Перевод чисел из одной системы счисления в другую.
КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО РЫБОЛОВСТВУ
Астраханский государственный технический университет
Институт информационных технологий и коммуникаций
Кафедра «Вычислительная
техника и электроника»
Методические указания по выполнению лабораторных работ по дисциплине «Вычислительная техника и информационные технологии». «Логико-арифметические основы построения ЭВМ».
Астрахань - 2006 г.
Авторы: зав. каф. ВТиЭ, доц., к.т.н. Антонов О.В.,
асс. кафедры ВТиЭ Щербатов И.А.
Рецензент: зав. каф. АСОИУ, доц., к.т.н. Лаптев В.В.
Методические указания и сборник заданий предназначен для студентов специальностей 200900 «Сети связи и системы коммутации» и 201200 «Средства связи с подвижными объектами», выполняющих практические и лабораторные работы по дисциплине «Вычислительная техника и информационные технологии».
Методические указания содержат задания для выполнения практических и лабораторных работ по информационно-логическим основам построения ЭВМ.
Методическое пособие утверждено на заседании кафедры ВТиЭ института ИТиК от «16» декабря 2006г., протокол № 5.
СОДЕРЖАНИЕ
Практическая работа №1. «Математические основы работы ЭВМ. Системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую». 4
Практическая работа №2. «Математические основы работы ЭВМ. Алгебраическое представление двоичных чисел. Правила недесятичной арифметики». 15
|
|
|
Практическая работа №3. «Логические основы работы ЭВМ. Элементарные логические функции. Логический синтез вычислительных схем». 21
Приложение №1. Требования к оформлению отчета по практическим работам. 28
Приложение №2. Обозначения основных элементов логических схем. 30
Список литературы. 30
Практическая работа №1. «Математические основы работы ЭВМ. Системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую».
1. Цель работы:
1.1. Изучить используемые в ЭВМ системы счисления.
1.2. Изучить способы представления цифр в различных системах счисления.
1.3. Научиться переводить числа из одной системы счисления в другую.
2. Общие сведения.
Современное написание цифр привычной для нас десятичной системы счисления пришло к нам из Индии через арабские страны. Само слово «цифра» происходит от арабского «сифр». Поэтому мы и называем используемые нами цифры «арабскими». В XIII в. этими цифрами стали пользоваться жители средневековой Италии, которые позаимствовали их у флорентийских купцов, торговавших с арабами. А уже к XV в. использование так называемых арабских цифр стало повсеместным.
|
|
|
Счислением называется совокупность приемов наименования и обозначения чисел.
Сегодня человек использует различные системы счисления. Как правило, эти системы различаются между собой количеством используемых для обозначения различных чисел цифр. В зависимости от способа изображения чисел, системы счисления делятся на:
- позиционные;
- непозиционные.
В позиционной системе счисления цифры изменяют своё количественное значение в зависимости от их расположения в числе. Например, в числе 1841,21 имеются три цифры «1». Все они имеют разные значения. Первая обозначает тысячи, вторая единицы, а третья сотые доли соответственно. Указанное число является сокращенной записью следующей суммы:
1841,2110 = 1۰103 + 8۰102 + 4۰10 + 1 + 2۰10-1 + 1۰10-2
Количество (Р) различных цифр, используемых для изображения числа в позиционной системе счисления, называется основанием системы счисления. Значения цифр лежат в диапазоне от 0 до Р-1. Для предотвращения разночтений основание системы счисления будем записывать в виде нижнего индекса справа от числа.
В общем случае запись любого смешанного числа в системе счисления с основание Р будет представлять собой сумму вида:
|
|
|
(1)
Нижние индексы определяют местоположение цифры в числе (разряд):
- положительные значения индексов – для целой части числа (m разрядов);
- отрицательные значения индексов – для дробной части числа (s разрядов).
Максимальное целое число, которое может быть представлено в m разрядах:
(2)
Минимальное значащее, не равное 0 число, которое можно записать в s разрядах дробной части:
(3)
Имея в целой части числа m, а в дробной – s разрядов, можно записать всего 
разных чисел.
В двоичной системе счисления, основание которой Р=2 используется только две цифры 0 и 1. При этом единица каждого разряда равна двум единицам предыдущего разряда. Слева от разряда единиц расположены разряды двоек, затем четверок, восьмерок и. т. д. Чтобы записать число в двоичной системе счисления, нужно представить его в виде суммы последовательных степеней числа 2, умноженных на 0 или 1:
1841,25 = 1۰210 + 1۰29 + 1۰28 + 0۰27 + 0۰26 + 1۰25 +
+1۰24 + 0۰23 + 0۰22 + 0۰21 + 1۰20 + 0۰2-1 +1۰2-2
Таким образом (1841,25)10 = (11100110001,01)2.
