Мнемоническое правило: слово «инверсия» означает, что белое меняется на черное, добро на зло, красивое на безобразное, истина на ложь, ложь на истину, ноль на один, один на ноль.

Билет 14. Логические основы работы ЭВМ

1. Термин логика происходит от древнегреческого logos, означающего «слово, мысль, понятие, рассуждение, закон».

Логика – наука, изучающая законы и формы мышления.

2. Логика – древняя наука. Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах Древнего Востока (Китай, Индия).

3. Основоположником логики считают ученого и философа Аристотеля, жившего в 384-322 гг. до н. э. Он пытался найти ответ на вопрос: «Как мы рассуждаем?» В своих книгах («Категории», «Первая аналитика», «Вторая аналитика» и др.) Аристотель подверг анализу человеческое мышление и его формы: понятие, суждение, умозаключение. Аристотель впервые дал систематическое изложение логики. В его определении логика представляет собой науку о выводе одних умозаключений из других, исходя из их логической формы. Поэтому логику Аристотеля называют формальной.

4. Впервые идеи о «математизации» логики появились в XVII в. Так французский философ и математик Рене Декарт (1596-1650) считал, что человеческий разум может постигнуть истину, если будет сводить сложные идеи к простым, переходить от известного и доказанного к неизвестному, избегая каких-либо пропусках в логических умозаключениях. Таким образом, он рекомендовал в логике использовать общепринятые математические методы.

5. Немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) предложил использовать в логике математическую символику и впервые высказал мысль о возможности применения в ней двоичной системы исчисления. Так зарождалась математическая, или символическая логика. Логические исследования Лейбница были столь значительны, что и через 200 лет оказали существенное влияние на развитие математической логики.

6. Отцом математической логик по праву считается английский математик XIX столетия Джордж Буль (1815-1864). В его знаменитых трудах по началам математической логики («Математический анализ логики», «Исчисление логики» и «Исследование законов мысли»), появившихся в конце 40-х – начале 50-х гг., логика обрела свой алфавит, свою орфографию и грамматику. Именем Дж. Буля назван раздел математической логики – булева алгебра (или алгеброй логики).

7. Большой вклад в становление и развитие математической логики внесли:

Августу де Морган (1806-1871)

Уильям Стэнли Джевонс (1835-1882)

Платон Сергеевич Порецкий (1846-1907)

Чарльз Сандерс Пирс (1839-1914)

И. Кант (1724-1804)

Марков А. А. (1903-1979)

и многие другие ученые.

Алгебра логики – это раздел математики, нашедший большое практическое применение в технической области знаний. Она используется для решения сложных математических задач, разработке компьютеров, электронных устройств, автоматических систем, в робототехнике и т.д.

Знание алгебры логики необходимо при разработке алгоритмов и программ, т.к. в большинстве языков программирования есть логические операции.

В ЭВМ информация подвергается не только арифметической, но и логической обработке. Основу работы логических схем и устройств ЭВМ составляет математический аппарат – алгебра логики.

Логическая операция конъюнкция (от лат. сonjunctio – связываю) – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям сложное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

Пример:

А = “На автостоянке стоит «Мерседес»”

В = “На автостоянке стоят «Жигули»”

На автостоянке стоят «Мерседес» и «Жигули».

Обозначения:

Ø на естественном языке – А и В;

Ø в алгебре высказываний , А &В;

Ø в языках программирования А and В.

Таблица истинности

А	В	А&В
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Мнемоническое правило: конъюнкция – это логическое умножение: равенства 0·0=0, 0·1=0, 1·0=0, 1·1=1, верные для обычного умножения, верны и для операции конъюнкции.

Функциональная схема:

Логическая операция дизъюнкция (от лат. disjunctio – различаю) – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям сложное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны и истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно.

Пример:

А = “На автостоянке стоит «Мерседес»”

В = “На автостоянке стоят «Жигули»”

На автостоянке стоит «Мерседес» или «Жигули».

Обозначения:

Ø на естественном языке – А или В;

Ø в алгебре высказываний ;

Ø в языках программирования А or В.

Таблица истинности

А	В	А В
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Мнемоническое правило: дизъюнкция – это логическое сложение: равенства 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, верные для обычного сложения, верны и для операции дизъюнкции, но 1 1=1.

Функциональная схема:

Логическая операция ИНВЕРСИЯ или отрицание (от лат. Inversio – переворачиваю) – это логическая операция, которая каждому простому высказыванию ставит в соответствие сложное высказывание, заключающееся в том, что исходное высказывание отрицается.

Пример:

А = “Я – отличник”

Неверно, что я отличник.

Я не отличник.

Обозначения:

Ø на естественном языке – неверно, что А; не А;

Ø в алгебре высказываний ,

Ø в языках программирования not А.

Таблица истинности

A
1	0
0	1

Мнемоническое правило: слово «инверсия» означает, что белое меняется на черное, добро на зло, красивое на безобразное, истина на ложь, ложь на истину, ноль на один, один на ноль.

Функциональная схема:

Логическая операция ИМПЛИКАЦИЯ (логическое следование) (от лат. implicatio – тесно связываю)– это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям сложное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда первое высказывание истинно, а второе высказывание ложно.

Пример:

А = “Завтра будет хорошая погода”

В = “Я пойду гулять”

Если завтра будет хорошая погода, то я пойду гулять.

Обозначения:

Ø на естественном языке – если А, то В;

Ø в алгебре высказываний ,

Таблица истинности

А	В
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Логическая операция ЭКВИВАЛЕНЦИЯ (равнозначность) – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям сложное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.

Пример:

А = “Петя выучил уроки”

В =”Пете поставят хорошую отметку”

Петя выучит уроки тогда и только тогда, когда Пете поставят хорошую отметку.

Обозначения:

Ø на естественном языке – А тогда и только тогда В, А в том и только в том случае В;

Ø в алгебре высказываний , ,