Основы теории статистического контроля

Принятие решений на основе моделей обеспечения качества

Одна из наиболее важных прикладных областей принятия решений, приносящих наибольший доход в денежном выражении - это методы обеспечения качества, основанные на применении вероятностно-статистического моделирования. Японцы считают: "Все, начиная от председателя Совета Директоров и до рядового рабочего в цехе, обязаны знать хотя бы основы статистических методов [1, с.15]". Основам принятия решений в области управления качеством и сертификации продукции посвящена настоящая глава.

Проблемы контроля и обеспечения качества

Сначала дадим общие сведения о месте статистических методов в принятии решений при управлении качеством и сертификации продукции. Затем рассмотрим центральную тему главы - статистический контроль качества продукции. Продемонстрируем его высокую экономическую эффективность.

Качество продукции и современная экономика. Руководители и специалисты промышленных предприятий хотят не только выжить, но и выиграть в борьбе с конкурентами. Более частными задачами, которые они хотят решить, обычно являются:

- выйти на международный рынок;

- поднять качество продукции до японского уровня;

- полностью ликвидировать рекламации, и т.д.

Для решения этих задач им надо повышать качество продукции. Все руководители и специалисты промышленных предприятий это хорошо знают. Слова "сертификация", "международные стандарты ИСО (т.е. разработанные International Standardization Organization - Международной организацией по стандартизации, сокращенно ISO, по-русски - ИСО) серии 9000 по системам качества" уже навязли в зубах. Менее осознано, что управление качеством - прежде всего применение современных методов принятия решений на основе вероятностно-статистического моделирования. На Западе (США) и на Востоке (Япония) это - аксиома. Вот типичное высказывание японского менеджера и инженера: "Методы статистики - именно то средство, которое необходимо изучить, чтобы внедрить управление качеством. Они - наиболее важная составная часть комплексной системы всеобщего управления качеством на фирме. В японских корпорациях все, начиная от председателя Совета Директоров и до рядового рабочего в цехе, обязаны знать хотя бы основы статистических методов". Так считает Каору Исикава, президент промышленного института Мусаси, заслуженный профессор Токийского университета [1, с.15].

Раз все японские работники знают про статистические методы - значит, их научили в школе. Во всем мире - в США, Японии и Ботсване - школьники учат статистические методы как один из обязательных школьных предметов, вместе с физикой, химией, математикой и историей. ЮНЕСКО регулярно проводит конференции по преподаванию статистики в средней школе. И вот всем виден результат - качество компьютеров IBM и японских телевизоров.

В нашей стране в 1970-е и 1980-е годы активно разрабатывались и внедрялись комплексные системы управления качеством продукции (КС УКП). Имелись областные варианты - горьковская, львовская, днепропетровская и т.д. Популярные ныне международные стандарты ИСО серии 9000 ничем принципиально не отличаются от давних документов КС УКП, а в некоторых отношениях КС УКП были более прогрессивными, чем нынешние стандарты ИСО 9000. В очередной раз придуманное в нашей стране попало на Запад, было там оформлено по-другому, а потом стало внедряться у нас как последнее достижение западной цивилизации…

ИТОГ НА СЕГОДНЯ: весь мир знает статистические методы и повсеместно применяет их для повышения качества. Мы вынуждены догонять. Очевидно, овладение основами статистического контроля качества продукции - неотъемлемая часть образования менеджера, инженера и экономиста.

О сертификации. В России введена система сертификации продукции, т.е. к официальной гарантии поставки производителем продукции, удовлетворяющей установленным требованиям. В условиях современной экономики поставщики и продавцы должны иметь сертификаты качества на предлагаемые ими товары и услуги. Маркетинг, т.е. "производственная и коммерческая политика, нацеленная на получение максимальной прибыли на основе изучения рынка, создания конкурентоспособной продукции и её полной реализации" [2, с.64-65], включает в себя работы по сертификации. За новыми терминами зачастую скрываются хорошо известные понятия, несколько модернизированные в соответствии с современной обстановкой. Так, целесообразно связать комплексную систему управления качеством продукции с маркетингом: "маркетинг в широком смысле - это усовершенствованная, ориентированная на рыночную экономику КС УКП" [2, с.61].

