Механический смысл векторного произведения.
Лекция 3.
1. Приложение скалярного произведения.
2. Векторное произведение векторов.
3. Механический смысл векторного произведения.
4. Векторное произведение в ортонормированном базисе.
Приложение скалярного произведения.
Напомним, что скалярное произведение векторов – это число вида
.
Скалярное произведение векторов, заданных в ортонормированном базисе, вычисляется по формуле
.
Рассмотрим следующие приложения скалярного произведения.
1). Вычисление работы.
Пусть вдоль пути приложена сила . Тогда работа этой силы равна скалярному произведению вектора силы на вектор пути .
(1)
2). Нахождение длины вектора.
Модуль вектора найдём из скалярного произведения вектора самого на себя.
или
Для ортонормированного базиса: если дан вектор в ортонормированном базисе, то модуль вектора
3). Нахождение угла между векторами.
Из скалярного произведения векторов , следует, что угол между векторами вычисляется по формуле
(4)
если вектора перпендикулярны , то скалярное произведение равно нулю - условие перпендикулярности.
Для ортонормированного базиса условие перпендикулярности.
|
|
4).Нахождение проекции одного вектора на направление другого.
Из свойства 2. следует: так как , то и получаем формулу для нахождения проекции вектора на вектор
(6)
Для ортонормированного базиса
(7)
Нахождение направляющих косинусов.
Определение: - называются направляющими косинусами вектора в заданной системе координат.
аналогично получим выражения для других углов.
Формулы для нахождения направляющих косинусов:
(8)
Тогда имеет место формула:
(9)
Доказать самостоятельно формулу (9).
Орт-вектор имеет координатами направляющие косинусы
(10)
Пример 1:Найти , если .
Решение: Вектор задан в ортонормированном базисе. Найдем . Для этого воспользуемся формулой . Получим:
.
Пример 2: Вычислить если , , , , угол между векторами и – .
Решение: Векторы и заданы в базисе векторов и . Базис и – не ортонормированный. Для решения воспользуемся определением скалярного произведения векторов и его свойствами.
Векторное произведение векторов.
|
|
Определение: Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется парвоориентированной (правой) если кратчайший поворот 1-го вектора ко 2-му из конца 3-го виден происходящим против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов называется левой.
Определение: Векторным произведением векторов называется вектор удовлетворяющей трём условиям:
1.
2.
3. - образуют правую тройку.
Модуль вектора - численно равен площади параллелограмма построенного на векторах .
Свойства векторного произведения.
или - коллинеарность
- антикоммутативность
Механический смысл векторного произведения.
Пусть дано некоторое твёрдое тело, с неподвижной точкой О. В некоторой точке А этого тела приложена сила . Найти момент силы относительно точки О.
, где – плечо силы. Тогда из курса физики следовательно .
Дата добавления: 2020-12-12; просмотров: 291; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!