Методы систем массового обслуживания: понятие, сущность.

Имитационная модель «точно во время».

Учитывая особенности логистического цикла, формирование модели модно представить в виде следующих этапов:

1. Сбор, статистическая обработка исходных данных о временных параметрах отдельных логистических операций.

2. Расчет статистических параметров логистического цикла. Для математического описания продолжительности цикла исполнения заказа или логистического цикла (ЛЦ), представляющему сумму времен выполнения отдельных элементов используют формулы:

- для среднего значения времени ЛЦ:

T^ср = ∑Т^ср_i (1)

- для среднего квадратического отклонения:

σ²_т = ∑σ²_i + 2∑τ_ijσiσj, (2)

где T^ср, σi – соответственно среднее значения и средние квадратические отклонения времени выполнения i-й операцией ЛЦ;

τ_ij- коэффициент корреляции между i-й и j-й операциями ЛЦ.

3. Определение продолжительности логистического цикла с заданной доверительной вероятностью. Вероятностная трактовка ЛЦ позволяет определить его продолжительность с заданной доверительной вероятностью, но при этом нужно учитывать, какому закону подчиняется функция распределения времени ЛЦ.

При наличии числовых характеристик случайной величины определить закон распределения можно по коэффициенту вариации (таб.1)

Таблица 1. Законы распределения случайной положительной величины в зависимости от коэффициента вариации.

Пределы изменения коэффициента вариации	Закон распределения случайной величины
V ≤ 0,3	Нормальный
0,3 <V< 0,4	Гамма – распределение
0,4 ≤ V< 1	Вейбулла
V= 1	Экспоненциальный

Для того чтобы воспользоваться расчетными формулами, соответствующими закону распределения, необходимо определить параметры распределения случайной величины.

Параметрами нормального закона являются среднее значение и среднее квадратическое отклонение. Для распределения Вейбулла параметр положения х₀ – отношение среднего значения к коэффициенту b_m и параметр формы m определяется по таблице «Коэффициенты для расчета параметров распределения Вейбулла». Параметр экспоненциального закона – величина, обратная среднему значению. Для гамма – распределения параметры можно найти по формулам:

Λ = х^ср / σ² . (3)

σ = (х)² / 2. (4)

Моделирование случайных величин, распределенных с известными параметрами, по расчетным формулам производится с генерированием равномерно распределенных случайных чисел ξ в интервале (0; 1) или нормально распределенных случайных чисел ξ^* с параметрами: среднее – 0, среднее квадратическое отклонение – 1. Если объем моделируемых величин невелик, то для получения случайных чиселξ и ξ^* можно воспользоваться специальными таблицами.

Если функция распределения времени цикла подчиняется нормальному закону распределения, то верхняя доверительная времени цикла выполнения заказа граница будет равна:

Т₀ = T^ср + х_pσ_T, (5)

где х_p – показатель нормального закона распределения, соответствующей вероятности Р.

4. Определение времени выполнения логистического цикла «точно во время». Если время выполнения заказа задано каким-то определенным значением, время цикла заказа является верхнее доверительной границей и может быть рассчитано по формуле:

Т_ТВ = Т_н + T^ср + х_pσ_T, (6)

где Т_н – время начала выполнения логистического цикла.

Если время выполнения заказа задано не только ориентировочным значением, но и некоторым отклонением от него или интервалом времени, нужно оценить и верхнюю границу времени выполнения заказа и нижнюю границу:

Т_ТВ = Т_н + T^ср - х_p. (7)

5. Расчет вероятности выполнения логистического цикла. Вероятность выполнения заказа в случае, если время выполнения заказа задано определенным значением, может быть рассчитана по формуле:

Р = Ф ((Т_о - T^ср) /σ_T). (8)

В случае, когда время выполнения заказа задано интервалом, т.е. «не раньше, чем» и «не позднее чем» или определенным значением плюс-минус некоторое отклонение от него, вероятность выполнения заказа будет определяться следующим образом:

Р (α < Т_о< β) = Ф ((β - T^ср) / σ_T) – Ф ((α - T^ср) / σ_T), (9)

где α и β – нижняя и верхняя границы заданного времени выполнения заказа

соответственно.

Методы систем массового обслуживания: понятие, сущность.

Теория массового обслуживания – это раздел математики, изучающий системы, предназначенные для обслуживания массового потока требований (заявок) случайного характера. Все логистические системы функционируют как системы массового обслуживания.

Одним из определений логистической системы является следующее:

логистическая система – это субъект интегрированного рынка, через который проходят экономические потоки, а также предприятия, обеспечивающие прохождение этого потока. В общем виде в состав экономического потока входят следующие потоки:

- материальные (товарные);

- финансовые;

- информационный.