Сертификация продукции - это современная форма управления качеством продукции. В мировой практике общепринято, что основная составляющая в управлении качеством продукции - это статистические методы (см., например, отчет Комитета ИСО по изучению принципов стандартизации [3]). В нашей стране внедрение комплексных систем управления качеством (КС УКП) сводилось во многом к подготовке документации организационного характера. Статистические методы использовались в промышленности недостаточно, а государственные стандарты по этой тематике зачастую содержали грубейшие ошибки (см. ниже).

Подготовка предприятий к сертификации продукции, технологических процессов и производств, систем качества требует приложения труда квалифицированных специалистов, причем в достаточно большом объеме. Подобную работу обычно проводят специализированные организации.

О развитии статистических методов сертификации в России. Более 150 лет статистические методы применяются в России для проверки соответствия продукции установленным требованиям, т.е. для сертификации. Так, еще в 1846 г. действительный член Петербургской академии наук М.В. Остроградский рассматривал задачу статистического контроля партий мешков муки или штук сукна армейскими поставщиками. С тех пор в России в статистическом контроле качества было сделано многое, особенно в области теории.. Так, монографии проф. Ю.К. Беляева и проф. Я.П. Лумельского можно смело назвать классическими. Был выпущен и длинный ряд практических руководств, в основном переводных.

С начала 1970-х годов в СССР стали разрабатываться государственные стандарты по статистическим методам. В связи с обнаружением в них грубых ошибок 24 из 31 государственного стандарта по статистическим методам были отменены в 1986-87 гг. (перечень стандартов и описание ошибок приведены в работе [4]).

В 1989 г. был организован Центр статистических методов и информатики (ЦСМИ) для работ по развитию и внедрению современных статистических методов. О дальнейших событиях рассказано в заключительном разделе настоящей главы.

Статистический контроль - это выборочный контроль на научной основе. Контроль качества продукции всем знаком хотя бы по названию - им обычно занимается отдел технического контроля (ОТК) предприятия. Есть различные виды контроля - входной контроль сырья и материалов, приемочный контроль готовой продукции, а также контроль при передаче полуфабрикатов и комплектующих из цеха в цех. Кроме сплошного контроля всех изделий подряд применяют выборочный, когда о качестве партии продукции судят по результатам контроля некоторой части - выборки.

Зачем нужен выборочный контроль? Чтобы проверить качество спички - надо чиркнуть ею. Загорится - должное качество, не загорится - брак. Но повторно использовать однажды зажженную спичку уже нельзя. Поэтому партию спичек можно контролировать только выборочно. Партии консервов, ампул лекарств, патронов - тоже. Итак, при разрушающем контроле необходимо пользоваться выборочными методами и судить о качестве партии продукции по результатам контроля её части - выборки.

Выборочные методы контроля могут применяться и из экономических соображений, когда стоимость контроля высока по сравнению со стоимостью изделия. Например, вряд ли целесообразно визуально проверять качество каждой скрепки в каждой коробке.

Для проведения выборочного контроля необходимо сформировать выборку, выбрать план контроля. А если план имеется - полезно знать его свойства. Анализ и синтез планов проводят с помощью математического моделирования на основе теории вероятностей и математической статистики, применяя компьютерные диалоговые системы (пакеты программ).

Зачем нужны диалоговые системы по статистическому контролю? Раньше, действительно, ОТК формально применяли планы контроля из ГОСТов на конкретную продукцию, а реальное качество выпускаемых изделий никого не интересовало. Сейчас - ситуация начинает меняться. Обязательность большинства ГОСТов отменена (в части основных показателей качества, кроме показателей безопасности). Но - со становлением рыночной экономики у предприятия появляются конкуренты. В том числе зарубежные. Руководителям производства приходится отлаживать систему контроля качества не для галочки, не по приказу сверху, а для повышения доходов предприятий.

