле Эйлера:
,
где λ – гибкость стержня, 
, ( 
– минимальный радиус инерции сечения);
А – площадь поперечного сечения стержня.
Формула Эйлера применима при условии, что критическое напряжение не превышает предела пропорциональности материала 
. Обычно это условие выражают через гибкость стержня и записывают в виде
где 
– предельное значение гибкости, которое определяет границу применимости формулы Эйлера.
Формулой Эйлера можно пользоваться, если гибкость стержня 
, если 
, то пользоваться формулой Эйлера нельзя.
|
|
|
При значениях гибкости от 0 до 40 
50 стержень настолько короткий, что практически разрушается при потере прочности, поэтому критическое напряжение равно пределу текучести: 
.
При значениях гибкости, лежащих в интервале 
, стержень теряет устойчивость, деформируясь в упруго-пластической области, поэтому критическое напряжение 
определяют по эмпирической формуле Ф. С. Ясинского:
где а, b , с – коэффициенты, зависящие от материала и имеющие размерность напряжения. Они приведены в табл. 12.
Таблица 12
Опытные коэффициенты для определения , МПа
| Материал | а | b | с |
| Сталь Ст3 Сталь Ст5 Чугун Сосна (сжатие вдоль волокон) | 310 464 776 29,3 | 1,14 3,62 12 0,194 | 0 0 0,053 0 |
Критическая сила является недопустимой для сжатых стержней.
Определение допускаемой сжимающей силы [F] производят двумя способами. Первый способ используется, когда для рассчитываемого стержня известны длина, способ закрепления концов, форма и размеры поперечного сечения, материал, коэффициент запаса на устойчивость. Вначале определяют критическую силу Fкр = sкр ∙ А, а затем допускаемую силу [F]:
|
|
|
,
где [nу] – допускаемый коэффициент запаса на устойчивость.
Значения допускаемых коэффициентов запаса на устойчивость [nу] для различных материалов приведены в табл. 13.
Таблица 13
Допускаемые коэффициенты запаса на устойчивость
для различных материалов
| Материал | [ny] |
| Сталь Ст 3 | 1,8 3
|
| Сталь Ст 5 | 1,8 3
|
| Чугун | 5 5,5
|
| Сосна (сжатие вдоль волокон) | 2,8 3,2
|
Второй способ основан на применении таблиц j (l). Сначала определяют гибкость стержня λ, затем по таблице находят j (l) и вычисляют [F] по формуле
[F] = j . [sс] . А ,
где j – коэффициент уменьшения допускаемого напряжения при сжатии [sс].
Значения коэффициента j в зависимости от гибкости λ и материала стержня приведены в табл. 14.
Для расчета критического напряжения, критической силы, допускаемой сжимающей силы и коэффициента запаса на устойчивость
|
|
|
можно использовать блок-схему, представленную на рис. 39.
Таблица 14
Значение коэффициента продольного изгиба j (l)
для различных материалов
| Гибкость λ | Значение j (l) | |||
| Сталь Ст3, Ст4 | Сталь Ст5 | Чугун | Дерево | |
| 0 | 1,00 | 1,00 | 1,00 | 1,00 |
| 10 | 0,99 | 0,98 | 0,97 | 0,99 |
| 20 | 0,97 | 0,96 | 0,91 | 0,97 |
| 30 | 0,95 | 0,93 | 0,81 | 0,93 |
| 40 | 0,92 | 0,89 | 0,69 | 0,87 |
| 50 | 0,89 | 0,85 | 0,57 | 0,80 |
| 60 | 0,86 | 0,80 | 0,44 | 0,71 |
| 70 | 0,81 | 0,74 | 0,34 | 0,60 |
| 80 | 0,75 | 0,67 | 0,26 | 0,48 |
| 90 | 0,69 | 0,59 | 0,20 | 0,38 |
| 100 | 0,60 | 0,50 | 0,16 | 0,31 |
| 110 | 0,52 | 0,43 | – | 0,25 |
| 120 | 0,45 | 0,37 | – | 0,22 |
| 130 | 0,40 | 0,32 | – | 0,18 |
| 140 | 0,36 | 0,28 | – | 0,16 |
| 150 | 0,32 | 0,25 | – | 0,14 |
| 160 | 0,29 | 0,23 | – | 0,12 |
| 170 | 0,26 | 0,21 | – | 0,11 |
| 180 | 0,23 | 0,19 | – | 0,10 |
| 190 | 0,21 | 0,17 | – | 0,09 |
| 200 | 0,19 | 0,15 | – | 0,08 |
| 210 | 0,17 | 0,14 | – | – |
| 220 | 0,16 | 0,13 | – | – |
|
|
|
Рис. 39. Блок-схема вычисления σкр, Fкр, [F] и nу
Практически расчет на устойчивость ведется с использованием коэффициента j – коэффициента уменьшения допускаемого напряжения при сжатии [sс].
