МОСКОВСКИЙ ГУМАНИТАРНО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
ЧУВАШСКИЙ ФИЛИАЛ
ФАКУЛЬТЕТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ
СПЕЦИАЛЬНОСТЬ « »
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по ЭКОНОМЕТРИКЕ
Вариант № ....
Выполнил студент курса
Группы
(Ф.И.О. студента)
Проверил
(Ф.И.О., должность)
Оценка ____________________________
(подпись) (расшифровка подписи)
Чебоксары 200...
ЗАДАНИЕ 1
Xi | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 |
Yi | 71 | 80 | 88 | 89 | 93 | 98 |
Для расчета параметров a и b линейной регрессии решим систему нормальных уравнений относительно a и b:
По исходным данным рассчитаем , , , , , , , , , и внесем в таблицу 1.
Таблица 1
x | y | xy | x2 | y2 | |
1 | 10 | 71 | 710 | 100 | 5041 |
2 | 12 | 80 | 960 | 144 | 6400 |
3 | 14 | 88 | 1232 | 196 | 7744 |
4 | 16 | 89 | 1424 | 256 | 7921 |
5 | 18 | 93 | 1674 | 324 | 8649 |
6 | 20 | 98 | 1960 | 400 | 9604 |
Итого | 90 | 519 | 7960 | 1420 | 45359 |
Среднее значение | 15,0000 | 86,5000 | 1326,6667 | 236,6667 | 7559,8333 |
3,4157 | 8,8081 | ||||
11,6667 | 77,5833 |
|
|
Вычислим среднее квадратическое отклонения x и y:
,
.
Вычислим оценки коэффициентов регрессии:
,
.
Уравнение регрессии: . С увеличением цены на 1 ед. дневной спрос на некоторый вид товара увеличивается в среднем на 2,5 ед.
Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:
.
Связь достаточно сильная, прямая.
Построим прямую регрессии y на x (рис.1).
рис.1
ЗАДАНИЕ 2
Xi | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 | 2 |
Yi | 3 | 5 | 5 | 5 | 8 | 9 | 5 | 9 | 9 | 7 |
Для расчетов параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу 2.
Таблица 2
x | y | xy | x2 | y2 | yx | y-yx | ( y-yx)2 | |
1 | 1 | 3 | 3 | 1 | 9 | 4,8333 | -1,8333 | 3,3611 |
2 | 1 | 5 | 5 | 1 | 25 | 4,8333 | 0,1667 | 0,0278 |
3 | 1 | 5 | 5 | 1 | 25 | 4,8333 | 0,1667 | 0,0278 |
4 | 2 | 5 | 10 | 4 | 25 | 6,5000 | -1,5000 | 2,2500 |
5 | 2 | 8 | 16 | 4 | 64 | 6,5000 | 1,5000 | 2,2500 |
6 | 2 | 9 | 18 | 4 | 81 | 6,5000 | 2,5000 | 6,2500 |
7 | 3 | 5 | 15 | 9 | 25 | 8,1667 | -3,1667 | 10,0278 |
8 | 3 | 9 | 27 | 9 | 81 | 8,1667 | 0,8333 | 0,6944 |
9 | 3 | 9 | 27 | 9 | 81 | 8,1667 | 0,8333 | 0,6944 |
10 | 2 | 7 | 14 | 4 | 49 | 6,5000 | 0,5000 | 0,2500 |
Итого | 20 | 65 | 140 | 46 | 465 | 65,0000 | 0,0000 | 25,8333 |
Среднее значение | 2,0000 | 6,5000 | 14,0000 | 4,6000 | 46,5000 | |||
0,7746 | 2,0616 | |||||||
0,6000 | 4,2500 |
|
|
Вычислим оценки коэффициентов регрессии:
,
.
Получено уравнение регрессии: . С увеличением количества продавцов на 1 чел. количество проданных автомобилей возрастает в среднем на 1,6667 машин.
Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции:
.
Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью t-статистики Стъюдента.
Выдвигаем гипотезу о статистически незначимом отличии показателей от нуля.
для числа степеней свободы и составит 2,3060 (приложение 2).
Определим случайные ошибки , , :
,
,
,
.
Тогда
,
,
.
Так как , то гипотеза не отклоняется и признается случайная природа формирования , или .
Проведем анализ дисперсии зависимой переменной.
