Сложение гармонических колебаний

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 6

При сложении гармонических колебаний одного направления удобно использовать метод векторных диаграмм. Каждое колебание, например, изображается вектором на плоскости (рис. 16). Длина вектора равна амплитуде колебания А. Угол между вектором и горизонтальной осью равен фазе соответствующего колебания в данный момент времени.

При сложении двух гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты колебания представляются на диаг-рамме с помощью векторов и

Вектор описывающий результирующее колебание, строится по правилам сложения векторов. На рис. 17 представлена векторная диаг-рамма, соответствующая сложению колебаний в начальный момент времени. Частота результирующего колебания также равна w.

Амплитуда и начальная фаза результирующего колебания определяются соответственно по формулам:

; (63)

. (64)

При сложении двух линейных взаимно перпендикулярных колебаний, совершаемых частицей в плоскости ,

(65)

Уравнение результирующей траектории движения должно содержать только переменные и , но не должно содержать времени t. Такое уравнение получается, если каким-либо образом исключить из формул (65) время, например, выразить через или y. Если частоты (периоды) относятся как целые числа (дробь является рациональной), то траектория оказывается замкнутой, а движение периодическим.

Задачи

101. (2) Для начального момента времени построить векторную диаграмму сложения двух гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Найти графически и аналитически амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Записать закон результирующего колебания. Законы складываемых колебаний имеют вид:

1) , где см; см; с^-1; ; ;

2) , где см; см; с^-1; ; ;

3) , где см; см; с^-1;

102. (2) Получить уравнение траектории частицы и построить траекторию в плоскости если частица одновременно участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях:

1) где см; см; с^-1;

2) где см; см; с^-1;

3) где см; см; с^-1.

Затухающие колебания

На систему, совершающую свободные затухающие колебания, действуют две обобщенные силы: возвращающая сила и сила трения:

, (66)

где – обобщенный коэффициент сопротивления среды.

Закон затухающих колебаний имеет вид:

(67)

где – экспоненциально убывающая амплитуда затухающих колебаний;

– начальная амплитуда (вещественная константа);

– частота затухающих колебаний;

– коэффициент затухания для механического осциллятора,

– коэффициент затухания для реального колебательного контура.

Логарифмический декремент затухания

(68)

Средняя за период полная энергия затухающих колебаний

(69)

где – начальное значение энергии.

Добротность принято выражать также через отношение запасенной в системе энергии (69) к средней за период потере энергии :

. (70)

При малом затухании добротность колебательной системы

. (71)

Задачи

103. (1) Через сколько колебаний амплитуда затухающих колебаний уменьшится в четыре раза, если период колебаний равен 2,1 с, а коэффициент затухания колебаний равен 0,043 с^-1?

104. (1) Чему равен логарифмический декремент затухания колебаний математического маятника, если через пять колебаний их амплитуда уменьшается в два раза?

105. (1) Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за 60 с уменьшилась вдвое. Во сколько раз она уменьшится за 180 с?

106. (2) Пружинный маятник массой 1,0 кг совершает колебания, при которых смещение груза от положения равновесия меняется с течением времени по закону: , где см; с^-1; с^-1. Найти: 1) ло-гарифмический декремент затухания; 2) во сколько раз изменится амплитуда колебаний после десяти полных колебаний; 3) собственную частоту колебаний маятника; 4) потенциальную энергию маятника спустя половину периода от начала колебаний.

107. (1) За какое время амплитуда затухающих колебаний силы тока в реальном колебательном контуре уменьшится в два раза, если коэффициент затухания колебаний равен 0,75 с^-1?

108. (1) Чему равен логарифмический декремент затухания колебаний в реальном колебательном контуре, если спустя 10 колебаний амплитуда колебаний силы тока уменьшается в три раза?

109. (2) В колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивностью 20 мГн и конденсатора емкостью 10 нФ, за время, равное одному периоду, происходит убывание амплитуды энергии электрического поля в 1,2 раза. Найти сопротивление, логарифмический декремент затухания и добротность контура.

110. (3) В реальном колебательном контуре с емкостью 10 мкФ энергия элект-рического поля меняется по закону: , где мкДж; с^-1; с^-1. В начальный момент времени вся энергия сосредоточена в электрическом поле конденсатора. Найти: 1) активное сопротивление контура; 2) закон изменения заряда на обкладках конденсатора; 3) время, в течение которого амплитуда колебаний заряда уменьшится в два раза.

Библиографический список

1. Трофимова Т. И. Курс физики / Т. И. Трофимова. М.: Академия, 2006. 560 с.

2. Детлаф А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. М.: Высшая школа, 2003. 607 с.

3. Савельев И. В. Курс общей физики: В 5 кн. Кн. 2. Электричество и магнетизм / И. В. Савельев. М.: АСТ, 2005. 336 с.

4. Оселедчик Ю. С. / Физика. Модульный курс: Учебное пособие / Ю. С. Оселедчик, П. И. Самойленко, Т. Н. Точилина. М.: Юрайт, 2012. 526 с.

5. Яворский Б. М. Справочник по физике / Б. М. Яворский, А. А. Детлаф. М.: Мир и образование, 2008. 1056 с.

6. Физика: Большой энциклопедический словарь / Под ред. А. М. Про- хорова. М.: Большая Российская энциклопедия, 2003. 944 с.

7. Физические величины / Под ред. И. С. Григорьева, Е. З. Мейли- хова. М.: Энергоатомиздат, 1991. 1232 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ

СПРАВОЧНЫЕ ДАННЫЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Т а б л и ц а П.1

Заряд и масса частиц

Частица	Заряд, Кл	Масса, кг
Электрон Протон Альфа-частица	-1,6·10^-¹⁹ +1,6·10^-¹⁹ +3,2·10^-¹⁹	9,1·10^-³¹ 1,67·10^-²⁷ 6,64·10^-²⁷

Т а б л и ц а П.2

Плотность и удельное электрическое сопротивление проводников

Вещество	Плотность ρ, г/см³	Удельное электрическое сопротивление ρ _e, нОм×м
Алюминий Железо Медь	2,7 7,8 8,9	25 98 17

Таблица П.3

Десятичные приставки

Наименование	Обозначение	Множитель	Наименование	Обозначение	Множитель
милли микро нано	м мк н	10⁻³ 10⁻⁶ 10⁻⁹	кило мега гига	к М Г	10³ 10⁶ 10⁹

Т а б л и ц а П.4

Физические постоянные

Наименование	Обозначение	Значение
Электрические постоянные	k_e	9,0×10⁹ Н×м²/Кл²
Электрические постоянные	ε₀	8,85×10^-¹² Ф/м
Магнитные постоянные	k_m	1,0×10^-⁷ Тл×м/А
Магнитные постоянные	μ₀	4π×10^-^-⁷ Гн/м