Сопоставление результатов расчета координат склада
Определение месторасположения склада
Для решения одной из фундаментальных логистических задач-определения месторасположения распределительного склада в регионе необходимо знать:
· месторасположение (координаты xi, yi) фирм-производителей и потребителей (клиентов) данной продукции;
· объемы поставок продукции (Qi);
· маршруты доставки (характеристику транспортной сети);
· затраты (или тарифы) на транспортные услуги (Ti).
В зависимости от выбранного критерия оптимизации и учета расстояний между поставщиками, потребителями и складом рассматриваются следующие типовые случаи.
Первый вариант [25 и др.]. Месторасположение распределительного склада определяется в виде координат центра тяжести грузовых потоков по формулам:
, ( 8.1)
, (8.2)
где: Ax, Ay- координаты распределительного склада, км;
Qi- объем (вес) груза, т;
xi yi- соответственно расстояние от начала осей координат до расположения поставщика или клиента, км.
Второй вариант [20]. Месторасположение склада определяется как «центр равновесной системы транспортных затрат». Расчет координат склада производится по формулам:
, ( 8.3)
, (8.4)
где Ti- транспортный тариф для i-го поставщика или потребителя (клиента), руб.\т.км.
Суммирование в формулах (8.1) - (8.4) производится от i = 1 до m, где m- общее количество поставщиков и потребителей.
|
|
Очевидно, что при Ti = const., формулы (8.1), (8.2) и (8.3), (8.4) совпадают.
С другой стороны, транспортные тарифы Ti в формуле (8.3), (8.4) играют роль весовых коэффициентов, которые могут принимать различные значения и , следовательно, расширяют возможности учета различных факторов по сравнению с формулами (8.1), (8.2). Однако, не следует забывать, что тарифы функционально связаны с грузооборотом (т.км) и объемом перевозок (т), поэтому их упрощенный учет в расчетных зависимостях требует дополнительного обоснования, либо введения более сложных зависимостей.
Рассмотрим пример расчета координат склада по первому и второму вариантам. Исходные данные о координатах расположения поставщиков Пi и клиентов Кi приведены в табл.8.1; также представлены вспомогательные расчеты. При подстановке значений в формулы (8.1),(8.2) находим
Аx = км,
Ay = км.
Второй вариант расчета, формулы (8.3), (8.4) дает
Аx = км,
Ay = км.
Приведенные на рис.8.1 местоположение складов показывают, что в данном конкретном случае их координаты различаются незначительно.
Таблица 8.1
Определение координат склада
Исходные данные | По формулам (8.1), (8.2)
| По формулам (8.3), (8.4) | ||||||||
xi | yi | Ti | Qi | xiQi | yiQi | TixiQi | TiQi | TiyiQi | ||
0 | 575 | 0,8 | 300 | 0 | 172500 | 0 | 240 | 138000 | ||
300 | 500 | 0,5 | 250 | 75000 | 125000 | 37500 | 125 | 62500 | ||
550 | 600 | 0,6 | 150 | 82500 | 90000 | 49500 | 90 | 54000 | ||
150 | 125 | 1 | 150 | 22500 | 18750 | 22500 | 150 | 18750 | ||
275 | 300 | 1 | 75 | 20625 | 22500 | 20625 | 75 | 22500 | ||
400 | 275 | 1 | 125 | 50000 | 34375 | 50000 | 125 | 34375 | ||
500 | 100 | 1 | 100 | 50000 | 10000 | 50000 | 100 | 10000 | ||
600 | 550 | 1 | 150 | 90000 | 82500 | 20000 | 150 | 82500 | ||
Суммы | 1300 | 390625 | 555625 | 320125 | 1055 | 422625 |
0
Рис.8.1 Расположение поставщиков П, клиентов К и складов: С1 - первый вариант; С2 - второй вариант.
Третий вариант [23, 28]. Координаты склада определяются исходя из условия, что сумма расстояний от данных точек m с учетом спроса Qi до точки (x , y)- координат склада- была минимальной. Целевая функция записывается в виде:
(8.5)
где ai, bi- координаты i-го поставщика или потребителя.
