Укажем две причины потери корней при решении уравнений:
Равносильность уравнений
Определения равносильных уравнений и уравнений - следствий
Определение 1. Два уравнения с одной переменной f(х) = g(х) и р(х) = h(х) называют равносильными, если множества их корней совпадают.
Иными словами, два уравнения называют равносильными, если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.
Например,
уравнения х2 - 4 = 0 и (х + 2)(2x - 4) = 0 равносильны, оба они имеют по два корня: 2 и -2. Равносильны и уравнения х2+1=0 и = -3, поскольку оба они не имеют корней.
Определение 2. Если каждый корень уравнения f( x) = g(х) (1)
является в то же время корнем уравнения р(х) = h(х), (2)
То уравнение (2) называют следствием уравнения (1).
Например, уравнение х - 2 = 3 имеет корень х = 5,
а уравнение (х - 2)2 = 9 имеет два корня: х1 = 5, х2 = -1.
Корень уравнения х - 2 = 3 является одним из корней уравнения (х - 2)2 = 9.
Значит, уравнение (х - 2)2 = 9 — следствие уравнения х - 2 = 3.
Очевидным является следующее утверждение.
Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.
Решение уравнения осуществляется в три этапа.
Первый этап — технический. На этом этапе осуществляют преобразования по схеме
(1) → (2) → (3)→ (4) → ... и находят корни последнего (самого простого) уравнения указанной цепочки.
Второй этап — анализ решения. На этом этапе, анализируя проведенные преобразования, отвечают на вопрос, все ли они были равносильными.
|
|
Третий этап — проверка. Если анализ, проведенный на втором этапе, показывает, что некоторые преобразования могли привести к уравнению-следствию, то обязательна проверка всех найденных корней их подстановкой в исходное уравнение.
Реализация этого плана связана с поисками ответов на четыре вопроса.
Как узнать, является ли переход от одного уравнения к другому равносильным преобразованием?
Какие преобразования могут перевести данное уравнение в уравнение-следствие?
Если мы в конечном итоге решили уравнение-следствие, то как сделать проверку в случае, когда она сопряжена со значительными вычислительными трудностями?
В каких случаях при переходе от одного уравнения к другому может произойти потеря корней и как этого не допустить?
Теоремы равносильности уравнений.
«Спокойные теоремы» гарантируют равносильность преобразований без каких-либо дополнительных условий, их использование не причиняет решающему никаких неприятностей.
«Беспокойные теоремы» работают лишь при определенных условиях, а значит, могут доставить некоторые неприятности при решении уравнений.
|
|
«Спокойные теоремы»:
Теорема 1. Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.
Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному.
Теорема 3. Показательное уравнение аf(x) = аg(x), (где а > 0, a≠1) равносильно уравнению
f(x) = g(х).
Прежде чем формулировать теоремы 4—6, напомним еще об одном понятии, связанном с уравнениями.
Определение 3. Областью определения уравнения f(х) = g(х) или областью допустимых значений переменной (ОДЗ) называют множество тех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения f(х) и g(х).
«Беспокойные теоремы»:
Теорема 4. Если обе части уравнения f(x) = g(х) умножить на одно и то же выражение h(х), которое:
а) имеет смысл всюду в области определения (в области допустимых значений) уравнения
f(x) = g(х);
б) нигде в этой области не обращается в 0,
то получится уравнение f(x)h(x) = g(x)h(x), равносильное данному в его ОДЗ.
Следствием теоремы 4 является еще одно «спокойное» утверждение: если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
|
|
Теорема 5. Если обе части уравнения f(x) = g(х) неотрицательны в ОДЗ уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же четную степень n получится уравнение (f(x))n=(g(x))n равносильное данному в его ОДЗ.
Теорема 6. Пусть а > 0 и a ≠ 1, x — решение системы неравенств
Тогда логарифмическое уравнение loga f(x) = loga g(x) равносильно на множестве X
уравнению f(x) = g(х)
Краткая запись теорем 4 – 6.
4. f(x) = g(x) ⇔ h(x)f(x) = h(x)g(x), где h(x) ≠0 и h(x) имеет смысл в ОДЗ данного уравнения.
5. f(x) = g(x) ⇔ (f(x))n=(g(x))n , где f(x) ≥ 0, g(x) ≥ 0 и n=2k (чётное число).
6.loga f(x) = loga g(x) ⇔ f(x) = g(х), где f(х) > 0, g(х) > 0 и а > 0 и a≠1
4) Преобразование данного уравнения в уравнение – следствие. Проверка корней
Если в процессе решения уравнения применяем теоремы 4-6, не проверив выполнения ограничительных условий, то получим уравнение-следствие.
Например.
а) х – 1 = 3; х = 4
Умножим обе части на (х – 2):
(х – 2)(х – 1) = 3(х – 2); х = 4 и х = 2 – посторонний корень⇒ проверка!
б) ln(2x–4) =ln(3x–5)
Потенцируем 2х – 4 = 3х – 5; х = 1, но при этом значении уравнение не имеет смысла ⇒ искать ОДЗ или проверка.
Примеры
№1. Решить уравнение
|
|
Решение.
Первый этап — технический.
На этом этапе, как мы отмечали выше, осуществляют преобразования заданного уравнения по схеме (1) => (2) => (3) => (4) => ... и находят корни последнего (самого простого) уравнения указанной цепочки.
Последовательно получаем:
;
s w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">
100(2х+5)2 = 1296 – 216х + 9х2;
9х2 – 416х + 796 = 0;
х1 = 2, х2 =
Второй этап — анализ решения.
На этом этапе, анализируя проведенные преобразования, отвечают на вопрос, все ли они были равносильными.
Третий этап — проверка.
Подставим поочередно каждое из найденных значений переменной в исходное уравнение.
х₂ = - посторонний корень.
Ответ: х = 2 .
№2. Решить уравнение ln (х + 4) + ln (2х + 3) = ln (1 - 2х).
Решение.
Первый этап.
Воспользуемся правилом «сумма логарифмов равна логарифму произведения». Оно позволяет заменить выражение ln (х + 4) + ln (2х + 3) выражением ln (х + 4)(2х + 3).
Тогда заданное уравнение можно переписать в виде:
ln (х + 4)(2х + 3) = ln (1 - 2х).
Потенцируя, получаем:
(х + 4)(2х + 3) = (1 - 2х); 2х2 + 8х + Зх + 12 = 1 - 2х; 2х2 + 13х + 11 = 0; х ₁ = -1, х2 = -5,5.
Второй этап.
В процессе решения произошло расширение ОДЗ уравнения, значит, обязательна проверка.
Третий этап.
Поскольку, кроме расширения ОДЗ уравнения, никаких других неравносильных преобразований в процессе решения уравнения не было, проверку можно выполнить по ОДЗ исходного уравнения. Она задается системой неравенств
Значение х = -1 удовлетворяет этой системе неравенств, а значение х = -5,5 не удовлетворяет уже первому неравенству, это посторонний корень.
Ответ: -1.
5) О потере корней.
Укажем две причины потери корней при решении уравнений:
1. Деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение h(х) (кроме тех случаев, когда точно известно, что всюду в области определения уравнения выполняется условие h(х) ≠ 0);
2. Сужение ОДЗ в процессе решения уравнения.
С первой причиной бороться нетрудно: приучайте себя переходить от уравнения
f(х)h(х) = g{х)h{х) к уравнению h( x)( f( x) – g( x))=0 (а не к уравнению f(x)=g(x)). Может быть, даже есть смысл вообще запретить себе деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение, содержащее переменную.
Дата добавления: 2021-02-10; просмотров: 356; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!