В логистике теория массового обслуживания, как правило, исследует

и определяет количественные параметры материального потока. Таким

образом, логистическая система, а также система массового обслуживания, имеет «вход» и «выход», а также обладает внутренним состоянием.

Система имеет в своем составе аппараты или каналы обслуживания.

Основополагающее значение в теории массового обслуживания имеют

понятия потока. В логистике в основном рассматривается простейший

или пуассоновский поток заявок. Этот поток обладает следующими при-

знаками:

1. Стационарность – вероятность появления того или иного числа заявок

на отрезке времени t зависит только от длины этого отрезка и не зависит

от того, где именно располагается этот участок на оси времени;

2. Ординарность – в каждый момент времени в систему приходит только

одна заявка;

3. Отсутствие последействия – все заявки приходят в систему независимо

друг от друга.

Рассматриваемый поток называют «пуассоновским», так как количество заявок m, приходящееся на отрезок времени t, распределено по закону Пуассона:

P_m(t) =( (λt)^m/m!)xe^-λt , (1)

где λ – плотность потока заявок, т. е. количество заявок в единицу времени.

Общая схема системы массового обслуживания представлена на рис.1.

Система массового обслуживания

Каналы обслуживания

λμ

1……..k…………………………….n

Рис. 1. Схема системы массового обслуживания

Обозначения на схеме (рис. 1.):

λ – плотность входного потока (количество заявок в единицу времени), т. е.

λ=N/T (2)

где Ν – количество заявок, пришедшее в систему за время Т;

μ – плотность выходного потока, т. е.

μ = 1/t^ср (3)

где t^ср – среднее время обслуживания одной заявки.

Плотность выходного потока μ есть величина, обратная среднему

времени обслуживания одной заявки. Плотность входного потока - вели-

чина постоянная λ = const. Постоянство плотности входного потока выражает стационарный характер простейшего потока системы массового обслуживания.

Внутреннее состояние систем – это вероятности того, что занято то

или иное количество каналов обслуживания. Состояние системы обслуживания с отказами описывается формулой Эрланга следующего вида:

P_k = (1/k!(λ/μ)^k) /1 + λ/μ + 1/2!( λ/μ)²….+1/n( λ/μ)ⁿ (4)

где Рк – вероятности состояния системы (0 ≤ к <n ), т.е.

Р0 – вероятность того, что все каналы обслуживания свободны;

Р1 – вероятность того, что занят 1 канал обслуживания;

Р2 – вероятность того, что занято 2 канала обслуживания;

……………………………………………………….

Рк – вероятность того, что занято k каналов обслуживания;

………………………………………………………..

Рn – вероятность того, что заняты все n каналов обслуживания или вероятность отказа в обслуживании.

При использовании моделей и методов теории массового обслуживания необходимо установить:

- в чем заключается физическое содержание заявки,

-что является аппаратом обслуживания;

- в чем заключается функционирование всей системы массового обслуживания. Далее исследуется характер потока заявок, определяются его основополагающие параметры. Одним из объектов исследования логистических систем является изучение условий образования очередей на обслуживания. Очереди образуются из-за недостаточного количества обслуживающих каналов, высокой интенсивности потока заявок, медленного обслуживания заявок. Все эти причины могут действовать отдельно или все

вместе. Таким образом, размер и вероятность образования очереди определяют два параметра:

1) n – количество каналов обслуживания;

2) α = λ/μ – приведенная плотность потока заявок.

Если поток заявок будет простейший, а заявки не уходят из очереди

до тех пор, пока не будут обслужены, то при:

1) λ/μ<n – каждая заявка рано или поздно дождется обслуживания;

2) λ/μ>n– число заявок, стоящих в очереди, будет со временем неограниченно возрастать.

Из этого следует, что в практической логистической деятельности

при управлении материальным потоком отслеживается соотношение

входного и выходного потоков с ориентацией на количество аппаратов

обслуживания. При λ/μ<n процесс обслуживания становится установившимся.

Пример 1: Отгрузка производится с 4 погрузочных площадок.

Груз со склада выдается с 8 до 20 часов ежедневно. В день обслуживается

24 автомашины, среднее время обслуживание – погрузки 30 минут. Определить характеристики обслуживания.

В рассматриваемой задаче:

- Склад – система массового обслуживания, она же логистическая система;

- Канал обслуживания – погрузочная площадка, оборудованная соответствующей механизацией;

- Поток заявок – машины, прибывающие на склад за грузом;

- Обслуживание – погрузка автомашины.

Поток заявок принимается простейшим (пуассоновским), тогда:

λ =4/12=2– автомашины/час;

μ=1/0,5=2 – машины за час;

λ/μ=2/2=1/

1. Определяются вероятности того, что в течение одного часа на

склад прибудут 0, 1, 2, 3, … и т. д. автомашин.

