Последовательность, все члены которой равны между собой, называется постоянной последовательностью.

 

Постоянная последовательность {u_n = а} (все члены её равны между собой) одновременно будет не убывающей и не возрастающей, потому что

 

u_n ≤ u_n+1 и u_n ≥ u_n+1 (u_n = u_n+1) при (n ∈ N).

 

Возрастающие, убывающие, не возрастающие и не убывающие последовательности называются монотонными.

Возрастающие и убывающие – строго монотонными.

Не возрастающие и не убывающие – не строго монотонными.

 

Ограниченные последовательности.

 

а) последовательность {u_n} называется ограниченной сверху, если существует такое число М, что для всех n (n ∈ N) справедливо неравенство

 

u_n ≤ М.

 

Число М называется верхней границей последовательности {u_n}.

 

ПРИМЕР:

 

Последовательность

 ограничена сверху. Действительно,

 

Верхняя граница данной последовательности

Если последовательность ограничена сверху, то она имеет бесконечное количество верхних границ;

 

б) последовательность {u_n} называется ограниченной снизу, если существует такое число m, что для всех n ∈ N справедливо неравенство

 

u_n ≤ m,

 

Число m называется нижней границей последовательности {u_n}.

 

ПРИМЕР:

 

Последовательность {n²} ограничена снизу.

 

Действительно, u_n = n² ≥ 1 при n = 1, 2, 3, … , то есть нижняя граница последовательности {n²} m = 1. Очевидно, любое число a < 1 также будет нижней границей данной последовательности. Если последовательность ограничена снизу, то она имеет бесконечное количество нижних границ;

 

в) последовательность {u_n} называется ограниченной, если она ограничена снизу и сверху, то есть

 

m ≤ u_n ≤ M (n ∈ N).

 

Часто определение ограниченной последовательности формулируют так:

 

Последовательность {u_n} называется ограниченной, если существует такое положительное число М, что для всех n ∈ N справедливо неравенство

|u_n| ≤ M.

 

Последовательность, которая не будет ограниченной хотя бы снизу или хотя бы сверху, называется неограниченной.

Геометрическое изображение последовательностей.

 

Числовую последовательность, как и числовую функцию, можно изображать геометрически с помощью точек координатной плоскости. Так как числовая последовательность – это функция, область определения которой служит множество N натуральных чисел (или множество первых n натуральных чисел), то её графиком является множество точек координатной плоскости, абсциссы которых – натуральные числа 1, 2, 3, …, n, …, а ординаты – соответствующие члены последовательности.

Для геометрического изображения последовательности

 

(u_n), где u = f(n),

 

Чаще всего пользуются такими двумя способами:

 

а) последовательность (u_n) изображают в виде графика функции

 

y = u_n = f(n),

 

который состоит из отдельных точек

 

(1, u₁), (2, u₂), … , (n, u_n), …

 

Иногда, для наглядности, эти точки последовательно соединяют сплошными или пунктирными линиями. Этот график называется графиком последовательности (u_n);

б) последовательность (u_n) изображают в виде соответствующих точек числовой оси.

ПРИМЕР:

 

На рисунке изображён график конечной последовательности

 

–4; –2; 0; 2; 4.

Он состоит из пяти точек, координатами которых служат пары чисел

 

(1; –4), (2; –2), (3; 0), (4; 2), (5; 4).

Задание 2. Придумайте и опишите какую-нибудь числовую последовательность, изобразите ее графически

 

---

Дата добавления: 2020-12-12; просмотров: 55; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!