Електричний і магнітний диполі

Стаціонарне поле

Стаціонарним називають незмінне в часі електромагнітне поле, що існує при наявності постійного струму. Воно описується системою рівнянь Максвелла у диференціальній формі:

(3а)

В системі (3а) можна виділити дві групи рівнянь, одна з яких включає тільки електричні вектори ( і ), а друга – тільки магнітні ( i ). При наявності постійного струму ці групи рівнянь зв’язані відношенням .

Відокремимо електричну і магнітну складові:

– рівняння, що включає тільки електричні складові:

(3б)

– рівняння, що включає тільки магнітні складові:

(3в)

З рівнянь групи (3б) випливає, що електричне поле постійного струму, як і електростатичне, є потенціальним, а із групи (3в) випливає, що магнітне поле є вихровим.

Варто зауважити, якщо , то електрична і магнітна системи незалежні. Відповідно, в стаціонарному полі лінії струму є неперервними ( ).

Електростатичне поле

Якщо розглядати незмінне в часі електричне поле при відсутності струмів ( ):

(3.1)

Це є система рівнянь електростатики. А електричні поля, що відповідають системі рівнянь (3.1), будемо називати електростатичними.

Оскільки , тому поле потенціальне або безвихрове. Для безвихрового поля можна написати: , (3.2)

де – електростатичний потенціал. Знайдемо роботу по переміщенні заряду q із точки М₁ в М₂ по деякому контуру(див. рис.):

. (3.3)

Знак мінус у формулі (3.3) означає, що корисна робота виконується у тому випадку, коли заряд переміщується проти сил поля.

Тут . Тоді: , (3.4)

де – значення потенціалу в точках М₁ і М₂ відповідно.

Із (3.3) і (3.4) випливає: . (3.5)

Тобто, при переміщені зарядів по замкнутому колу робота не виконується.

Тут , а потенціал: . Потенціал дорівнює роботі, яка виконується при переміщенні додатного точкового заряду з точки M у .

Потенціал – скалярна функція, яка цілком визначає векторне поле. (див. 3.2): .

З 2-го рівняння Максвелла: (3.6)

Якщо середовище однорідне, то , тоді – це є рівняння Пуассона.

Якщо в частині середовища, що розглядається, заряди є відсутні (r=0), то рівняння Пуассона перейде в рівняння Лапласа: .

Способи вирішення рівнянь Пуассона і Лапласа – самостійно.

Приведемо лише кінцевий розв’язок рівняння Пуассона(див. рис. зліва):

. (3.7)

ПРИКЛАДИ:

Для точкового заряду q можна знайти(див. рис.):

, тоді . (3.8)

Враховуючи, що величина для точкового заряду була нами знайде-на із другого р-ня Максвелла: . Аналогічно для нескінченно зарядженої нитки із погонною густиною заряду: . (3.9)

Аналогічно можна показати, що для рівномірно зарядженої діелектричної кулі (див. рис.)із зарядом: :

(3.10)

Якщо заряд розподілений рівномірно на поверхні сфери (див. рис.), тоді: .

Отже, будемо мати, що при ,

а при : .

А на поверхні сфери: .

Для наочності електростатичне поле представляють графічно. При цьому, зазвичай, окрім силових ліній, розглядають його еквіпотенціальні поверхні, тобто поверхні рівного потенціалу, для яких: ,

де вектор співпадає з напрямом дотичної до еквіпотенціальної поверхні. Наведена вище рівність означає, що поверхні рівного потенціалу і силові лінії електростатичного поля перетинаються під прямим кутом.

Магнітостатичне поле

магнітостатичні поля, як і електростатичні, позбавлені енергообміну, бо .

Інтегральні аналоги: та .

Тут аналогічно вводять величину (магнітостатичний потенціал), для якого: .

Аналогічно, як і в електростатиці, записуємо: . (3.11)

Тоді при отримуємо р-ня Лапласа: .

Для постійних магнітів: , де не залежить від .

Тоді: . (3.12)

А при отримуємо р-ня Пуассона: , (3.13)

розв’язком якого є: .