Компьютерные диалоговые системы позволяют, прежде всего, проводить анализ и синтез планов контроля. Пусть перед Вами - прежний ГОСТ на продукцию, в нем есть раздел "Правила приемки" с планами контроля. Хороша эта система планов или плоха? С помощью диалоговых систем Вы найдете характеристики конкретного плана, приемочный и браковочный уровни дефектности (см. ниже) и т.д. Можно провести и синтез планов, т.е. компьютер поможет принять решение в новых условиях - подберет план, удовлетворяющий Вашим условиям [5].

Российской ассоциацией статистических методов были проанализированы сотни стандартов на конкретную продукцию (разделы "Правила приемки") и ГОСТы по статистическим методам. Обнаружено, что более половины и тех и других стандартов содержат грубые ошибки, пользоваться ими нельзя. Причины этого печального положения проанализированы в статье [4]. В отличие от ГОСТов, диалоговым системам ЦСМИ по статистическому контролю верить можно и нужно. И экономически выгодно.

Экономическая эффективность статистических методов обеспечения качества. По оценкам, полученным в работе [6], применение современных статистических методов позволяет в среднем вдвое сократить трудозатраты на контрольные операции (как известно, на них расходуют примерно 10% от стоимости машиностроительной продукции). Следовательно, от повышения эффективности решений менеджеров на основе внедрения современных статистических методов обеспечения качества продукции Россия может получить более 5 миллиардов долларов США дополнительного дохода в год.

Приведем ещё три сообщения о высокой экономической эффективности статистического контроля.

1) "Мы документально зафиксировали экономию от применения методов статистического контроля и методов принятия решений, которым обучили наших сотрудников. Мы приближаемся к степени окупаемости около 30 долларов на 1 вложенный доллар. Вот почему мы получили такую серьезную поддержку от высшего руководства", - сообщает Билл Виггенхорн, ответственный за подготовку специалистов фирмы "Моторола" (цитируем по статье [7]).

2) По подсчетам профессора Массачусетского технологического института Фримена (см. монографию [8]), только статистический приемочный контроль давал промышленности США 4 миллиарда долларов в 1958 г. (это более 22 миллиардов долларов в ценах 2004 г.), т.е. 0,8% ВВП - валового внутреннего продукта.

3) В XXI веке основное внимание исследователей и управленцев переносится с разработки отдельных методов принятия решений на системы внедрения таких методов в практическую деятельность предприятий и организаций. Примером является система «Шесть сигм». Что стоит за этими словами, наводящими на мысли о статистических методах (греческой буквой «сигма» традиционно обозначают показатель разброса статистических данных)?

Как сказано в содержательной книге [9], «Шесть сигм» - это более разумный способ управлять всей компанией или отдельным ее подразделением (например, литейным цехом или центральной заводской лабораторией). Фактически речь идет о развитии системы управления качеством и контроллинга на предприятии, в организации, фирме, компании. Концепция «Шесть сигм» ставит на первое место потребителя товаров и услуг и помогает, как доказывают ее разработчики, находить самые лучшие решения, опираясь на факты и данные. Она нацелена на три основные задачи:

- повысить удовлетворенность клиентов;

- сократить время цикла (производственного, операционного);

- уменьшить число дефектов.

Внедрение «Шести сигм» дает значительный экономический эффект. Исполнительный директор корпорации General Electric Джек Уэлч объявил в ежегодном докладе, что всего за три года система «Шесть сигм» сэкономила компании более 2 миллиардов долларов [9].

На наш взгляд, российским предпринимателям и менеджерам промышленных предприятий целесообразно равняться на японских коллег - знать хотя бы основы статистических методов, т.е. эконометрики, и активно их применять при принятии решений, постоянно консультируясь со специалистами.

Основы теории статистического контроля

Выборочный контроль, построенный на научной основе, т.е. исходящий из теории вероятностей и математической статистики, называют статистическим контролем. Предпринимателя и менеджера выборочный контроль может интересовать не только в связи с качеством продукции, но и в связи, например, с контролем экологической обстановки, поскольку зафиксированные государственными органами экологические нарушения влекут штрафы и иные "неприятные" последствия. Или в связи с выборочным контролем документации.

Обсудим основные подходы статистического контроля.

