Способы представления характеристики погрешности.
Государственное профессиональное
Образовательное учреждение
«Енакиевский металлургический техникум»
ПМ 01. МДК. 01.02 Методы осуществления стандартных и сертификационных испытаний, метрологических поверок средств измерений
Раздел 1. Метрология, стандартизация и сертификация
Тема 2 «Классификация и методы измерения. Погрешности»
Тема 2.7
Лекция 8
« Систематические и случайные погрешности. Вариация показаний»
План.
1. Систематические и случайные погрешности.
2. Вариация показаний.
3. Оценка систематической составляющей погрешности, среднего квадратичного отклонения случайной составляющей.
4. Интервал основной погрешности (доверительный интервал)
5. Контрольные вопросы.
6. Вопросы для самостоятельного изучения.
7. Литература. Информационные ресурсы.
Преподаватель ____________________ Г.В. Лунина
1. Систематическая составляющая погрешности остается постоянной или закономерно изменяется при повторных измерениях одного и того же параметра.
Случайная составляющая изменяется при повторных измерениях одного и того же параметра случайным образом.
Случайная и систематическая составляющая погрешности измерения проявляются одновременно, так что общая погрешность при их независимости 
или через среднее квадратичное отклонение (СКО) 
Значение случайной погрешности заранее неизвестно, оно возникает из-за множества неуточненных факторов.
|
|
|
Случайные погрешности нельзя исключить полностью, но их влияние может быть уменьшено путем обработки результатов измерений.
Существуют некоторые специальные приемы проведения измерений, которые позволяют исключить части систематических погрешностей:
1. Исключение самого источника погрешностей.
2. Замещение измеряемой величины равновеликой ей известной величиной так, чтобы при этом в состоянии и действии всех используемых средств измерений не происходило никаких изменений. Таким путем может быть исключена погрешность компаратора.
3. Компенсация погрешности по знаку путем проведения измерений в прямом и обратных направлениях одним и тем же прибором. Например, определяя значение измеряемой величины при подходе к определенной точке шкалы слева и справа от нее и вычисляя среднее значение.
4. Наблюдения через период изменения влияющей величины. Это позволяет исключить погрешности, изменяющиеся по периодическому закону.
5. Измерения одной величины несколькими независимыми методами с последующим вычислением среднего взвешенного значения измеряемой величины.
6. Измерения одной величины несколькими приборами с последующим вычислением среднего арифметического из показаний всех приборов.
|
|
|
Систематические погрешности устраняются путем введения поправок, которые находятся разными путями и представляют собой значения абсолютных погрешностей, которые вычитаются из результата измерений. Так, инструментальные составляющие систематической погрешности находят по результатам поверки средств измерений.
2. Вариация – это разность показаний, получаемая при одном и том же значении измеряемой величины при медленном непрерывном или шаговом подходе к метке шкалы одни раз – с меньшего, а другой раз с большего значения. Причины вариации могут быть различными:
1. Люфт в механическом передающем элементе.
2. Сухое трение в механизме.
3. Гистерезисные явления в ферромагнитных материалах.
4. Механический гистерезис (деформация).
5. Упругое последействие.
В высокочувствительных (особенно в электронных) измерительных приборах вариация приобретает иной смысл и может быть раскрыта как колебание его показаний около среднего значения (показание “дышит”)
Вариация (гистерезис) определяется как разность между показаниями СИ в данной точке диапазона измерения при возрастании и убывании измерений величины и неизменных внешних условиях:
|
|
|
где ХВ, ХУ - значения измерений эталонными СИ при возрастании и убывании величины Х.
Следует иметь в виду, что, хотя вариация показаний СИ вызывается случайными факторами, сама она – не случайная величина. Зависимость между выходным и входным сигналом СИ, полученную экспериментально, называют градуировочной характеристикой, которая может быть представлена аналитически, графически или в виде таблицы.
3. Градуировочная характеристика может изменяться под воздействием внешних и внутренних причин. Например, при быстром изменении тока подвижная часть СИ, вследствие инерции, не успевает “следить” за изменением тока. Градуировочная характеристика в этом случае должна выражаться дифференциальным уравнением.
Как мы уже знаем для уменьшения случайной погрешности есть два основных пути: повышать точность измерений или увеличивать числа измерений. Если считать, что на данном этапе все возможности технического совершенствования техники измерений использованы, то остается только второй путь. При этом уменьшать случайную составляющую целесообразно только до тех пор, пока общая погрешность измерений не будет полностью определяться систематической составляющей погрешности.
|
|
|
Необнаруженная систематическая составляющая погрешности опаснее случайной. Если случайная погрешность вызывает разброс результатов (вариацию), то систематическая их устойчиво искажает (смещает).
Если взять два ряда измерений одной и той же величины, то средние результаты этих рядов будут, как правило, различны. Это расхождение может быть определено случайной или систематической составляющей погрешности.
