Примеры непрерывных случайных величин
Глава 6. Непрерывные случайные величины.
Плотность и функция распределения непрерывной случайной величины
Множество значений непрерывной случайной величины несчетно и обычно представляет собой некоторый промежуток конечный или бесконечный.
Случайная величина x(w),заданная в вероятностном пространстве {W,S,P}, называется непрерывной (абсолютно непрерывной) W, если существует неотрицательная функция такая, что при любых х функцию распределения Fx(x) можно представить в виде интеграла
.
Функция называется функцией плотности распределения вероятностей.
Из определения вытекают свойства функции плотности распределения :
1. Плотность распределения неотрицательна: .
2. Интеграл по всей числовой прямой от плотности распределения вероятностей равен единице:
3. В точках непрерывности плотность распределения равна производной функции распределения: .
4. Плотность распределения определяет закон распределения случайной величины, т.к. определяет вероятность попадания случайной величины на интервал :
.
5.Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет конкретное значение равна нулю: . Поэтому справедливы следующие равенства:
.
График функции плотности распределения называется кривой распределения, и площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице. Тогда геометрически значение функции распределения Fx(x) в точке х0 есть площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс и лежащая левее точки х0.
|
|
Рис.6.1.
Задача 1. Функция плотности непрерывной случайной величины имеет вид:
Определить константу C, построить функцию распределения Fx(x) и вычислить вероятность .
Решение. Константа C находится из условия Имеем:
откуда C=3/8.
Чтобы построить функцию распределения Fx(x), отметим, что интервал [0,2] делит область значений аргумента x (числовую ось) на три части: Рассмотрим каждый из этих интервалов. В первом случае (когда x<0) вероятность события {x<x} вычисляется так:
так как плотность x на полуоси равна нулю. Во втором случае
Наконец, в последнем случае, когда x>2,
так как плотность обращается в нуль на полуоси . Итак, получена функция распределения
Вероятность вычислим по формуле . Таким образом,
Числовые характеристики непрерывной случайной величины
Математическое ожидание для непрерывно распределенных случайных величин определяется по формуле При этом интеграл, стоящий справа, должен абсолютно сходиться. Пусть x имеет плотность р(х) и j(х) - некоторая функция. Математическое ожидание величины j(x) можно вычислить по формуле
|
|
,
если интеграл, стоящий справа, абсолютно сходится.
Дисперсия x может быть вычислена по формуле , а также, как и в дискретном случае, по формуле , где .
Все свойства математического ожидания и дисперсии, приведенные в главе 5 для дискретных случайных величин, справедливы и для непрерывных случайных величин.
Задача 2. Для случайной величины x из задачи 1 вычислить математическое ожидание и дисперсию.
Решение.
Далее,
и значит,
Примеры непрерывных случайных величин
Равномерное распределение.Непрерывная случайная величина x имеет равномерное распределение на отрезке [a,b], если плотность распределения рx(x) сохраняет постоянное значение на этом промежутке:
График плотности равномерного распределения см. на рис. .
Рис.6.2. Функция распределения и плотность распределения. равномерного закона
Функция распределения Fx(x) равномерно распределенной случайной величины равна
Fx(x)=
Математическое ожидание и дисперсия ; .
Показательное (экспоненециальное) распределение. Непрерывная случайная величина x, принимающая неотрицательные значения, имеет показательное распределение с параметром l>0, если плотность распределения вероятностей случайной величины равна
|
|
рx(x)=
Рис. 6.3. Функция распределения и плотность распределения показательного закона.
Функция распределения показательного распределения имеет вид
Fx(x)=
а математическое ожидание и дисперсия равны Мx= , Dx= .
Нормальное распределение (распределение Гаусса). Непрерывная случайная величина называется распределенной по нормальному закону с параметрами и , если ее плотность распределения равна
.
Через обозначается множество всех случайных величин, распределенных по нормальному закону с параметрами параметрами и .
Функция распределения нормально распределенной случайной величины равна
.
Рис. 6.4. Функция распределения и плотность распределения нормального закона
Параметры нормального распределения суть математическое ожидание и дисперсия
В частном случае, когда и нормальное распределение называется стандартным, и класс таких распределений обозначается .
В этом случае плотность стандартного распределения равна
,
а функция распределения
Такой интеграл не вычислим аналитически (не берется в «квадратурах»), и потому для функции составлены таблицы. Функция связана с введенной в главе 4 функцией Лапласа
|
|
,
следующим соотношением . В случае же произвольных значений параметров и функция распределения случайной величины связана с функцией Лапласа с помощью соотношения:
.
Поэтому вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на интервал можно вычислять по формуле
.
Неотрицательная случайная величина x называется логарифмически нормально распределенной, если ее логарифм h=lnx подчинен нормальному закону. Математическое ожидание и дисперсия логарифмически нормально распределенной случайной величины равны Мx= и Dx= .
Задача 3. Пусть задана случайная величина . Вычислить вероятность .
Решение. Здесь и . Согласно указанной выше формуле
Распределение Лапласа задается функцией fx(x)= e-lïxï, -¥<х<¥.
(двусторонняя показательная плотность).
Функция плотности распределения симметрична относительно нуля и Мx=Хmed=Xmod=0 и асимметрия -bx=0. Дисперсия в два раза больше дисперсии случайной величины, распределенной по показательному закону Dx= = и эксцесс равен gx=3.
Рис.6.5. Функция плотности распределения Лапласа.
Случайная величина x распределена по закону Вейбулла, если она имеет функцию плотности распределения, равную
Функция распределения в этом случае определяется следующим выражением :
Распределению Вейбулла подчиняются времена безотказной работы многих технических устройств. В задачах данного профиля важной характеристикой является интенсивность отказа (коэффициент смертности) l(t) исследуемых элементов возраста t, определяемый соотношением l(t)= . Если a=1, то распределение Вейбулла превращается в экспоненциальное распределение, а если a=2 - в так называемое распределение Рэлея.
Математическое ожидание распределения Вейбулла: - и дисперсия - , где Г(а) -функция Эйлера. .
В различных задачах прикладной статистики часто встречаются так называемые «усеченные» распределения. Например, налоговые органы интересуются распределением доходов тех лиц, годовой доход которых превосходит некоторый порог с0, установленный законами о налогообложении. Эти распределения оказываются приближенно совпадающими с распределением Парето. Распределение Парето задается функциями
Fx(x)=P(x<x)=1–( )a; ,
где a>0, а х>с0. Основные числовые характеристики этого распределения существуют не всегда, а лишь при соблюдении определенных требований к значению параметра a: математическое ожидание - Мx= при a>1, дисперсия - Dx= существует при a>2;
Функции от случайных величин
Пусть задана плотность случайной величины x и монотонная дифференцируемая функция . Тогда плотность распределения случайной величины равна
Здесь – функция, обратная к функции .
Задача 4. Случайная величина равномерно распределена на отрезке [0,2]. Найти плотность случайной величины .
Решение. Из условия задачи следует, что
Далее, функция является монотонной и дифференцируемой функцией на отрезке [0,2] и имеет обратную функцию , производная которой равна Следовательно,
.
Значит,
Дата добавления: 2021-03-18; просмотров: 295; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!