Условие устойчивости имеет вид
Расчет на устойчивость сводится к недопущению потери устойчивости, т.е. искривления стержня.
Подбор поперечного сечения стержня при заданных длине, сжимающей силе и материале выполняется с использованием таблиц значений j (l) методом последовательных приближений в следующем порядке.
1. Задают произвольное значение j. Например, полагают j = 0,5.
2. Вычисляют допускаемое напряжение на устойчивость:
[sу] = j ∙ [sс].
3. Определяют площадь поперечного сечения из условия
устойчивости:
Aбр³ F / (j ∙ [sс]).
4. Подбирают размеры сечения или номер профиля. Вычисляют
площадь А, минимальный момент инерции Imin, минимальный радиус инерции iminпоперечного сечения.
5. Определяют гибкость стержня l.
6. Если гибкость стержня l > 220, то считают, что заданная сила
F равна допускаемой [F]:
,
где Fкр – критическая сила (определяется по формуле Эйлера), а nу – коэффициент запаса на устойчивость (выбирается по табл. 13).
Тогда можно определить значение наименьшего момента инерции Imin по формуле
.
7. Если гибкость стержня l 
220, то для полученной гибкости
находят истинное значение jи.
8. Вычисляют действующее напряжение s = 
.
9. Вычисляют допускаемое напряжение [sу] = jи ∙[sс].
10. Сравнивают действующее напряжение с допускаемым, вычисляя относительную разницу k: k = 
.
11. Если k > 0, то имеем недонапряжение, если k < 0, то имеем
перенапряжение.
12. Сечение считают подобранным, если s и [sу] отличаются не
более, чем на 5%, т.е. |k| £ 5%.
13. Если |k| > 5%, то в качестве второго приближения берут
j2 = j + jи и повторяют расчет, пока не будет выполняться условие |k| £ 5%.
Подбор сечения по изложенному алгоритму представлен в виде
блок-схемы (рис. 40).
В сопротивлении стержней продольному изгибу основную роль
играет гибкость стержня и, следовательно, величина наименьшего радиуса инерции сечения, поэтому существенным является вопрос не только величины площади сечения, как при расчете на прочность, но и формы поперечного сечения.
Для наиболее оптимального выбора сечения необходимо
конструировать сечение так, чтобы при определенной площади
величина наименьшего радиуса инерции была бы возможно большей. Для этого прежде всего следует стремиться к тому, чтобы центральные моменты инерции сечения были равны. Такой стержень будет оказывать одинаковое сопротивление потере устойчивости в любом направлении.
Далее, необходимо стремиться к получению при данной площади
наибольших центральных моментов инерции. Для этого надо разместить материал сечения по возможности дальше от центра тяжести. Этим условиям хорошо удовлетворяют трубчатое сечение или сечение, составленное из двух швеллеров, раздвинутых на определенное расстояние.
На выбор материала для сжатых стержней влияют два фактора:
1. Если sкр < sпц (при большой гибкости), то единственной
механической характеристикой, влияющей на устойчивость, является модуль продольной упругости Е, а Е мало зависит от марки стали. Поэтому для тонких и длинных стержней применяют низколегированные стали.
2. Для стержней средней и особенно малой гибкости sкр
существенно зависит от предела текучести или предела прочности материала. Применение высоколегированных сталей для этих стержней дает существенную экономию материала.
Значение проверки на устойчивость велико. Достаточно сказать,
что все значительные катастрофы инженерных сооружений произошли вследствие потери устойчивости сжатых элементов конструкции. Особая опасность потери устойчивости заключается в том, что обычно она наступает внезапно.
|
Рис. 40. Блок-схема подбора сечения из расчета на устойчивость
Пример 10
Определить величину 
и sкр для дюралюминиевого стержня кольцевого сечения: 
, 
, 
, 
, 
(рис. 41).
Рис 41. Определение критической силы для стержня
кольцевого сечения
Осевой момент инерции кольцевого сечения стержня:
.
Площадь поперечного сечения стержня:
.