При статистическом контроле решение о генеральной совокупности – об экологической обстановке в данном регионе или о партии продукции - принимается по выборке, состоящей из некоторого количества единиц (единиц экологического контроля или единиц продукции). Следовательно, выборка должна представлять партию, т.е. быть репрезентативной (представительной). Как эти слова понимать, как проверить репрезентативность? Ответ может быть дан лишь в терминах вероятностных моделей выборки.

Наиболее распространенными являются две вероятностные модели - биномиальная и гипергеометрическая. В первой из них предполагается, что результаты контроля n единиц можно рассматривать как совокупность n независимых одинаково распределенных случайных величин Х₁, Х₂,....,Х_n , где Х_i= 1, если i‑ое измерение показывает, что имеется нарушение, т.е. превышено ПДК (предельная норма концентрации) или i‑ое изделие дефектно, и Х_i= 0, если это не так. Тогда число Х превышений ПДК (при другой интерпретации - дефектных единиц продукции в партии) равно

Х= Х₁+ Х₂+...+ Х_n . (3.461)

Известно, что распределение Х имеет вид

Р(Х= k) = C_n^k p^k(1—p)^n-k, (3.472)

где C_n^k- число сочетаний из n элементов по k, а p —уровень дефектности (в другой предметной области - в экологии - доля превышений ПДК в генеральной совокупности), т.е. p = Р(Х_i= 1). Формула (3.472) задает так называемое биномиальное распределение.

Из формулы (3.461) и Центральной Предельной Теоремы теории вероятностей вытекает, что при увеличении объема выборки n распределение Х сближается с нормальным распределением.

Вторая модель - гипергеометрическая - соответствует случайному отбору единиц в выборку. Пусть среди N единиц, составляющих генеральную совокупность, имеется D дефектных. Случайность отбора означает, что каждая единица имеет одинаковые шансы попасть в выборку. Более того, ни одна пара единиц не имеет преимущества перед любой другой парой при отборе в выборку. То же самое — для троек, четверок и т.д. Итак, каждое из сочетаний по n единиц из N имеет одинаковую вероятность быть отобранным в качестве выборки, равную, очевидно, 1/ .

Отбор случайной выборки согласно описанным правилам организуют при проведении различных лотерей. Пусть Y —число дефектных единиц в такой выборке. Известно, что тогда P(Y = k) – гипергеометрическое распределение, т.е.

. (3)

Замечательный математический результат состоит в том, что биномиальная и гипергеометрическая модели весьма близки, когда объем генеральной совокупности (партии) по крайней мере в 10 раз превышает объем выборки. Таким образом, можно констатировать, что

Р(Х = k) = P(Y = k), (3.484)

с достаточной для практики точностью, если объем выборки мал по сравнению с объемом партии. При этом в качестве p в формуле (43.47) берут D/N.

Близость результатов, получаемых с помощью биномиальной и гипергеометрической моделей, весьма важна с методологической точки зрения. Дело в том, что эти модели исходят из принципиально различных методологическиходельных предпосылок. В биномиальной модели случайность присуща каждой единице - она с какой-то вероятностью дефектна, а с какой-то - годна. В то же время в гипергеометрической модели качество определенной единицы детерминировано, задано, а случайность проявляется лишь в отборе, вносится инженером, экологом или экономистом при составлении выборки.

В науках о человеке противоречие между двумя рассматриваемыми моделями выборки еще более выражено. Биномиальная модель предполагает, что поведение человека, в частности, выбор им определенного варианта при ответе на вопрос, определяется с участием случайных причин. Например, человек может случайно сказать «да», случайно — «нет». Некоторые философы отрицают присущую поведению человека случайность. Они верят в причинность и считают поведение конкретного человека практически полностью определенным (детерминированным) его взглядами, жизненным опытом, окружающей средой. Поэтому они принимают гипергеометрическую модель и считают, что случайность отличия ответов в выборке от ответов во всей генеральной совокупности определяется всецело случайностью, вносимой при отборе единиц наблюдения в выборку.

Соотношение (3.484) показывают, что во многих случаях нет необходимости выбирать одну из моделей, поскольку обе дают близкие численные результаты. Отличия проявляются при обсуждении вопроса о том, какую выборку считать представительной. Является ли таковой выборка, составленная из 20 изделий, лежащих сверху в первом вскрытом ящике? В биномиальной модели вполне допустим ответ "да", в гипергеометрической - только "нет".