Средняя квадратическая погрешность отдельного измерения -обобщенная характеристика рассеивания (вследствие случайных причин) отдельных результатов измерений, входящих в серию из "n" равноточных измерений, вычисляемая по формуле:
При числе измерений n>30 между средней арифметической (r) и квадратической (S) погрешностями существуют соотношения:
S=l,25⋅r; r=0,80⋅S.
При нормальном законе распределения вероятность того, что погрешность отдельного измерения в серии не превзойдет вычисленную среднюю квадратическую погрешность, невелика: 0,68. Следовательно, в 32 случаях из 100 действительная погрешность может быть больше вычисленной.
Средняя квадратическая погрешность среднего арифметического - это характеристика случайной погрешности среднего арифметического значения результата измерений одной и той же величины в данном ряду измерений, вычисляемая по формуле:
Наиболее корректной и наглядной оценкой случайной погрешности измерений является оценка с помощью доверительных интервалов.
Доверительный интервал погрешности результата измерений – это интервал значений случайной погрешности, внутри которого с заданной вероятностью находится искомое (истинное) значение погрешности результата измерений. Доверительный интервал вычисляют для того, чтобы иметь большую уверенность в оценке погрешности результата измерений
Симметричный интервал в границами ± Δх(Р) называется доверительным интервалом случайной погрешности с доверительной вероятностью Р, если площадь кривой распределения между абсциссами –Δх и +Δх составляет Р-ю часть всей площади под кривой плотности распределения вероятностей. При нормировке всей площади на единицу Р представляет часть этой площади в долях единицы (или в процентах). Другими словами, в интервале от - D х(Р) до + D х(Р) с заданной вероятностью Р встречаются Р×100% всех возможных значений случайной погрешности.
Доверительный интервал для нормального распределения находится по формуле:
где коэффициент t зависит от доверительной вероятности Р.
Для нормального распределения существуют следующие соотношения между доверительными интервалами и доверительной вероятностью: 1s (Р=0,68), 2s (Р= 0,95), 3s (Р= 0,997), 4s (Р=0,999).
Доверительные вероятности для выражения результатов измерений и погрешностей в различных областях науки и техники принимаются равными. Так, в технических измерениях принята доверительная вероятность 0,95. Лишь для особо точных и ответственных измерений принимают более высокие доверительные вероятности. В метрологии используют, как правило, доверительные вероятности 0,97, в исключительных случаях 0,99. Необходимо отметить, что точность измерений должна соответствовать поставленной измерительной задаче. Излишняя точность ведет к неоправданному расходу средств. Недостаточная точность измерений может привести к принятию по его результатам ошибочных решений с самыми непредсказуемыми последствиями, вплоть до серьезных материальных потерь или катастроф.
При проведении многократных измерений величины х, подчиняющейся нормальному распределению, доверительный интервал может быть построен для любой доверительной вероятности по формуле:
где tq – коэффициент Стьюдента, зависящий от числа наблюдений n и выбранной доверительной вероятности Р. Он определяется с помощью таблицы q-процентных точек распределения Стьюдента, которая имеет два параметра: k = n – 1 и q = 1 – P; 
– оценка среднего квадратического отклонения среднего арифметического.
Доверительный интервал для погрешности D х(Р) позволяет построить доверительный интервал для истинного (действительного) значения измеряемой величины , оценкой которой является среднее арифметическое 
. Истинное значение измеряемой величины находится с доверительной вероятностью Р внутри интервала: 
. Доверительный интервал позволяет выяснить, насколько может измениться полученная в результате данной серии измерений оценка измеряемой величины при проведении повторной серии измерений в тех же условиях. Необходимо отметить, что доверительные интервалы строят для неслучайных величин, значения которых неизвестны. Такими являются истинное значение измеряемой величины и средние квадратические отклонения. В то же время оценки этих величин, получаемые в результате обработки данных наблюдений, являются случайными величинами.
Недостатком доверительных интервалов при оценке случайных погрешностей является то, что при произвольно выбираемых доверительных вероятностях нельзя суммировать несколько погрешностей, т.к. доверительный интервал суммы не равен сумме довери-тельных интервалов. Суммируются дисперсии независимых случайных величин: Då = åDi. То есть, для возможности суммирования составляющие случайной погрешности должны быть представлены своими СКО, а не предельными или доверительными погрешностями.
Пример 1.5. Проведено 10 измерений давления питательной воды парового котла и получено среднее арифметическое значение давления P =5,65 МПа, а также рассчитано значение S=±0,05 МПа. Доверительные границы погрешности для данного результата определяются по формуле:
При распределении Стьюдента для доверительной вероятности Р=0,95 и n=10 величина t будет равна t=2,26 (приложение 1).
Тогда Р=5,65±0,05⋅2,26=5,65±0,11 МПа.