Принципиальное отличие третьего варианта заключается в том, что, во-первых, он сформулирован как классическая оптимизационная задача, во-вторых, расстояние между складом и другими объектами определяется как «гипотенуза», тогда как в задачах первом и втором вариантах рассматриваются расстояния по осям X и Y.
|
|
Для нахождения координат склада используется аналитический метод, согласно которому на первом этапе определяется система из 2-х уравнений в виде частных производных функций P ( x , y ).
; (8.6)
Поскольку решение данной системы затруднено, на втором этапе используется итерационный метод. Так первое приближение для x(1) рассчитывается по формуле:
(8.7)
Входящее в формулу определяется из уравнения
(8.8)
На третьем этапе значения x (1) подставляется во второе уравнение системы (8.6) для частной производной по Y и находится первое приближение для y (1). Затем y (1) подставляется в уравнение для частной производной по X и находится второе приближение x (2) и т.д. до тех пор, пока разница итераций P ( k ) (x , y) и P ( k +1) (x , y) не станет меньше достаточно малого положительного числа E.
Однако, попытка использовать описанный итерационный метод решения наталкивается на такие же трудности, как и аналитическое решение системы (8.6). Это нетрудно показать на следующем примере. Запишем в явном в виде первое уравнение системы (8.9).
|
|
(8.9)
Допустим, что m =2, ax (1) рассчитано по формуле (8.7)
Тогда, для нахождения y (1) надо решить уравнение:
(8.10)
После преобразований получим кубическое уравнение для определения y (1): очевидно, что с увеличением m расчетные формулы усложняются, следовательно, использование итерационного подхода не упрощает поиск координат склада.
Рассмотрим подход, основанный на непосредственном поиске минимума функции (8.5). Исходные данные для расчетов приведена в табл.8.1.
Для примера рассчитаем величину транспортной работы при перевозках от производителей на склад и со склада клиентам, выбрав в качестве координат склада следующие значения:
x 1 =250 км, y 1 = 425 км. Тогда по формуле (8.5) для первого поставщика (а1 = 300 км, в1 = 575 км) находим:
т.км.
Результаты расчетов Р( x 1 , y 1 ) для всех поставщиков и клиентов приведены в табл. 8.2: Р( x 1 , y 1 )≈342 тыс.км
Таблица 8.2
Определение транспортной работы при координатах склада
х1 = 250 км, у1 = 425 км
Qi, Т | Координаты, км | км |
QiRi, т.км. | |
ai | bi | |||
300 | 0 | 575 | 291 | 87300 |
250 | 300 | 500 | 90 | 22500 |
150 | 550 | 600 | 347 | 52050 |
150 | 150 | 125 | 316 | 47400 |
75 | 275 | 300 | 127 | 9525 |
125 | 400 | 275 | 212 | 26500 |
100 | 500 | 100 | 410 | 41000 |
150 | 600 | 550 | 371 | 55650 |
Сумма | 341925 |
Расчеты были выполнены в виде трех блоков. В первый блок вошли расчеты для пяти точек (рис.8.2), координаты которых и результаты расчетов приведены в табл. 8.3.
Анализ результатов позволил выявить направление поиска координат склада (второй блок, три точки), изменив его вдоль координаты х = 300 км. Наконец, минимальное значение транспортной работы оказалось равным Р = 329950 т.км. (при принятом в расчетах шаге ∆ = 25 км), что соответствует координатам склада: х = 300 км; у = 500 км.
Рис.8.2 Графическая интерпретация поиска минимума функции P (x, y): 342(1) – транспортная работа в тыс.км (номер варианта расчета в табл.8.3)
Таблица 8.3
Определение координат склада (численный метод)
Расчетный блок | Вариант | Координаты склада | Р (х, у), т.км | |
х | у | |||
I | 1 | 250 | 425 | 342200 |
2 | 275 | 400 | 336170 | |
3* | 300 | 425 | 334200 | |
4 | 275 | 450 | 333360 | |
5 | 275 | 425 | 336800 | |
II | 6 | 300 | 450 | 331700 |
7 | 300 | 475 | 330030 | |
8 | 325 | 450 | 336100 | |
III | 9** | 300 | 500 | 329950 |
10 | 300 | 525 | 343400 | |
Примечания: * вариант, соответствующий координатам «центра тяжести»; ** минимальное значение Р (х, у) из приведенных в таблице. |
Следует подчеркнуть, что разница значений Р (х, у) между 6 и 7 вариантами составляет 0,46%, а между 9 и 7 – 0,1%. С одной стороны это затрудняет поиск минимума функции Р(х, у), с другой стороны говорит о том, что минимум Р(х, у) при заданном выражении целевой функции соответствует область значений, незначительно отличающихся друг от друга. Таким образом, с небольшой погрешностью координаты склада могут быть выбраны внутри этой области, что позволяет учесть всевозможные и часто противоречивые ограничения: административные, правовые и т.п.