Биномиальная модель легче для теоретического изучения, поэтому будем её рассматривать в дальнейшем. Однако при реальном контроле лучше формировать выборку, исходя из гипергеометрической модели. Это делают, выбирая номера изделий (для включения в выборку) с помощью датчиков псевдослучайных чисел на ЭВМ или с помощью таблиц псевдослучайных чисел. Алгоритмы формирования выборки встраивают в современные программные продукты по статистическому контролю.

Планы статистического контроля и правила принятия решений. Под планом статистического контроля понимают алгоритм, т.е. правила действий при контроле качества. На «входе» при этом - генеральная совокупность (партия продукции), а на «выходе» - одно из двух решений: «принять партию» либо «забраковать партию». Рассмотрим несколько примеров.

Одноступенчатые планы контроля (n,c): отобрать выборку объема n; если число дефектных единиц в выборке X не превосходит c, то партию принять, в противном случае забраковать. Число с называется «приемочным числом».

Частные случаи: план (n,0) —партию принять тогда и только тогда, когда все единицы в выборке являются годными; план (n,1) - партия принимается, если в выборке все единицы являются годными или ровно одно - дефектное, во всех остальных случаях партия бракуется.

Двухступенчатый план контроля (n, a, b) + (m, c): отобрать первую выборку объема n; если число дефектных единиц в первой выборке X не превосходит a, то партию принять; если число дефектных единиц в первой выборке X больше или равно b, то партию забраковать; во всех остальных случаях, т.е. когда Х больше a, но меньше b, следует взять вторую выборку объема m; если число дефектных единиц во второй выборке Y не превосходит c, то партию принять, в противном случае забраковать.

Рассмотрим в качестве примера план (20, 0, 2) + (40, 0). Сначала берется первая выборка объема 20. Если все единицы в ней - годные, то партия принимается. Если две или больше - дефектные, партия бракуется. А если только одно - дефектное? В реальной ситуации в таких случаях начинаются споры между представителями предприятия и экологического контроля, или поставщика и потребителя. Говорят, например, что дефектная единица случайно попала в партию, что ее подсунули конкуренты или что при контроле случайно сделан неправильный вывод. Поэтому, чтобы споры пресечь, берут вторую выборку объема 40 (вдвое большего, чем в первый раз). Если все единицы во второй выборке - годные, то партию принимают, в противном случае - бракуют.

В реальной нормативно-технической документации - договорах на поставку, технических регламентах, стандартах, технических условиях, инструкциях по экологическому контролю и т.д. - не всегда четко сформулированы планы статистического контроля и правила принятия решений. Например, при описании двухступенчатого плана контроля вместо задания приемочного числа с может стоять загадочная фраза "результат контроля второй выборки считается окончательным". Остается гадать, как принимать решение по второй выборке. Менеджер, администратор (государственный служащий), инженер, эколог или экономист, занимающийся вопросами экологического контроля или контроля качества, должен первым делоам добиваться кристальной ясности в формулировках правил принятия решений, иначе ошибочные и необоснованные решения, а потому и убытки неизбежны.

Оперативная характеристика плана статистического контроля. Каковы свойства плана статистического контроля? Они, как правило, определяются с помощью функции f(p), связывающей вероятность p дефектности единицы контроля с вероятностью f(p) приемки партии, положительной оценки экологической обстановки или заключения о правильности ведения бухгалтерской документации по результатам контроля. При этом вероятность p того, что конкретная единица дефектна, называется входным уровнем дефектности, а указанная функция называется оперативной характеристикой плана контроля. Если дефектные единицы отсутствуют, р = 0, то партия всегда принимается, т.е. f(0) = 1. Если все единицы дефектные, р = 1, то партия наверняка бракуется, f(1) = 0. Между этими крайними значениями р функция f(p) монотонно убывает. При изучении свойств плана входной уровень дефектности р - свободный параметр, он может принимать любые значения между 0 и 1.

