Рівняння електродинаміки другого порядку
Основні положення електродинаміки
Гармонічні коливання. Метод комплексних амплітуд
Велике значення гармонічних сигналів (коливань) для електродинаміки обумовлено рядом причин, серед яких такі основні:
1. Гармонічні сигнали є інваріантні відносно перетворень, що здійснюються стаціонарними лінійними електричними ланками. Якщо така ланка створена джерелом гармонічних коливань, то сигнал на виході ланки залишиться гармонічним з такою ж частотою, відрізняючись від вхідного сигналу лише амплітудою і початковою фазою.
2. Техніка генерування гармонічних коливань відносно проста. Тобто, щоб створити найпростіше гармонічне коливання можна скористатися коливальним контуром з котушки і конденсатора, з’єднаних паралельно.
Коливання – це зміна в часі деякої фізичної величини, яка характеризується деяким ступенем повторюваності.
Для гармонічних коливань можна записати вираз, що описує їх зміну:
, (4.1)
де 
– амплітуда; 
– колова частота; 
– повна фаза; 
‑ початкова фаза.
Якщо виконується така рівність: 
, тоді T – період гармонічного коливання, значення якого можна знайти за формулою: 
, де f – частота гармонічного коливання.
В електродинаміці часто вводять скалярну функцію:
,
а також векторну функцію:
|
|
|
.
Якщо векторні компоненти мають однакові початкові фази, тобто:
,
то 
.
Метод комплексних амплітуд полягає в тому, що замість тригонометричних функцій використовують експоненціальні. Наприклад, замість:
можна записати:
,
де 
– комплексна амплітуда.
Це виходить із відомої формули Ейлера: 
.
Згідно формули Ейлера фізична величина U є дійсною частиною її комплексного представлення:
. (4.2)
З формули Ейлера випливає ще таке:
,
де * означає комплексне спряження.
У векторному варіанті: 
, де 
.
|
Метод комплексних амплітуд значно спрощує техніку перетворень при отриманні розв’язків диференціальних рівнянь із частковими похідними. Всі члени лінійно диференційованого рівняння виявляються помноженими на 
. Забравши цей множник, можна отримати рівняння відносно комплексної амплітуди, що не залежить від часу. Якщо в результаті розв’язку рівняння комплексна амплітуда знайдена, то для отримання шуканої фізичної величини потрібно лише помножити комплексну амплітуду на і виділити дійсну частину.
|
|
|
Розглянемо комплексну площину (див. рисунок).
Зазначимо, що алгебраїчна форма комплексного числа подається у наступному вигляді: z= a+і b,
де а та b – дійсна та уявна частини комплексного числа.
Тоді модуль комплексного числа:
,
тааргумент комплексного числа: 
.
Тут 
та 
.
Комплексне число ще можна записати у наступному вигляді:
.
Цей вираз називають тригонометричною формою запису комплексного числа.
Система рівнянь Максвелла.
Рівняння електродинаміки другого порядку
– це повна система рівнянь електродинаміки,
яка разом із раніше описаними граничними умовами утворює апарат знаходження електромагнітних полів. При jст=0 – буде вільне поле. При jст¹0 проходить збудження е/м поля зовнішніми джерелами і таке поле називають вимушеним або полем випромінювання.
Із повної системи рівнянь електродинаміки можна виключити усі невідомі величини, крім напруженостей поля, а далі виключити 
або 
. В кінцевому варіанті отримаємо диференціальне рівняння другого порядку відносно одного із цих векторів.
|
|
|
Покажемо як це можна зробити. Так домножимо всі члени першого рівняння Максвела на e-1, а другого – на m-1 та застосуємо операцію rot. Це дає:
, 
. (4.3)
Тоді замість rotE іrotH вставимо значення із перших двох рівнянь Максвелла, врахуємо, що e0m0=с2, та застосуємо рівність: rot rot А=grad divA - Ñ2A і для однорідного середовища отримаємо:
, 
.. (4.4)
Це є векторні р-ня Даламбера. Якщо змін в часі немає, то ці р-ня переходять в р-ня Пуассона. Якщо струми та заряди відсутні, то такі однорідні р-ня називають хвильовими.
Дата добавления: 2021-03-18; просмотров: 68; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!