На границі розділу двох середовищ з різними магнітними проникливостями ( ) повинні виконуватися загальні граничні умови для векторів i :

Таким чином, напруженість магнітостатичного поля і напруженість електростатичного поля в області без зарядів задовольняють однакові рівняння і однотипні умови. Відповідно, рішення задач магнітостатики можна отримати із рішення аналогічних задач електростатики простою заміною в них на і на .

Провідники в електростатиці

Електростатичні поля не існують у провідних середовищах. Оскільки в електростатиці струм відсутній, тому на поверхні провідних середовищ .

ПРИКЛАД 1. Відсутність будь-якої компоненти вектора всередині провідного об’єму V і на його поверхні S означає, що , тобто поверхня S –еквіпотенціальна.

Тому на поверхні провідника:

. (3.14)

Поява заряду під дією електростатичного поля називається електростатичною індукцією (див. рисунок).

ПРИКЛАД 2. «Метод дзеркальних відображень»

Розглянемо вплив точкового заряду на провідну площину. Воно виявляється таким, як ніби крім вихідного заряду q, діяло також його відображення – q. Дійсно, поле у верхньому півпросторі задовольняє у цьому випадку умову , і площина є еквіпотенціальною. Якщо скласти поля двох точкових зарядів: дійсного і „відображеного”, то в результаті із геометричної побудови отримаємо (див. рис.): .

Тоді заряд, наведений на всій площині:

(тут враховано, що D=ξ=εε _o E із (3.14)).

Ємність

Заряд провідника пропорційна потенціалу, тобто: .

Або Фарад [Ф] – ємність провідника. (3.15)

ПРИКЛАД 1. Ємність відокремленої кулі

Для кулі: (раніше розглядали – див. (3.8)). Звідки , а тому

(3.16)

Для ідеального конденсатора, де один провідник знаходиться в середині іншого провідника (див. рис. справа), ємність визначається як: , (3.17)

де – різниця потенціалів двох провідників.

ПРИКЛАД 2. Сферичний конденсатор

Визначимо ємність сферичного конденсатора (див. рис.). У зв’язку із сферичною симетрією внутрішнє поле виявляється таким, як і у випадку точкового заряду (приклад 1). Тому для зовнішнього і внутрішнього провідників маємо наступні відношення: і .

Якщо створити різницю потенціалів , і підставити у співвідношення (3.17), можна легко отримати:

. (3.18)

На ідеальний конденсатор зовнішні електростатичні поля не впливають. Дійсно, тоді зовнішні поля створюють таке розташування зарядів на поверхні провідних тіл, які компенсують ці поля.

ПРИКЛАД 3. Плоский конденсатор

Дві однакові провідні плоскі пластини, що розташовані паралельно одна одній і мають однакові за величиною та протилежні за знаком заряди, створюють плоский конденсатор (див. рис).

Ємність плоского конденсатора:

Якщо розміри пластини не можна вважати більшими у порівнянні з d, то формула для ємності стає неточною. Справжня ємність є більшою за ємність, що отримується за цією формулою.

ПРИКЛАД 4. Коаксіальний кабель (циліндричний конденсатор)

Циліндричний конденсатор складається із внутрішнього провідника радіусом і коаксіальної з ним циліндричної оболонки з внутрішнім радіусом (див. рис).

ℓ

Ємність на одиницю довжини нескінченного циліндричного конденсатора рівна:

Формула для ємності циліндричного конденсатора достатньо точна для практичних цілей тільки у випадку конденсаторів, довжина провідників яких велика порівняно з відстанню між ними. В конденсаторах з короткими провідниками поле між ними не можна вважати рівномірним і формула дає ємність, що є меншою за реальну.

ПРИКЛАД 5. Двохпровідна лінія

Розглянемо електростатичне поле двохпровідної лінії (див. рис.), тобто поле двох паралельних протилежно заряджених нескінченних циліндрів радіуса r, відстань між осями яких рівна d. Потенціали провідників будемо вважати відомими. Заряди циліндрів на одиницю довжини рівними за величиною і протилежними за напрямом. Наведемо тут без виведення кінцеву формулу для визначення ємності двохпровідної лінії:

Ця формула особливо точна у випадку тонких провідників.

