Скалярное произведение векторов
ПРАКТИЧЕСКИЕ
ЗАНЯТИЯ
«ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА »
Занятие 1
Линейные операции над векторами. Линейная зависимость векторов
Определение 1. Геометрическим вектором, или просто вектором, называется направленный отрезок.
Будем обозначать вектор либо как направленный отрезок символом , где точки А и В - начало и конец данного вектора, либо . Начало вектора называют точкой его приложения.
Определение 2. Вектор называется нулевым, если начало и конец егосовпадают.
Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю. Это позволяет при записи отождествлять нулевой вектор с вещественным числом нуль.
Определение 3. Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.
Определение 4. Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости.
Определение 5. Два вектора называются равными, если они коллиннеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление.
Все нулевые векторы считаются равными.
Определение 6. Суммой двух векторов и называется вектор, идущий из начала вектора в конец вектора при условии, что вектор приложен к концу вектора .
Определение 7. Разностью вектора и вектора называется такой вектор , который в сумме с вектором дает вектор .
Определение 8. Произведением вектора на действительное число называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину, равную , и имеющий направление, совпадающее с направлением вектора при и противоположное направлению вектора при .
|
|
Обозначим буквами основания перпендикуляров, опущенных на ось из точек А и В соответственно.
В
А
Определение 9. Проекцией вектора на ось называется величина
направленного отрезка оси и обозначается . , где - угол между вектором и осью .
Любой вектор может быть разложен по декартову прямоугольному базису : .
Числа - называется декартовыми прямоугольными координатами вектора . Обозначим буквами углы наклона вектора к осям координат; называются направляющими косинусами вектора .
Длина вектора через его координаты имеет вид .
Направляющие косинусы вектора вычисляются по формулам:
; ; ,
откуда следует .
Определение 10. Ортом вектора называется вектор , удовлетворяющий условиям:
1) коллинеарен вектору ,
2) .
Координатами орта вектора являются направляющие косинуса.
Если два вектора заданы в декартовых прямоугольных координат , ,то
.
Условие коллинеарности векторов имеет вид .
|
|
Примеры решения задач
Задача 1. В равнобедренной трапеции ОАСВ угол , ,
- середина сторон ВС и АС. Выразить векторы через - единичные векторы направлений .
В М С
N
O A
Решение. . Так как . Найдем
вектор . Из треугольника ОСА , а так как , а
, вектор . Найдем из треуголь-
ника ONC , а так как , , .
Из треугольника OMN .
Задача 2. Даны векторы и , приложены к общей точке. Найти орт биссектрисы угла между .
Решение. Диагональ четырехугольника совпадает с биссектрисой, если этот четырехугольник – ромб (квадрат). Найдя , получим угол с одинаковыми по длине сторонами, равными единице. Таким образом, вектор направлен по биссектрисе угла между .
, ,
.
Найдем длину вектора , тогда орт биссектрисы равен .
Задача 3. Разложить вектор по трем некомпланарным векторам: .
|
|
Решение. . .
Приравняем коэффициенты справа и слева:
тогда и .
Задачи
1. Построить вектор по данным векторам .
2. В треугольнике ОАВ даны векторы . Найти векторы , где М – середина стороны АВ.
3. Пользуясь параллелограммом, построенным на векторах , проверить на чертеже справедливость тождества .
4. В равнобочной трапеции АВСD известно нижнее основание , боковая
сторона и угол между ними . Разложить по все векторы,
составляющие остальные стороны и диагонали трапеции.
5. Даны модуль вектора и углы . Вычислить проекции вектора на координатные оси.
6. Вычислить направляющие косинусы вектора .
7. Вектор составляет с осями ОХ и OZ углы и . Какой угол он
составляет с осью OY?
8. Даны . Найти .
9. Даны . Вычислить .
10. Векторы образуют угол , причем . Определить .
11. Даны четыре вектора: . Определить разложение каждого из этих четырех векторов, принимая в качестве базиса три остальных.
12. Даны точки . Проверить, что векторы коллинеарны; установить, какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены – в одну сторону или в противоположные.
13. Найти орт вектора .
14. Два вектора приложены к одной точке. Определить координаты вектора , направленного по биссектрисе угла между векторами и , при условии, что .
|
|
15. Исследовать на линейную зависимость систему векторов
.
16. Доказать, что векторы линейно независимы и разложить по ним вектор .
Домашнее задание
1. Определить точку N, с которой совпадает конец вектора если его
начало совпадает с точкой М (1, 2,- 3).
2. Вектор составляет с осями координат острые углы при и . Найти его координаты, если .
3. Векторы образуют угол , причем . Определить .
4. Точка О является центром масс треугольника АВС. Доказать, что .
5. Три силы , приложенные к одной точке, имеют взаимно перпендикулярные направления. Определить величину их равнодействующей , если известно, что .
6. Найти орт вектора .
7. Векторы совпадают со сторонами треугольника АВС. Определить координаты векторов, приложенных к вершинам треугольника и совпадающих с его медианами АМ, BN, CP.
8. Даны вершины треугольника: . Вычислить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине А.
9. Зная векторы, служащие сторонами треугольника , найти векторы, соответственно коллинеарные биссектрисам углов этого треугольника.
10. На плоскости даны четыре точки: . Определить разложение векторов , принимая в качестве базиса векторы .
11. Даны три вектора: . Найти разложение вектора по базису .
Ответы к задачам
4. .
5. . 6. .
7. . 8. .
9. 22. 10. .
11. .
13. . 14. . 16. .
Ответы к домашнему заданию
1. . 2. . 3. .
5. . 6. . 7. .
8. .
9. ,
где имеют направление внутренних углов А, В и С имеют направления биссектрис одноименных внешних углов треугольника.
10. . 11. .
Занятие 2
Скалярное произведение векторов
Определение. Скалярным произведением ненулевых векторов называется число ; .
Дата добавления: 2020-12-12; просмотров: 95; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!