Исходные данные: λ = 2,

t = 1,

m = 0, 1, 2, 3, 4…

Результаты расчета по формуле Пуассона представлены в табл.1.

Таблица 1

Кол-во заявок	0	1	2	3	4	5	6	7
вероятности	0,135	0,27	0,27	0,132	0,092	0,036	0,012	0,007

Как показывают данные табл. 1, наиболее вероятен приход на

склад 1 и 2 заявок в течение одного часа, высока вероятность прихода 3

заявок, а вероятность прибытия на склад в течение одного часа 4 и более

автомашин весьма низка; довольно часто вообще отсутствие заявок в течение одного часа.

2. По формуле Эрланга определяются вероятности состояния системы, т. е. склада. Результаты расчета представлены в табл. 2.

Таблица 2

Кол-во площадок	0	1	2	3	4
Вероятности состояния	0,369	0,369	0,184	0,062	0,016

Как показывают данные табл. 2, вероятность того, что все площадки свободны, является относительно высокой – 37 %, такую же вероятность имеет занятость одной площадки, вероятность занятости двух площадок – 18%, вероятность занятости трех площадок относительно не велика – 6 % и, примерно, 1% – вероятность образования очереди.

В том случае, если бы машины приходили бы на склад одна за другой по расписанию в виде детерминированного потока, то для их обслуживания понадобилась только одна площадка.

Однако в реальности поток автомашин является случайным (стохастическим), данное обстоятельство заставляет иметь дополнительные площадки или обладать резервом пропускной способности. Отсюда и возникает необходимость определения оптимального количества каналов обслуживания.

Для решения этой задачи сопоставляются затраты на содержание резервных каналов обслуживания (они будут расти) и убытков от отказа в

обслуживании (они будут уменьшаться).

Аналогичным образом определяются размеры складской площади. В

этом случае системой массового обслуживания будет склад. Обслуживание заключается в хранении поступающих товаров, каналом обслуживания будет складская площадь.

Аналогичным образом рассчитываются затраты на содержание дополнительной складской площади или убытки от сокращения отказов в

приеме товаров на хранение. В данном случае интенсивность потока заявок – это среднее количество товаров, поступающее на хранение.

Интенсивность выходного потока – есть величина обратная среднему времени хранения.

Если обслуживание склада и движение через него материальных ресурсов происходило бы строго регулярно, т. е. детерминированно, то полезная площадь склада может быть определена по формуле:

F=Q/qxo (5)

где Q – грузооборот склада за год, тыс. т,

q – допустимая нагрузка на склад, т/м2,

о – количество оборотов склада за год, которое равно:

O=365/ tхр (6)

где tхр – срок хранения груза на складе.

Отсюда следует:

F=(Q tхр)/q365. (7)

Однако на практике материальные ресурсы поступают на склад случайным образом, а поэтому необходимо иметь резерв складской площади.

Оптимальный размер складской площади определяется из выражения:

F_рез.S1 + 365P_nS2 min (8)

Вероятности состояния систем обслуживания с очередями определяются следующей формулой:

P_n = (1/k!)( λ/μ)^k/A (9)

где к изменяется от 0 до n, при к = 0 получаем вероятность того, что все

аппараты обслуживания свободны, а при к = n – вероятность того, что все

аппараты обслуживания заняты.

Вероятность застать все аппараты обслуживания занятыми и S заявок, стоящих в очереди равны:

P_s+n =(1/n!n_s)( λ/μ)^n+s /A (10)

Среднее число заявок в свою очередь, определяется формулой:

S^ср = (λ/μ)ⁿ⁺¹: {nn![1 – 1/n(λ/μ))]²/A (11)

В формулах (9) (10) (11)черезА обозначено следующее выражение:

A =∑1/k!( λ/μ)^k + ((λ/μ)ⁿ⁺¹/n!(n- λ/μ)) (12)

Методы теории массового обслуживания применяются в некоторых

задачах управления запасами. С точки зрения теории массового обслуживания запас – это «очередь» товаров, ожидающих «обслуживание», т. е.

спрос со стороны потребителей. Если товары поступают на склад и уходят

со склада по пуассоновскому закону с плотностями соответственно λ и μ,

то вероятность наличия на складе n единиц товара - Рn, а вероятность отсутствия товара – Pо определяются соответственно следующими формулами:

P_n = (λ/μ)ⁿ(λ/μ), или P_o = 1 - λ/μ. (13)

Затраты на содержание аппаратов обслуживания, так же как и вели-

чина убытков от отказов в обслуживании, определяются методом прямой

калькуляции для данной системы обслуживания или для данной логистической системы.

Дата добавления: 2021-01-20; просмотров: 71; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!