Діелектрики в електростатиці

Справжні електричні поля могли би існувати тільки в середовищах без електропровідності ( ), тобто в ідеальних діелектриках. У таких середовищах відбуваються тільки процеси поляризації.

Для рішення задач електростатики про діелектричні тіла у зовнішньому полі немає необхідності переходити до уявлень про зв’язані заряди. Потрібно просто знаходити такі електростатичні поля (внутрішні і зовнішні), які задовольняли би на поверхні діелектрика граничні умови:

і .

Закон Біо-Савара

Цей закон встановлює величину і напрямок вектора магнітного поля в будь-якій точці магнітного поля, яке створюється елементом провідника зі струмом (див. рис.):

. (3.19)

Або в інтегральній формі:

а) для лінійного струму:

. (3.20)

б) для довільних струмів в об’ємі V:

. (3.21)

Ще деколи вводять поняття векторного магнітного потенціалу згідно: . (3.22)

ПРИКЛАДИ.

З першого р-ня Максвела раніше ми отримали для нескінченно довгого провідника зі струмом таке співвідношення для напруженості магнітного поля:

. (3.23)

Використовуючи це, знайдемо розподіл напруженості магнітного поля для різних випадків.

Для провідника:

Формула (3.23) має зміст при . Для визначення магнітного поля всередині провода виберемо круг радіуса . Враховуючи, що струм, який охоплює цей контур, у даному випадку дорівнює , отримуємо: . Ця формула має зміст при .

Таким чином, поле циліндричного провідника в області лінійно зростає від нуля до деякого максимального значення (див. рис.), що дорівнює , а при співпадає з полем прямолінійного струму величиною I, що визначається за формулою (3.23).


Для труби .	Для коаксіального кабелю .

Аналогічно можна знайти для труби (див. рис.), причому поле всередині труби відсутнє. В якості прикладу запишемо формули, що відповідають випадку коаксіального кабелю:

У випадку витка, можна розрахувати поле на осі круглого витка (див. рисунок зліва):

Поле скінченного соленоїда (див. рисунок справа):

де – число витків на одиницю довжини соленоїда, та – половинні кути для точки спостереження.

Для нескінченого соленоїда, для якого , отримаємо відому формулу: .

Електричний і магнітний диполі

Електричний диполь – це є система з двох однакових, але протилежних за знаком зарядів при умові, що r>>l.

Електричний момент диполя рівний:

. (3.24)

Ідеальний диполь при .

Потенціал диполя:

(3.24а)

Магнітний диполь – це є виток зі струмом при умові: r>>a.

Магнітний момент диполя:

. (3.25)

Підкреслимо, що вільних магнітних зарядів в природі не існує. Це випливає з основних законів електродинаміки, в тому числі із четвертого рівняння Максвела в диференціальній формі.

Енергія стаціонарних полів

Відомо, що для потенціального поля:

. (3.26)

Використовуючи відому тотожність: , теорему Остроградського-Гауса: та третє р-ня Максвела: , отримуємо: . (3.27)

Оскільки у рівне , то для локального розподілу заряду в необмеженому просторі: . (3.28)

Для необмеженого провідника: . (3.29)

Для конденсатора: . (3.30)

Аналогічно для магнітної енергії: ,

де – векторний потенціал. Тоді використовуючи тотожність: , теорему Остроградського-Гауса: та перше рівняння Максвела: , можна отримати: ,

а для необмеженого простору: . (3.31)

Ця формула є загальна. Вона може бути використана, якщо задано розподіл струму в об’ємі V.

Оскільки векторний потенціал пропорційний в об’ємі V, тому пропорційне через будь-яку поверхню S, що розсікає V.

Тому: , (3.32)

L – індуктивність [Генрі], [Гн]

Якщо є два контури ‘i’ та ‘k’, то:

– енергія і-го контуру, а величина:

– енергія, яка вноситься k-тим контуром до і-ого. Тут M – взаємна індуктивність.

Дата добавления: 2021-03-18; просмотров: 46; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!