Заметим, что для поиска минимума Р(х, у) можно воспользоваться ускоренным алгоритмом, суть которого сводится к итерационному процессу расчета координат склада по формулам:
, (8.11)
, (8.12)
где
(8.13)
Вывод зависимостей (8.11), (8.12) покажем на примере первой из них. За основу берутся частные производные dP ( x , y )/ dx и dP ( x , y )/ dy , см. формулу (8.6). После суммирования, находим
Решая уравнение относительно Х, получим формулу, представляющую собой итерационное выражение
(8.14)
Таблица 8.4
Определение координат склада (первая итерация ускоренного алгоритма)
Qi | ai | bi | (ai-300)2 | (bi-425)2 | Ri | Qi/Ri | Qiai/Ri | Qibi/Ri |
300 | 0 | 575 | 90000 | 22500 | 335 | 0,895 | 0 | 515,9 |
250 | 300 | 500 | 0 | 5625 | 75 | 3,333 | 999,9 | 1666,5 |
150 | 550 | 600 | 62500 | 30625 | 305,2 | 0,491 | 270,3 | 294,6 |
150 | 150 | 125 | 22500 | 90000 | 335 | 0,448 | 67,2 | 56,0 |
75 | 275 | 300 | 625 | 15625 | 127,5 | 0,588 | 161,8 | 176,4 |
125 | 400 | 275 | 10000 | 22500 | 180,3 | 0,693 | 277,3 | 190,6 |
100 | 500 | 100 | 40000 | 105625 | 385,6 | 0,262 | 131,0 | 26,2 |
150 | 600 | 550 | 90000 | 15625 | 325 | 0,461 | 276,6 | 253,5 |
Суммы | 7,171 | 2184,1 | 3179,9 |
Расчет начинается с первого шага при и , определяемых по формулам (8.1), (8.2) для координат «центра тяжести»
При подстановке х0 = 300 км, у0 = 425 км по формулам (8.11), (8.12), рассчитываем значения сумм (табл.8.4) и находим первое приближение:
= 303 км; = =440 км
Второе приближение для координат склада:
= 305 км; = 460 км
Транспортная работа для второй итерации:
Р( , ) = 330 900 т.км.
В заключение сопоставим варианты расчетов координат склада при использовании различных подходов, табл.8.5
Транспортная работа рассчитывалась по формуле (8.5), исходные данные для расчета приведены в табл. 8.1.
Таблица 8.5
Сопоставление результатов расчета координат склада
Вариант расчета | Координаты склада, км |
Р* (х, у), т.км. | |
х | у | ||
Формула (1) | 300 | 427 | 334200* |
Формула (2) | 303 | 400 | 338250 |
Формула(3) - численный метод поиска минимума; - ускоренный алгоритм поиска, формулы (8.11), (8.12). | 300 305 | 500 460 | 329950 330900 |
Примечание: при расчетах Р(x, y) координаты х, у округлены до значений кратных ∆ = 25 км. |
Анализ результатов позволяет констатировать, что в рассматриваемом условном примере наблюдается незначительная разница значений транспортной работы, рассчитанной при различных подходах к определению координат склада, тогда как сами координаты, в частности по оси у, различаются существенно.
В работе [2] помимо приведенных формул даны итерационные зависимости для определения координат склада x и y по критерию «часы-тонны-километры», в котором помимо объемов перевозных грузов Qi и расстояний Rij учитывается время перевозки tij. Считается, что в этом случае координаты склада будут выбраны с минимальными издержками на транспортировку. Однако, данное утверждение требует, на наш взгляд, проведения соответствующих расчетов и сравнительного анализа с другими вариантами.
Дата добавления: 2021-03-18; просмотров: 83; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!