Остаточная сумма квадратов отклонений исходя из таблицы 2 равна 25,8333, а сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией, вычисляется по формуле:
Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака Y характеризует коэффициент детерминации:
|
|
.
Это означает, что 39% вариации количества проданных автомобилей (Y) объясняется вариацией фактора X – количества продавцов.
Проверим на уровне значимости 5% гипотезу о линейной зависимости числа продаж от числа продавцов с помощью F-критерия Фишера.
Выдвигаем гипотезу о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи.
для уровня значимости и , составит 5,32 (приложение 1).
.
Так как , то гипотеза не отклоняется. Этот результат можно объяснить невысокой теснотой выявленной зависимости и небольшим числом наблюдений.
ЗАДАНИЕ 3
Уравнение линейной регрессии будем искать в виде (i=1,2,…,25). Вычислим средние значения переменных , , , , :
, ,
, ,
.
Вычислим оценки коэффициентов регрессии:
,
.
Получено уравнение регрессии: .
Определим прогнозное значение при :
.
Построим 95%-ный доверительный интервал. Произведем необходимые вычисления:
,
,
,
,
.
Вычислим среднюю стандартную ошибку прогноза:
.
для числа степеней свободы и составит 2,0687 (приложение 2).
Вычислим предельную ошибку прогноза:
.
Построим доверительный интервал прогноза:
|
|
,
,
.
ЗАДАНИЕ 4
Значения Xi | |||||||||
0,25 | 0,50 | 0,75 | 1,00 | 1,25 | 1,50 | 1,75 | 2,00 | 2,25 | 2,50 |
Значения Y i | |||||||||
0,3 | 1,2 | 2,8 | 5,2 | 8,1 | 11,0 | 16,8 | 16,9 | 24,7 | 29,4 |
4а. Построим уравнение линейной регрессии . Для расчетов используем данные таблицы 3.
Таблица 3
x | y | xy | x2 | y2 | |
1 | 0,25 | 0,3 | 0,0750 | 0,0625 | 0,0900 |
2 | 0,5 | 1,2 | 0,6000 | 0,2500 | 1,4400 |
3 | 0,75 | 2,8 | 2,1000 | 0,5625 | 7,8400 |
4 | 1 | 5,2 | 5,2000 | 1,0000 | 27,0400 |
5 | 1,25 | 8,1 | 10,1250 | 1,5625 | 65,6100 |
6 | 1,5 | 11 | 16,5000 | 2,2500 | 121,0000 |
7 | 1,75 | 16,8 | 29,4000 | 3,0625 | 282,2400 |
8 | 2 | 16,9 | 33,8000 | 4,0000 | 285,6100 |
9 | 2,25 | 24,7 | 55,5750 | 5,0625 | 610,0900 |
10 | 2,5 | 29,4 | 73,5000 | 6,2500 | 864,3600 |
Итого | 13,7500 | 116,4000 | 226,8750 | 24,0625 | 2265,3200 |
Среднее значение | 1,3750 | 11,6400 | 22,6875 | 2,4063 | 226,5320 |
0,7181 | 9,5416 | ||||
0,5156 | 91,0424 |
Вычислим оценки коэффициентов регрессии:
,
.
Получено уравнение линейной регрессии: .
Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:
.
4б. Построению уравнения степенной регрессии предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:
;
, где , , .
Для расчетов используем данные таблицы 4.
