Движение тела переменной массы. Уравнение Мещерского
Имеется много случаев, когда масса тела изменяется в процессе движения за счет непрерывного отделения или присоединения вещества (ракета, реактивный самолет, платформа, нагружаемая на ходу и др.).
Наша задача: найти уравнение движения такого тела.
Пусть в некоторый момент масса движущегося тела равна , а присоединяемое (или отделяемой) вещество имеет скорость относительно данного тела.
Пусть далее за промежуток времени от до тело приобретает импульс . Этот импульс тело получит, во-первых, вследствие присоединения (отделения) массы , которая приносит (уносит) импульс , и, во-вторых, вследствие действия силы со стороны окружающих тел или силового поля.
Таким образом,
или
, (2.23)
где скорость присоединяемого (или отделяемого) вещества относительно рассматриваемого тела.
Это уравнение является основным уравнением динамики переменной массы. Его называют уравнением Мещерского. Последнее слагаемое уравнения (2.23) названо реактивной силой: . Если масса присоединяется, то и , если же масса отделяется, то и .
Задачи
Задача 1 Наклонная плоскость составляет угол = 300 с горизонтом (рис. 2.5). Отношение масс тел . Коэффициент трения между телом и плоскостью = 0,1. Массы блока и нити пренебрежимо малы. Найти модуль и направление ускорения тела , если система пришла в движение из состояния покоя.
|
|
Решение
Рис. 2.5
Направление силы трения, действующее на тело , будет определено, если найти направление ускорения этого тела в отсутствие трения ( =0). С этого мы и начнем.
Запишем основное уравнение динамики для тел и в проекциях на оси и :
:
:
где - сила натяжения нити.
Сложив эти два уравнения, получим
.
Подставив и , найдем м/с2. Таким образом, , следовательно, тело начнет двигаться вверх по наклонной плоскости. Следовательно , действующая на это тело, направлена в противоположную сторону. Тогда
:
:
:
,
откуда
,
(м/с2)
Задача 2 На рис.2.6 изображена система блоков, к которым подвешены грузы, масса которых = 200 г и = 500 г. Считая, что груз поднимается, а неподвижный блок с грузом опускается, нить и блоки невесомы, силы трения отсутствуют, определить:
1. силу натяжения нити ,
2. ускорения, с которыми движутся грузы.
Решение
Рис. 2.6
,
Сложив два уравнения, получим
,
,
.
Подставив численные значения, получим
= 1,5 м/с2, = 0,75 м/с2, = 2,26 Н.
Задача 3Интегрирование уравнений движения
|
|
Частица массы движется под действием силы . В момент известны ее радиус-вектор и скорость - начальные условия. Найти положение частицы, т.е. ее радиус-вектор , в зависимости от времени , если:
1. , , ;
2. , , .
Здесь - постоянный вектор, и - положительные постоянные.
Решение
1. Согласно основному уравнению динамики ускорение
.
Отсюда
.
Учитывая, что , после интегрирования, получим
.
Теперь найдем :
,
.
В результате интегрирования находим
,
где учтено, что .
2. В этом случае ускорение
.
Для интегрирования этого уравнения перейдем к скалярной форме – к модулю вектора :
.
Интегрирование этого уравнения дает
.
После потенцирования возвращаемся к векторной форме:
.
Последнее уравнение интегрируем еще раз с учетом начальных условий:
.
Задача 4Закон сохранения импульса
Человек массы находится в лодке массой , которая покоится на поверхности озера. Человек прошел вдоль лодки расстояние и остановился. Сопротивление воды пренебрежимо мало. Найдем соответствующее смещение лодки относительно берега.
Решение
В данном случае результирующая всех сил, действующих на систему человек – лодка, равна нулю, поэтому импульс этой системы меняться не будет, оставаясь равным нулю в процессе движения:
|
|
Рис.2.7
или
где и - скорости человека и лодки относительно берега.
С другой стороны ,
где - скорость человека относительно лодки. Исключив из этих двух уравнений, получим
.
Умножив обе части на и учтя, что , , получим
.
Задача 5Движение тела переменной массы
Ракета поднимается с нулевой начальной скоростью вертикально вверх в однородном поле тяжести. Первоначально масса ракеты (с топливом) равна . Скорость газовой струи постоянна и равна относительно ракеты. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти скорость ракеты в зависимости от ее массы и времени подъема .
Решение
Запишем уравнение движения ракеты – уравнение (2.23) – в проекции на вертикальную ось , направленную вертикально вверх:
.
Перепишем это уравнение так:
,
откуда
.
Проинтегрировав с учетом начальных условий: , , , получим:
.
Искомая скорость ракеты
.
Тесты
1. Силы, с которыми внешние тела действуют на материальную точку механической системы, называются…
1) …внутренними силами; 2) …внешними силами; 3) …потенциальными силами; 4) непотенциальными силами.
|
|
2. Коэффициент трения между бруском массой 3 кг и горизонтальной плоскостью равен 0,2. Найти величину силы трения, если на брусок действует горизонтальная сила тяги 5 Н, а он при этом находится в состоянии покоя…
1) …0,2 Н; 2) …5 Н; 3) …6 Н; 4) …11 Н; 5) …15 Н.
3. Дано выражение: , где – вектор силы, действующей на материальную точку, и – два момента времени. Это выражение определяет…
1) …момент силы; 2) ….кинетическую энергию точки; 3) …работу силы; 4) …импульс силы; 5) …импульс тела.
