Разложение правильной рациональной дроби на простейшие
Пусть знаменатель правильной рациональной дроби 
может быть представлен в виде 
(множителей вида 
может быть несколько), где 
— заданные числа 
трехчлен 
не имеет действительных корней.
Тогда 
представляется в виде суммы простейших дробей
1—3 типов:
где 
— неизвестные коэффициенты, которые находятся путем приведения суммы справа к общему знаменателю и последующего приравнивания полученного числителя к 
Доказательство представлено в [3. С.354].
Примеры:
1) 
2) 
3) 
Два метода нахождения коэффициентов в разложении рассмотрим на примере.
Пример:
Поскольку 
(см. пример в
п. 16.1.1), то
Правильную рациональную дробь под интегралом представим в виде суммы простейших:
(16.1)
Первый метод — метод неопределенных коэффициентов — заключается в приравнивании коэффициентов при одинаковых степенях х в (16.1):
Второй метод — метод частных значений — заключается в подстановке значений х в (16.1), в первую очередь, корней знаменателя:
Окончательно имеем
Метод неопределенных коэффициентов
Рассмотрим два многочлена 
степени 
и 
соответственно, т.е.
предположим, что 
.
При делении многочлена 
на многочлен 
, где , нужно найти многочлены 
и 
такие, чтобы выполнялось равенство
Опишем метод неопределенных коэффициентов. Этот метод основывается на том, что многочлен -ой степени имеет ровно корней с учетом их кратности. Это означает, что если многочлен обращается в нуль более чем в точках, то этот многочлен нулевой (все коэффициенты равны нулю).
Запишем многочлены и с произвольными коэффициентами, т.е.
и
Умножим и сложим многочлены в левой части равенства:
получим
здесь приведены подобные, т.е. группировка по степеням 
.
В итоге получим, что для любого значения переменной выполняется равенство левой и правой частей. Это означает, что многочлен -ой степени обращается в нуль более, чем в точках. Для равенства нулю многочлена достаточно потребовать равенства нулю всех его коэффициентов.
Приравняем друг к другу коэффициенты при одинаковых степенях в равенстве
или
Имеем систему линейных алгебраических уравнений:
из которой определяются неизвестные коэффициенты.
Дата добавления: 2021-03-18; просмотров: 50; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!