Вычислим оперативную характеристику плана (n,0). Поскольку партия принимается тогда и только тогда, когда все единицы являются годными, а вероятность того, что конкретная единица - годная, равна (1‑р), то оперативная характеристика имеет вид

f(p) = Р(Х=0) = (1—р)ⁿ. (3.495)

Для плана (n,1) оперативная характеристика, как легко видеть, такова:

f(p) = Р(Х=0)+Р(Х=1) = (1—р)ⁿ + nр (1—р)^n-¹. (3.506)

Оперативные характеристики для конкретных планов статистического контроля не всегда имеют такой простой вид, как в случае формул (3.495) и (3.506). Рассмотрим в качестве примера план (20, 0, 2) + (40, 0). Сначала найдем вероятность того, что партия будет принята по результатам контроля первой партии. Согласно формуле (3.495) имеем:

f₁(p) = Р(Х=0) = (1—р)²⁰.

Вероятность того, что понадобится контроль второй выборки, равна

Р(Х=1) = 20р(1—р)¹⁹.

При этом вероятность того, что по результатам её контроля партия будет принята, равна

f₂(p) = Р(Х=0) = (1—р)⁴⁰.

Следовательно, вероятность того, что партия будет принята со второй попытки, т.е. что при контроле первой выборки обнаружится ровно одна дефектная единица, а затем при контроле второй — ни одной, равна

f₃(p) = Р(Х=1) f₂(p) = 20р(1—р)¹⁹(1—р)⁴⁰= 20р(1—р)⁵⁹.

Следовательно, вероятность принятия партии с первой или со второй попытки равна

f(p) = f₁(p) + f₃(p) = (1—р)²⁰+ 20р(1—р)⁵⁹.

При практическом применении методов статистического приемочного контроля для нахождения оперативных характеристик планов контроля вместо формул, имеющих обозримый вид лишь для отдельных видов планов, применяют численные компьютерные алгоритмы или заранее составленные таблицы.

Риск поставщика и риск потребителя, приемочный и браковочный уровни дефектности. С оперативной характеристикой связаны важные понятия приемочного и браковочного уровней дефектности, а также понятия «риск поставщика» и «риск потребителя». Чтобы ввести эти понятия, на оперативной характеристике выделяют две характерные точки, делящие входные уровни дефектности на три зоны (области) - А, Б и В. В зоне А почти всегда все хорошо, а именно - почти всегда экологическая обстановка признается благополучной, почти все партии принимаются. В зоне В, наоборот, почти всегда все плохо, а именно - почти всегда экологический контроль констатирует экологические нарушения, почти все партии бракуются. Зона Б - буферная, переходная, промежуточная, в ней как вероятность приемки, так и вероятность браковки заметно отличаются от 0 и 1. Для задания границ между зонами выбирают два малых числа—риск поставщика (производителя, предприятия) и риск потребителя (заказчика, системы экологического контроля) , при этом границы между зонами задают два уровня дефектности - приемочный p_пp и браковочный p_бр, определяемые из уравнений

f(p_пp) = 1— , f(p_бр) = . (3.517)

Таким образом, если входной уровень дефектности не превосходит p_пp, то вероятность забракования партии мала, т.е. не превосходит . Приемочный уровень дефектности выделяет зону А значений входного уровня дефектности, в которой нарушения экологической безопасности почти всегда не отмечаются, партии почти всегда принимаются, т.е. соблюдаются интересы проверяемого предприятия (в экологии), поставщика (при контроле качества). Это - зона комфортности для поставщика. Если он обеспечивает работу (входной уровень дефектности) в этой зоне, то его практически никогда никто не потревожит.

Если же входной уровень дефектности больше браковочного уровня дефектности p_бр, то нарушения почти наверняка фиксируются, партия почти всегда бракуется, т.е. экологи узнают о нарушениях, потребитель оказывается защищен от попадания к нему партий со столь высоким уровнем брака. Поэтому можно сказать, что в зоне В соблюдаются интересы потребителей - брак к ним не попадает.

При выборе плана контроля часто начинают с выбора приемочного и браковочного уровней дефектности. При этом выбор конкретного значения приемочного уровня дефектности отражает интересы поставщика, а выбор конкретного значения браковочного уровня дефектности - интересы потребителя. Можно доказать (см. ниже), что для любых положительных чисел и и любых входных уровней дефектности p_пp и p_бр, причем p_пp меньше p_бр, найдется план контроля (n,c) такой, что его оперативная характеристика f(p) удовлетворяет неравенствам

f(p_пp) > 1 - , f(p_бр) < .