Таблица 4
№ | Y | X | YX | Y2 | X2 | yx | y-yx | (y-yx)2 |
1 | -1,2040 | -1,3863 | 1,6691 | 1,4496 | 1,9218 | 0,3095 | -0,0095 | 0,0001 |
2 | 0,1823 | -0,6931 | -0,1264 | 0,0332 | 0,4805 | 1,2324 | -0,0324 | 0,0011 |
3 | 1,0296 | -0,2877 | -0,2962 | 1,0601 | 0,0828 | 2,7657 | 0,0343 | 0,0012 |
4 | 1,6487 | 0,0000 | 0,0000 | 2,7181 | 0,0000 | 4,9077 | 0,2923 | 0,0855 |
5 | 2,0919 | 0,2231 | 0,4668 | 4,3759 | 0,0498 | 7,6571 | 0,4429 | 0,1961 |
6 | 2,3979 | 0,4055 | 0,9723 | 5,7499 | 0,1644 | 11,0132 | -0,0132 | 0,0002 |
7 | 2,8214 | 0,5596 | 1,5789 | 7,9602 | 0,3132 | 14,9753 | 1,8247 | 3,3297 |
8 | 2,8273 | 0,6931 | 1,9597 | 7,9937 | 0,4805 | 19,5426 | -2,6426 | 6,9833 |
9 | 3,2068 | 0,8109 | 2,6005 | 10,2836 | 0,6576 | 24,7147 | -0,0147 | 0,0002 |
10 | 3,3810 | 0,9163 | 3,0980 | 11,4311 | 0,8396 | 30,4911 | -1,0911 | 1,1905 |
итого | 18,3829 | 1,2415 | 11,9226 | 53,0554 | 4,9900 | 117,6094 | -1,2094 | 11,7878 |
срзнач | 1,8383 | 0,1241 | 1,1923 | 5,3055 | 0,4990 |
|
| 1,1788 |
| 1,3879 | 0,6954 |
|
|
|
|
|
|
| 1,9262 | 0,4836 |
|
|
|
|
|
|
Рассчитаем и :
,
.
Получим уравнение линейной регрессии: .
Выполнив его потенцирование, получим:
.
Подставляя в данное уравнение фактические значения , получаем теоретические значения результата . По ним рассчитаем показатели тесноты связи – индекс корреляции :
.
Характеристики степенной модели указывают, что она несколько лучше линейной функции описывает взаимность.
4в. Построению уравнения показательной регрессии предшествует процедура линеаризации переменных при логарифмировании обеих частей уравнения:
;
, где , , .
Для расчетов используем данные таблицы 5.
Таблица 5
№ | Y | x | Yx | Y2 | x2 | yx | y-yx | (y-yx)2 |
1 | -1,2040 | 0,25 | -0,3010 | 1,4496 | 0,0625 | 0,8074 | -0,5074 | 0,2574 |
2 | 0,1823 | 0,5 | 0,0912 | 0,0332 | 0,2500 | 1,2739 | -0,0739 | 0,0055 |
3 | 1,0296 | 0,75 | 0,7722 | 1,0601 | 0,5625 | 2,0100 | 0,7900 | 0,6240 |
4 | 1,6487 | 1 | 1,6487 | 2,7181 | 1,0000 | 3,1715 | 2,0285 | 4,1148 |
5 | 2,0919 | 1,25 | 2,6148 | 4,3759 | 1,5625 | 5,0041 | 3,0959 | 9,5845 |
6 | 2,3979 | 1,5 | 3,5968 | 5,7499 | 2,2500 | 7,8957 | 3,1043 | 9,6369 |
7 | 2,8214 | 1,75 | 4,9374 | 7,9602 | 3,0625 | 12,4581 | 4,3419 | 18,8525 |
8 | 2,8273 | 2 | 5,6546 | 7,9937 | 4,0000 | 19,6567 | -2,7567 | 7,5996 |
9 | 3,2068 | 2,25 | 7,2153 | 10,2836 | 5,0625 | 31,0151 | -6,3151 | 39,8801 |
10 | 3,3810 | 2,5 | 8,4525 | 11,4311 | 6,2500 | 48,9366 | -19,5366 | 381,6797 |
итого | 18,3829 | 13,7500 | 34,6825 | 53,0554 | 24,0625 | 132,2291 | -15,8291 | 472,2349 |
срзнач | 1,8383 | 1,3750 | 3,4683 | 5,3055 | 2,4063 |
|
| 47,2235 |
| 1,3879 | 0,7181 |
|
|
|
|
|
|
| 1,9262 | 0,5156 |
|
|
|
|
|
|
Рассчитаем и :
,
.
Получим уравнение линейной регрессии: .
Выполнив его потенцирование, получим:
.
Тесноту связи оценим через индекс корреляции :
.
Связь умеренная.
4г. Гиперболическое уравнение линеаризуется при замене: . Тогда .
Для расчетов используем данные таблицы 6.