При представлении чисел в двоичной системе счисления приходится оперировать огромным количеством нулей и единиц, что не всегда удобно при ручном счете или при вводе в ЭВМ, поэтому в вычислительной технике довольно широко применяются также и другие системы счисления, прежде всего восьмеричная и шестнадцатеричная.
|
|
|
В восьмеричной системе счисления, основание которой Р=8 используется восемь цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. При этом единица каждого разряда равна восьми единицам предыдущего разряда. Чтобы записать число в восьмеричной системе счисления, нужно представить его в виде суммы последовательных степеней числа 8, умноженных на цифры от 0 до 7:
1841 = 3۰83 + 4۰82 + 6۰81 + 1۰80
Таким образом (1841)10 = (3468)8.
В шестнадцатеричной системе счисления, основание которой Р=16 используется шестнадцать знаков – цифры от 0до 9, а также буквы A, B, C, D, E, F. При этом единица каждого разряда равна шестнадцати единицам предыдущего разряда. Чтобы записать число в шестнадцатеричной системе счисления, нужно представить его в виде суммы последовательных степеней числа 16, умноженных на цифры от 0 до 9 и буквы от A до F:
9775 = 2۰163 + 6۰162 + 2۰161 + F۰160
Таким образом (9775)10 = (262F)16.
Представление чисел в шестнадцатеричной системе счисления оказывается гораздо компактнее, поскольку каждая группа из четырех двоичных цифр заменяется одним символом.
Перевод чисел из одной системы счисления в другую.
Перевод целых чисел из десятичной системы в двоичную можно осуществить при помощи многократного деления на 2.
Рассмотрим следующий пример. Для записи числа (95)10 в двоичной системе необходимо найти такие цифры 
(см. выражение (1)), равные 0 или 1, чтобы
(4)
Разделим правую и левую части равенства на 2. При этом в частном от деления левой части на 2 получим 
а в остатке число 
. Получившееся частное и остаток равняются частному и остатку от деления правой части равенства (4) на 2, поэтому
=1
Разделим теперь опять обе части на 2, в результате будем иметь:
=1
Аналогичным образом найдем значения остальных цифр 
.
Таким образом, в результате получим: 
.
Следовательно:
т.е. (95)10 = (1011111)2.
Таким образом, нахождение двоичных цифр числа сводится к последовательному делению соответствующих частных на 2 и нахождению остатков от деления. Чтобы не выписывать каждый раз новы равенства, удобно пользоваться такой записью:
95 2
94 47 2
1 46 23 2
1 22 11 2
1 10 5 2
1 4 2 2
1 2 1 2
0
Выделенные полужирным шрифтом цифры есть остатки, которые и являются цифрами при записи числа 95 в двоичной системе счисления. Сначала получается цифра разряда единиц, потом цифра разряда двоек и так далее, т.е. цифры остатков выписываются в обратном порядке.
Можно пользоваться более простой формой записи:
Над чертой записывают заданное число и получающиеся частные, под чертой – остатки от деления соответствующих частных на 2.
В двоичной системе счисления могут быть представлены не только целые, но и дробные числа. Для перевода дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную нужно отдельно перевести целую (как показано выше) и дробную части числа. Дробная часть десятичного числа в двоичной системе представляется как сумма отрицательных степеней числа 2, умноженных на 1 или 0.
Рассмотрим, как осуществляется перевод дробной части в двоичную систему счисления. Пусть, например, в двоичной системе счисления требуется записать число (0,6875)10. Для этого нужно найти такие цифры 
равные 0 или 1, чтобы
Умножим обе части этого выражения на 2:
В левой части этого равенства цифра 
есть целая часть числа в правой части (т.е. 1), а сумма остальных слагаемых составляют дробную часть, поэтому 
, тогда
Опять умножим обе части на 2:
Отсюда 
, а остальные слагаемые равны 0,75.
Снова повторим операцию умножения:
Следовательно 
,а сумма остальных слагаемых 0,5.
Т.е. 
, после умножения этого равенства на 2 получим 
. Поскольку дробная часть равна 0 (результат умножения 0,5 на 2 можно записать как 1,000…000), то и все остальные цифры 
равны 0.