При практических расчетах обычно принимают = 0,05 (т.е. 5%) и = 0,1 (т.е. 10%).

В качестве примера вычислим приемочный и браковочный уровни дефектности для плана (n,0). Из формул (3.495) и (3.517) вытекает, что

(1 - p_пp)ⁿ = 1 - , p_пp = 1 - (1 - )^1/n.

Поскольку риск поставщика мал, то из известного соотношения математического анализа

вытекает приближенная формула

p_пp

Для браковочного уровня дефектности имеем

p_бр = 1 - ^1/n.

При практическом применении методов статистического приемочного контроля аналитическими формулами, имеющими обозримый вид лишь для отдельных видов планов, не пользуются. Для нахождения приемочных и браковочных уровней дефектности планов контроля вместо них применяют численные компьютерные алгоритмы или заранее составленные таблицы. Такие таблицы имеются в нормативно-технической документации или научно-технических публикациях.

Предел среднего выходного уровня дефектности. Обсудим судьбу забракованной партии продукции. В зависимости от ситуации эта судьба может быть разной. Партия может быть утилизирована. Например, забракованная партия гвоздей может быть направлена на переплавку. У партии может быть понижена сортность, и она может быть продана по более низкой цене (при этом результаты выборочного контроля будут использованы не только для констатации того, что не выдержан заданный уровень качества, но и для оценки реального уровня качества). Наконец, партия продукции может быть подвергнута сплошному контролю (для этого обычно привлекают инженеров из всех заводских служб). При сплошном контроле все дефектные изделия обнаруживаются и либо исправляются на месте, либо извлекаются из партии. В результате в партии остаются только годные изделия. Такая процедура называется "контроль с разбраковкой".

При среднем входном уровне дефектности р и применении контроля с разбраковкой с вероятностью f(p) партия принимается (и уровень дефектности в ней по-прежнему равен р) и с вероятностью (1 - f(p)) бракуется и подвергается сплошному контролю, в результате чего к потребителю поступают только годные изделия. Следовательно, по формуле полной вероятности средний выходной уровень дефектности равен

f₁(p)= pf(p) +0(1 - f(p)) = pf(p).

Средний выходной уровень дефектности f₁(p)равен 0 при р=0 и р=1, положителен на интервале (0;1), а потому достигает на нем максимума, который в теории статистического контроля называется пределом среднего выходного уровня дефектности (сокращенно ПСВУД):

ПСВУД =

Пример. Рассмотрим план (n,0). Для него f(p) = (1 - p)ⁿ и f₁(p) = p(1-p)ⁿ. Чтобы найти ПСВУД, надо приравнять 0 производную среднего выходного уровня дефектности по среднему входному уровню дефектности:

В полученном уравнении корень р = 1 соответствует минимуму, а не максимуму. Поскольку непрерывная функция на замкнутом отрезке достигает максимума, то максимум достигается при

Следовательно,

ПСВУД = (3.528)

По выражению (3.528) могут быть проведены конкретные расчеты. Однако оно довольно громоздко. Его можно упростить, используя один замечательный предел из курса математического анализа, а именно:

(3.539)

Сравнивая соотношения (3.528) и (3.539), видим, что

ПСВУД =

Первая скобка равна 1/n, а вторая согласно соотношению (3.539) приближается к 0,368 при росте объема выборки. Поэтому получаем простую асимптотическую формулу

ПСВУД

Для более сложных планов ПСВУД рассчитывают с помощью более или менее сложных компьютерных программ.

При проведенном выше рассмотрении основ статистического контроля расчетные формулы удалось получить лишь для простейших планов, в основном для планов вида (n,0). Если ослабить требования и рассчитывать не на точные формулы, а на асимптотические, при , то можно справиться и с одноступенчатыми планами вида (n, c).