4. Брусок массой 2 кг тянут равномерно по деревянной доске, расположенной горизонтально, с помощью пружины жесткостью 100 Н/м. Коэффициент трения равен 0,3. Удлинение пружины равно ...
1) …0,6 см; 2) …1,7 см; 3) …6 см; 4) …17 см; 5) …60 см.
5. Силы, работа которых при перемещении тела зависит только от начального и конечного положения тела в пространстве, называются…
1) …внутренними силами; 2) …внешними силами; 3) …потенциальными силами; 4) …непотенциальными силами.
6. Сила – векторная величина, которая характеризуется...
1) ...модулем, скоростью, направлением; 2) ...направлением, точкой приложения; 3) ...модулем, точкой приложения, скоростью; 4) ...модулем, точкой приложения; 5) ...модулем, направлением, точкой приложения.
7. Какую скорость за 2 с приобретет тело массой 2 кг, расположенное на горизонтальной поверхности, под действием горизонтальной силы 10 Н, если коэффициент трения равен ?
1) …0 м/с; 2) …2 м/с; 3) …22 м/с; 4) …4 м/с; 5) …10 м/с.
8. Шар массой , двигаясь со скоростью , упруго ударяется о стенку под углом к её поверхности. Найти импульс, сообщённый стене при ударе…
1) … ; 2) … ; 3) … ; 4) … ; 5) … .
9. Два тела двигаются навстречу друг другу. Масса первого 1 кг, скорость 36 км/ч, масса второго тела 2 кг, скорость 5 м/с. Импульс системы тел равен…
1) …10 кг∙м/с; 2) …20 кг∙м/с; 3) 26 кг∙м/с; 4) …46 кг∙м/с; 5) …0 кг∙м/с.
10. Система состоит из трех шаров с массами М1 = 1 кг, М2 = 3 кг, М3 = 2 кг, которые двигаются так, как показано на рисунке 2.8. Если скорости шаров равны V1 = 3 м/с, V2 = 1 м/с, V3 = 4 м/с, то вектор импульса центр масс этой системы направлен…
Рис.2.8
1) …вправо; 2) …вверх; 3) ….вниз; 4) …вправо-вверх; 5) …вправо-вниз.
11. Основной закон динамики позволяет вычислить силу из выражения…
1) … ; 2) … ; 3) … ; 4) … ; 5) … .
12. Два тела двигаются по взаимно перпендикулярным направлениям. Импульс первого равен 5 кг∙м/с, импульса второго тела равен 12 кг∙м/с. Импульс системы тел равен…
1) …2,4 кг∙м/с; 2) …7 кг∙м/с; 3) …13 кг∙м/с; 4) …17 кг∙м/с; 5) …60 кг∙м/с.
13. Система состоит из трех шаров с массами М1 = 3 кг, М2 = 5 кг, М3 = 1 кг, которые двигаются так, как показано на рисунке 2.9. Если скорости шаров равны V1 = 3 м/с, V2 = 0 м/с, V3 = 2 м/с, то вектор импульса центр масс этой системы направлен…
Рис. 2.9
1) …вправо; 2) …вверх; 3) …вниз; 4) …вправо-вверх; 5) …вправо-вниз.
14. Тело движется равноускоренно и прямолинейно. В этом случае равнодействующей всех приложенных к нему сил…
1) ...не равна нулю, постоянна по модулю и направлению; 2) ...не равна нулю, постоянна по направлению, но не по модулю; 3) …не равна нулю, постоянна по модулю, но не по направлению; 4) …равна нулю; 5) …равна нулю или постоянна по модулю и направлению.
15. Закон всемирного тяготения, открытый Ньютоном, можно записать в виде…
1) … ; 2) … ; 3) … ; 4) … ; 5) … .
16. Сила, возникающая при деформации тела и направленная противоположно направлению смещения частиц при деформации, называется...
1) ...силой упругости; 2) ...силой тяжести; 3) ...силой реакции опоры; 4) …силой трения; 5) ...весом тела.
17. Ускорение свободного падения на расстоянии от центра Земли, вдвое превышающем ее радиус, равно...
1) ...2,5 м/с2; 2) ...5 м/с2; 3) ...7,5 м/с2; 4) ...10 м/с2; 5) ...12,5 м/с2.
18. Какой из нижеуказанных точек на диаграмме зависимости (рис. 2.10) массы планеты от ее радиуса, соответствует планета с наименьшим ускорением свободного падения?
Рис. 2.10
1) …1; 2) …2; 3) …3; 4) …4; 5) …5.
19. Замкнутая система – это система, в которой не действуют…
1) …внутренние силы; 2) …внешние силы; 3) …потенциальные силы; 4)…непотенциальные силы.
20. Какие физические величины связывает закон Гука?
1) …силу, коэффициент трения; 2) …силу, массу тела и ускорение свободного падения; 3) …силу, давление, площадь; 4) …силу, массу и ускорение тела; 5) …силу, жесткость и деформацию.
21. Сила, возникающая при соприкосновении поверхностей тел и препятствующая их относительному перемещению, называется...
1) ...силой тяжести; 2) ...весом тела; 3) …силой упругости; 4) ...силой реакции опоры; 5) ...силой трения.
22. Укажите номер выражения, определяющего модуль силы трения скольжения…
1) … ; 2) … ; 3) … ; 4) … ; 5) … .
23. Какой из нижеприведенных графиков наиболее точно отражает зависимость первой космической скорости от радиуса планеты для спутника, вращающегося на малой высоте по сравнению с радиусом планеты?
1) …1; 2) …2; 3) …3; 4) …4; 5) …5.
Дата добавления: 2021-03-18; просмотров: 240; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!