Радиус инерции поперечного сечения:
При заданном способе закрепления концов стержня 
Гибкость стержня: 
Критерий применимости формулы Эйлера :
Так как 
, то 
можно определить по формуле Эйлера:
Критическое напряжение:
Пример 11
Колонна, составленная из двух швеллеров (рис. 42), нагружена силой
F = 200 кН, l = 2,5 м.
Рис. 42. Подбор поперечного сечения колонны
из расчета на устойчивость
Подобрать номер швеллера, если 
Сначала нужно выявить главную центральную ось заданного сечения из двух швеллеров с минимальным значением момента инерции. В нашем примере такой осью будет ось симметрии oy (см. рис. 42).
Момент инерции произвольного сечения относительно оси oy, параллельной главной оси сечения oy1 и удаленной от нее на расстояние a, можно вычислить по формуле
,
где 
площадь сечения.
Так как наша колонна состоит из двух одинаковых швеллеров, состыкованных вплотную друг к другу, то
,
где А0 – площадь одного швеллера.
Площадь всего сечения А = А0.
Подбор размеров сечения ведется путем последовательного приближения. Обычно задают значение φ и определяют A. Для первого приближения примем произвольно 
Тогда из условия устойчивости
По сортаменту (ГОСТ 8240 – 72) исследуем швеллер № 10:
, 
, 
, 
.
Для рассматриваемого сечения, состоящего из двух швеллеров
№ 10, имеем:
Гибкость колонны 
Для стержня с защемленным концом 
По таблице для стали марки Ст3, интерполируя, находим истинное значение 
для выбранного профиля 
Действующее напряжение: 
допустимое напряжение 
Перенапряжение составляет 28,4%.
Второе приближение.
Задаемся 
тогда 
Исследуем швеллер № 12, 
Для сечения 
Гибкость колонны 
Коэффициент 
Напряжение в колонне:
Недонапряжение составляет 15,1%.
Анализируя расчеты, заметим, что сечение из двух швеллеров
№ 10 дает большое перенапряжение, а из двух швеллеров № 12 – существенное недонапряжение. Уменьшить это недонапряжение мы не можем, так как ближайший стандартный профиль с меньшим поперечными размерами – это уже рассмотренный нами швеллер № 10.
Поскольку размеры сечений прокатных профилей от номера к номеру изменяются скачкообразно, во многих случаях не удается подобрать такое сечение, чтобы расхождение в напряжениях не превышало 5 %.
Итак, принимаем сечение из двух швеллеров № 12.
Задача 11. Устойчивость сжатых стержней
Выполнить расчет на устойчивость центрального сжатого стержня из стали марки Ст3, имеющего двутавровое сечение (рис. 43), если Данные к задаче приведены в табл. 15.
План решения задачи:
1) при предварительно заданном значении 
определить размеры поперечного сечения (номер двутавра);
2) проверить устойчивость стержня при предварительно вычисленных размерах сечения;
3) если устойчивость стержня не обеспечивается или имеет место большое недонапряжение, произвести повторный расчет с новым значением:
4) повторять п. 3, пока не будет найден оптимальный номер двутавра.
Рис. 43. Схемы к задаче 11
Таблица 15
Данные к задаче 11
| Номер строки | Номер схемы | F, кН | l, м |
| 1 | I | 100 | 4,1 |
| 2 | II | 200 | 4,2 |
| 3 | III | 300 | 4,3 |
| 4 | IV | 400 | 4,4 |
| 5 | I | 500 | 4,5 |
| 6 | II | 600 | 4,6 |
| 7 | III | 700 | 4,7 |
| 8 | IV | 800 | 4,8 |
| 9 | I | 900 | 4,9 |
| 10 | II | 1000 | 5,0 |
| в | б | а |
Вопросы для самоконтроля
1. Что называется критической силой?
2. Как определяется запас устойчивости?
3. Как учитывается влияние способа закрепления концов сжатого
бруса на величину критической силы?
4. Что называется коэффициентом длины и как он определяется?
5. Что называется гибкостью сжатого бруса и как она определяется?
6. На чем основывается установление границ применимости формулы Эйлера?
7. Два стержня шарнирно оперты по концам и сжаты силами F. Поперечное сечение одного из них круглое, а другого – квадратное. Для какого из стержней критическая сила окажется больше, если модуль упругости, длина и площадь поперечного сечения у них одинаковы?
Дата добавления: 2021-07-19; просмотров: 251; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!