Асимптотическая теория одноступенчатых планов. Пусть Х - число дефектных единиц продукции в выборке объема n. Как уже отмечалось, распределение Х является биномиальным и имеет вид

Р(Х = k) = C_n^k p^k(1—p)^{n - k},

где C_n^k- число сочетаний из n элементов по k, а p - входнойуровень дефектности.

Пусть используется одноступенчатый план контроля (n, c). Тогда оперативная характеристика этого плана имеет вид

Пусть Тогда по Закону Больших Чисел теории вероятностей (по теореме Бернулли)

(сходимость по вероятности). Значит, если с/n окажется заметно больше входного уровня дефектности р, то партии будут почти всегда приниматься, а если с/n окажется заметно меньше входного уровня дефектности р, то партии будут почти всегда отклоняться. Ситуация будет нетривиальной только там, где величины с/n и р близки друг к другу.

Хотя оперативная характеристика рассчитывается с помощью сумм биномиальных вероятностей, анализировать эти суммы затруднительно. Поэтому целесообразно найти для нее приближение с помощью теоремы Муавра-Лапласа. Имеем цепочку тождественных преобразований:

Справа строит именно то выражение, которое участвует в теореме Муавра-Лапласа. Воспользовавшись равномерной сходимостью в этой теореме, можно записать, что

где Φ(х) - функция стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1.

Последняя формула позволяет указать асимптотические выражения для приемочного и браковочного уровней дефектности. Действительно, согласно определениям этих понятий

(3.5410)

откуда с помощью элементарных преобразований получаем, что

(3.5511)

Так как величины с/n и р близки друг к другу, то при переходе от формулы (3.5410) к формуле (3.5511) в подкоренных выражениях приемочный и браковочный уровни дефектности заменены на c / n (с точностью до бесконечно малых более высокого порядка).

Поскольку при практическом применении статистического приемочного контроля, как уже отмечалось, принимают = 0,05, =0,10, то в предыдущие формулы следует подставить =1,64 и Итак, итоговые формулы для приемочного и браковочного уровней дефектности имеют вид

Перейдем к задаче синтеза. Пусть заданы приемочный и браковочный уровни дефектности. Требуется построить одноступенчатый план, имеющий эти характеристики. Из формул (3.5410) следует, в частности, что

(3.5612)

Вычитая из первого уравнения второе, получаем, что

Следовательно, оценка необходимого объема выборки имеет вид

Для стандартных значений рисков α = 0,05, β = 0,10 имеем:

(3.5713)

С помощью уравнений (3.5612) нетрудно найти оценку с* приемочного числа, заменив неизвестный объем выборки на его оценку n*. Будем использовать оценку

Для стандартного значения β = 0,10 имеем

(3.5814)

Итак, по формуле (3.5713) можно рассчитать оценку объема выборки, затем по формуле (3.5814) найти оценку приемочного числа. Необходимо отметить, что результаты расчетов по рассматриваемым асимптотическим формулам отнюдь не всегда дают целые числа, поэтому необходима корректировка полученных результатов.

Полученные формулы позволяют решить сформулированную выше задачу - по заданным приемочному и браковочному уровням дефектности подобрать такой одноступенчатый план контроля, что его оперативная характеристика f(p) удовлетворяет неравенствам

f(p_пp) > 1 - α, f(p_бр) < β.

Поэтому при практической работе корректировка асимптотических результатов должна быть направлена на выполнение указанных неравенств.

Пример. Пусть p_пp= 0,02, p_бр= 0,09. Тогда по формуле (3.5713) оценка объема выборки равна

Полученное число не является натуральным, поэтому вполне естественно откорректировать объем выборки до ближайшего целого, т.е. до n* = 72.

Оценку приемочного числа находим по формуле (3.5814):

Полученное число не является целым, поэтому в качестве приемочного числа надо взять ближайшее целое, т.е. до 3.

Если объем выборки округлить до 73, то аналогично получим

При округлении снова получаем 3.

С помощью первого из уравнений (3.5612) можно построить оценку с* на основе приемочного уровня дефектности:

Подставив конкретные значения, получим практически ту же оценку, что и раньше:

Итак, в результате асимптотических расчетов найден одноступенчатый план (72, 3).

Дата добавления: 2021-01-21; просмотров: 54; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 3 4 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!