Пример 1.6. При градуировке хромель-копелевой термопары, рабочие концы которой были помещены в термостат с температурой 100°С, а свободные концы располагались в холодильнике с температурой 0°С, было произведено 12 измерений термо-ЭДС (мкВ): 6885; 6882; 6879,6883; 6877; 6878; 6878; 6881; 6882; 6875; 6877; 6883. Определить доверительные границы истинного значения термо-ЭДС термопары для принятой вероятности 0,95.
Решение. Определим: среднеарифметическое значение 
=6880 мкВ; случайные отклонения результатов измерений 
; квадраты этих отклонений 
и расчетные данные сведем в таблицу 1.
Средняя квадратическая погрешность единичного измерения определяется по формуле:
Таблица 1
| i | Термо-ЭДС ( | Случайные отклонения и их квадраты | i | Термо-ЭДС ( | Случайные отклонения и их квадраты | ||
|
|
|
|
| ||||
| 1 | 6885 | +5 | 25 | 7 | 6878 | -2 | 4 |
| 2 | 6882 | +2 | 4 | 8 | 6881 | +1 | 1 |
| 3 | 6879 | -1 | 1 | 9 | 6882 | +2 | 4 |
| 4 | 6883 | +3 | 9 | 10 | 6875 | -5 | 25 |
| 5 | 6877 | -3 | 9 | 11 | 6877 | -3 | 9 |
| 6 | 6878 | -2 | 4 | 12 | 6883 | +3 | 9 |
) мкВСредняя квадратическая погрешность результата среднего арифметического определяется по формуле
Истинное значение термо-ЭДС "х" хромель-копелевой термопары можно приближенно положить равным среднему арифметическому значению x , т.е. х≈ . Для оценки достоверности этого равенства с доверительной вероятностью Р=0,95 (по заданию) найдем доверительные границы, соответствующие этой вероятности. По таблице А1 приложения А для Р=0,95 и к=n–1=11 (число степеней свободы), находим коэффициент t распределения Стьюдента: t=2,18.
Погрешность ε среднего арифметического значения результата измерения при малом числе наблюдений (измерений), т.е. при n<20 и заданной доверительной вероятности Р=0,95 определяется по формуле
.
Таким образом, в соответствии с принятом условием, т.е. с вероятностью 0,95, можно утверждать, что истинное значение термо-ЭДС заключено между доверительными границами:
–ε=6880–1,57=6878,43 мкВ
+ε=6880+1,57=6881,57 мкВ
х≈ =6880±1,57 мкВ
Способы представления характеристики погрешности.
1. С указанием абсолютной погрешности:
А = (Аизм±ΔА),ед-цы изм, с заданной вероятностью, при заданных условиях.
Например: U = (30,0±0,5),В с р=99,7% при н.у.
Наиболее достоверное значение измеренного напряжения 30,0 В, при нормальных условиях, с вероятностью 99,7% абсолютная погрешность не превысит ±0,5В.
2. С указанием относительной погрешности:
А - Анзм, ед-цы изм ±σА%, с заданной вероятностью, при заданных условиях.
Например:
U = 30,0 В ± 0,3%с р=99,7% при н.у.
3. С указанием доверительного интервала:
А = (Amin ± Аmах) ед-цы изм, с заданной вероятностью, при заданных условиях.
А = Аизм,ед-цы изм, -AC, +Ah, с заданной вероятностью, при заданных условиях.
4. Количественная характеристика погрешности должна содержать не более 2 значащих цифр.
5. Количество знаков после запятой у основного значения и характеристики погрешности должно быть одинаковым.
Например:
F = (10,000 ± 0,057) кГц с р=80% при н.у
Контрольные вопросы:
1. Каким образом можно исключить некоторые систематические погрешности?
2. Что может быть причинами вариации показаний?
3. Как вычислить среднюю квадратическую погрешность отдельного измерения?
Вопросы для самостоятельного изучения
1. С помощью секундомера проведено n = 5измерений 10 колебаний маятника. В результате получены экспериментальные данные: 15,3 с; 15,7 с; 15,4 с; 15,5 с; 15,4 с. Определить среднее арифметическое, среднее квадратическое отклонение результата наблюдений, рассчитать доверительный интервал случайной погрешности.
2. Какими свойствами обладают случайные погрешности?
Литература:
1. Сергеев А. Г., Метрология. – Москва, Логос, 2005 г., 275 с.
2. Мокров Ю.В. Метрология, стандартизация и сертификация, Дубна, 2007, 131 с.
3. Марусина М.Я., Ткалич В.Л., Воронцов Е.А., Скалецкая Н.Д., Основы метрологии, стандартизации и сертификации. Санкт-Петербург 2009
4. Клевлеев В.М., Кузнецова И.А., Попов Ю.П. Метрология, стандартизация и сертификация: Учебник. – М.: ФОРУМ ИНФРА-М, 2004. – 256 с.
Дата добавления: 2021-02-10; просмотров: 86; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!