Таблица 6
№ | y | z | yz | y2 | z2 | yx | y-yx | (y-yx)2 |
1 | 0,3 | 4,0000 | 1,2000 | 0,0900 | 16,0000 | -6,0504 | 6,3504 | 40,3273 |
2 | 1,2 | 2,0000 | 2,4000 | 1,4400 | 4,0000 | 6,4587 | -5,2587 | 27,6536 |
3 | 2,8 | 1,3333 | 3,7333 | 7,8400 | 1,7778 | 10,6284 | -7,8284 | 61,2831 |
4 | 5,2 | 1,0000 | 5,2000 | 27,0400 | 1,0000 | 12,7132 | -7,5132 | 56,4481 |
5 | 8,1 | 0,8000 | 6,4800 | 65,6100 | 0,6400 | 13,9641 | -5,8641 | 34,3877 |
6 | 11 | 0,6667 | 7,3333 | 121,0000 | 0,4444 | 14,7980 | -3,7980 | 14,4251 |
7 | 16,8 | 0,5714 | 9,6000 | 282,2400 | 0,3265 | 15,3937 | 1,4063 | 1,9777 |
8 | 16,9 | 0,5000 | 8,4500 | 285,6100 | 0,2500 | 15,8405 | 1,0595 | 1,1226 |
9 | 24,7 | 0,4444 | 10,9778 | 610,0900 | 0,1975 | 16,1879 | 8,5121 | 72,4553 |
10 | 29,4 | 0,4000 | 11,7600 | 864,3600 | 0,1600 | 16,4659 | 12,9341 | 167,2906 |
итого | 116,4000 | 11,7159 | 67,1344 | 2265,3200 | 24,7963 | 116,4000 | 0,0000 | 477,3712 |
срзнач | 11,6400 | 1,1716 | 6,7134 | 226,5320 | 2,4796 |
|
| 47,7371 |
| 9,5416 | 1,0521 |
|
|
|
|
|
|
| 91,0424 | 1,1070 |
|
|
|
|
|
|
Вычислим оценки коэффициентов регрессии:
,
.
Получено уравнение: .
Индекс корреляции:
.
По степенному уравнению регрессии получена наибольшая оценка тесноты связи: (по сравнению с линейной, показательной и гиперболической регрессиями).
ЗАДАНИЕ 5
1. Проверим идентификацию каждого уравнения и системы в целом.
Модель имеет три эндогенные ( , , ) и три экзогенные ( , , ) переменные.
Проверим каждое уравнение системы на необходимое (Н) и достаточное (Д) условия идентификации.
Первое уравнение.
Н: эндогенных переменных – 2 ( , ),
отсутствующих экзогенных – 1 ( ).
Выполняется необходимое равенство: 1 + 1 = 2, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.
Д: в первом уравнении отсутствуют и . Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:
Уравнение | Отсутствующие переменные | |
Второе | -1 | |
Третье | 0 |
Вычислим определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в первом уравнении:
.
Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и первое уравнение точно идентифицируемо.
Второе уравнение.
Н: эндогенных переменных – 3 ( , , ),
отсутствующих экзогенных – 2 ( , ).
Выполняется необходимое равенство: 2 + 1 = 3, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.
Д: во втором уравнении отсутствуют и . Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:
Уравнение | Отсутствующие переменные | |
Первое | ||
Третье |
Вычислим определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих во втором уравнении:
.
Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и первое уравнение точно идентифицируемо.
Третье уравнение.
Н: эндогенных переменных – 2 ( , ),
отсутствующих экзогенных – 1 ( ).
Выполняется необходимое равенство: 1 + 1 = 2, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.
Д: в первом уравнении отсутствуют и . Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:
Уравнение | Отсутствующие переменные | |
Второе | -1 | 0 |
Третье |
Вычислим определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в третьем уравнении:
.
Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и первое уравнение точно идентифицируемо.
Таким образом, исследуемая система точно идентифицируема и может быть решена косвенным методом наименьших квадратов.
2. Найдем приведенную форму модели.
(1)
Подставим первое уравнения системы (1) во второе и получим:
,
. (2)
Уравнение (2) подставим в третье уравнение системы (1) и выразим :
,
(3)
В первое уравнение системы (1) подставим уравнение (3) и выразим :
Уравнение (3) подставим в (2) и выразим :
Таким образом, приведенная форма модели имеет вид:
где
, ,
, ,
, ,
, ,
.
ПРИЛОЖЕНИЯ
1. Таблица значений F -критерия Фишера при уровне значимости
Дата добавления: 2021-03-18; просмотров: 43; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!