Таким образом, (0,6875)10 = (0,1011)2. Приведенные вычисления удобнее записать в следующем виде:
0,6875
х 2
1,375
0,375
х 2
0,750
х 2
1,50
0,50
х 2
1,0
Цифры, выделены полужирным шрифтом, и являются искомыми двоичными цифрами, при этом в отличие от записи целой части, первой получается цифра, стоящая сразу после запятой.
Следует заметить, что не всегда дробное число, представленное конечным числом разрядов дробной части в одной системе счисления, можно записать конечным числом разрядов дробной части в другой системе счисления. Этим объясняется наличие погрешности при обработке информации с помощью вычислительных устройств, основанных на двоичной системе счисления.
Рассмотренные выше способы перевода из десятичной системы счисления в двоичную применимы, в общем случае, для перевода чисел из десятичной системы счисления в систему счисления с произвольным основанием P. Для этого деление и умножение целой и дробной частей исходного числа производят на основание P. Остатки от деления и последнее частное, которые при этом получаются, и являются искомыми цифрами числа в системе счисления с основанием P.
Очень простые правила действуют для перевода чисел из системы счисления P1 в систему счисления P2, где P1 и P2 являются степенями числа 2.
Рассмотрим для примера перевод числа из восьмеричной системы счисления в двоичную и наоборот. Для этого следует каждую восьмеричную цифру заменить тройкой двоичных цифр, в соответствие с таблицей 1.1
При переводе из двоичной системы счисления в восьмеричную разбивают двоичное число справа налево на группы из трех двоичных цифр, называемые триадами. Сначала выделяют крайнюю правую триаду (последние три цифры двоичной записи перед запятой), затем следующую (три цифры слева от крайней триады) и т.д. Если в последней триаде остается менее трех цифр, то вместо недостающих цифр слева записываются нули. Заменив каждую триаду соответствующей восьмеричной цифрой, получают число, записанное в восьмеричной системе счисления.
Таблица 1.1. Перевод чисел 8-2.
| № п/п | Число в восьмеричной системе | Число в двоичной системе (триада) |
| 1 | 0 | 000 |
| 2 | 1 | 001 |
| 3 | 2 | 010 |
| 4 | 3 | 011 |
| 5 | 4 | 100 |
| 6 | 5 | 101 |
| 7 | 6 | 110 |
| 8 | 7 | 111 |
Например, двоичное число 11 001 101 разбивается на следующие триады: 011; 001; 101. Поскольку (011)2 = (3)8, (001)2 = (1)8, (101)2 = (5)8, то в восьмеричной системе счисления это будет число 315.
Таким образом (11001101)2 = (315)8.
При переводе дробной части числа разбиение на триады ведется слева направо, начиная с первого разряда после запятой. Если в последней справа триаде остаётся менее трёх цифр, то вместо недостающих цифр справа записываются нули.
Например: 0,101 001 100 = (0,514)8
Аналогичные правила действуют и при переводе из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную. При этом двоичное число разбивают на тетрады из четырех цифр каждая. Разбиение ведётся справа налево от запятой для целой части числа и слева направо от запятой для дробной части числа. Заменив каждую тетраду соответствующей шестнадцатиричной цифрой, получают число, записанное в шестнадцатиричной системе счисления. Соответствие двоичных тетрад и шестнадцатеричных цифр приведены в таблице 1.2.
Например, двоичное число 1011001101 разбивается на следующие тетрадыы: 0010; 1100; 1101. Поскольку (0010)2 = (2)16, (1100)2 = (C)16, (1101)2 = (D)16, то в шестнадцатеричной системе счисления это будет число 2СD, т.е. (1011001101)2 = (2CD)16.
Таблица 1.2. Перевод чисел.
| № п/п | Число в шестнадцатиричной системе | Число в двоичной системе (тетрада) |
| 1 | 0 | 0000 |
| 2 | 1 | 0001 |
| 3 | 2 | 0010 |
| 4 | 3 | 0011 |
| 5 | 4 | 0100 |
| 6 | 5 | 0101 |
| 7 | 6 | 0110 |
| 8 | 7 | 0111 |
| 9 | 8 | 1000 |
| 10 | 9 | 1001 |
| 11 | A | 1010 |
| 12 | B | 1011 |
| 13 | C | 1100 |
| 14 | D | 1101 |
| 15 | E | 1110 |
| 16 | F | 1111 |
3. Задания для выполнения практической работы.
3.1. Произвести последовательный перевод целого числа из десятичной системы счисления в системы счисления с основаниями, заданными степенями числа 2. Системы счисления определяются вариантом задания. Произвести обратный перевод в десятичную систему счисления.
3.2. Произвести перевод дробного числа из десятичной системы счисления в системы счисления с основанием, заданными степенями числа 2. При иррациональном представлении числа использовать первые десять разрядов. Системы счисления определяются вариантом задания. Произвести обратный перевод в десятичную систему счисления. Оценить относительную точность перевода.
3.3. Произвести перевод целого числа из десятичной системы счисления в систему счисления, определенную вариантом задания. Произвести обратный перевод в десятичную систему счисления.
3.4. Произвести перевод дробного числа из десятичной системы счисления в систему счисления, определенную вариантом задания. При иррациональном представлении числа использовать первые десять разрядов. Система счисления определяется вариантом задания. Произвести обратный перевод в десятичную систему счисления. Оценить относительную точность перевода.
4. Варианты заданий для практической работы (табл. 1.3).
Таблица 1.3. Варианты заданий.
| № | Целое число | Дробное число | Основания систем (для задания 1) | Основания систем (для задания 2) | Основание системы (для задания 3) | Основание системы (для задания 4) |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 1 | 6783361 | 0,34341 | 10-2-16-10 | 10-2-16-10 | 3 | 5 |
| 2 | 2677643 | 0,66611 | 10-8-2-10 | 10-8-2-10 | 4 | 6 |
| 3 | 7627550 | 0,98834 | 10-16-8-10 | 10-16-8-10 | 5 | 3 |
| 4 | 2335193 | 0,68510 | 10-16-2-10 | 10-16-2-10 | 6 | 4 |
| 5 | 2887819 | 0,22287 | 10-2-8-10 | 10-2-8-10 | 3 | 5 |
| 6 | 5325660 | 0,80740 | 10-8-16-10 | 10-8-16-10 | 4 | 6 |
| 7 | 7698238 | 0,87979 | 10-2-16-10 | 10-2-16-10 | 5 | 3 |
| 8 | 7976168 | 0,78824 | 10-8-2-10 | 10-8-2-10 | 6 | 4 |
| 9 | 1552386 | 0,49300 | 10-16-8-10 | 10-16-8-10 | 3 | 5 |
| 10 | 5199331 | 0,43331 | 10-16-2-10 | 10-16-2-10 | 4 | 6 |
| 11 | 5984792 | 0,90212 | 10-2-8-10 | 10-2-8-10 | 5 | 3 |
| 12 | 4792338 | 0,87985 | 10-8-16-10 | 10-8-16-10 | 6 | 4 |
| 13 | 9513813 | 0,34430 | 10-2-16-10 | 10-2-16-10 | 3 | 5 |
| 14 | 1344239 | 0,65620 | 10-8-2-10 | 10-8-2-10 | 4 | 6 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 15 | 9226221 | 0,35305 | 10-16-8-10 | 10-16-8-10 | 5 | 3 |
| 16 | 1804508 | 0,51145 | 10-16-2-10 | 10-16-2-10 | 6 | 4 |
| 17 | 9745409 | 0,58419 | 10-2-8-10 | 10-2-8-10 | 3 | 5 |
| 18 | 9509496 | 0,38867 | 10-8-16-10 | 10-8-16-10 | 4 | 6 |
| 19 | 1760966 | 0,22670 | 10-2-16-10 | 10-2-16-10 | 5 | 3 |
| 20 | 2146855 | 0,76804 | 10-8-2-10 | 10-8-2-10 | 6 | 4 |
Оформление работы должно отражать и иллюстрировать принципы перевода чисел из одной системы счисления в другую.
Например: 100010 / 2 = 500 (0) / 2 = 250 (0) / 2 = 125 (0) / 2 = 62 (1) / 2 = 31 (0) / 2 = 15 (1) / 2 = 7 (1) / 2 = 3 (1) / 2 = 1 (1) / 2 = 0 (1).
Таким образом: 100010 = 11111010002
11111010002 → 11 1110 10002 → 0011 1110 10002 → 3Е816
11111010002 Х = 1 * 29 + 1 * 28 + 1 * 27 + 1 * 26 + 1 * 25 + 0 * 24 + 1 * 23 + 0 * 22 + 0 * 21 + 0 * 20 = 100010
5. Контрольные вопросы.
1. Что такое система счисления?
2. Что называется основанием системы счисления?
3. Приведите правила перевода чисел из десятичной системы счисления в двоичную.
4. Приведите правила перевода чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную.
5. Приведите правила перевода чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную.
Дата добавления: 2021-01-21; просмотров: 82; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!