Формула Байеса. Схема Бернулли.

Тематика контрольных работ

Задание 1

Классическое определение вероятности.

Комбинаторика.

1. На стол бросается кубик, две грани которого окрашены. Какова вероятность того, что кубик упадет на стол окрашенной гранью?

2. В урне "2" белых и "3" черных шаров. Из урны вынимаются сразу пять шаров. Найти вероятность того, что два из них будут белыми, а три - черными.

3. Из партии, в которой 31 деталь без дефектов и 6 с дефектами, берут наудачу три детали. Чему равна вероятность того, что все три детали будут без дефектов?

4. Из последовательности целых чисел от 1 до 10 наудачу выбираются два числа. Какова вероятность того, что одно из них меньше шести, а другое больше шести?

5. На шести одинаковых карточках написаны буквы А, В, К, М, О, С. Карточки перемешиваются и раскладываются наугад в ряд. Какова вероятность того, что при этом получится слово "МОСКВА"?

6. Абонент забыл последнюю цифру нужного ему пятизначного номера телефона. Какова вероятность того, что он наберет нужный номер, если последнюю цифру наберет наугад?

7. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна семи.

8. Собрание, на котором присутствуют 25 человек, из них 5 женщин, выбирает делегацию из трех человек. Найти вероятность того, что в делегацию войдут две женщины и один мужчина.

9. На шести одинаковых карточках написаны числа: 2, 4, 7, 8, 12, 14. Наугад берутся две карточки. Какова вероятность того, что из двух полученных чисел дробь сократима?

10. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово "КНИГА". Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получилось слово "КНИГА".

11. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 125 одинаковых кубиков. Все кубики перемешаны. Определить вероятность того, что кубик, извлеченный наудачу, будет иметь три окрашенные грани.

12. В первом ящике находятся шары с номерами: 1, 2, 3, 4, 5. Во втором ящике - шары с номерами: 6, 7, 8, 9, 10. Из каждого ящика вынули по одному шару. Найти вероятность того, что сумма номеров их равна 11.

13. Из колоды в 36 карт наугад выбирают три карты. Какова вероятность того, что среди них окажется два туза?

14. В коробке имеется пять одинаковых изделий, причем три из них окрашены. Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди них окажется одно окрашенное изделие.

15. В мешочке имеется пять одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв: О, П, Р, С, Т. Найти вероятность того, что на вынутых по одному и расположенных в одну линию кубиках модно будет прочесть слово "СПОРТ".

16. В урне 12 шаров; три белых, четыре черных и пять красных. Какова вероятность вынуть из урны черный шар?

17. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого, наудачу извлеченного жетона, не содержит цифры пять.

18. В группе 12 студентов, из них 8 отличников. По списку наугад отобрали 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов окажется пять отличников.

19. Из партии, в которой 31 деталь без дефектов и 6 с дефектами, берут наугад три детали. Какова вероятность того, что среди них две детали без дефектов?

20. В коробке содержится шесть одинаковых занумерованных кубиков. Наудачу по одному извлекают все кубики из коробки. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.

Задание 2

Сложение и умножение вероятностей

1. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет 10 очков, равна 0,4; 9 очков – 0,3 и, наконец, 8 и менее – 0,3. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет не менее 9 очков.

2. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наугад взятое изделие окажется высшего сорта, равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий будет только два высшего сорта.

3. Произведен залп из двух орудий по мишени. Вероятность попадания из первого орудия – 0,85, а из второго – 0,91. Найти вероятность поражения цели.

4. Брошены две игральные кости. Чему равна вероятность того, что хотя бы на одной из них выпадет пять очков?

5. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 сначала выбирается одна, а затем из оставшихся четырех – вторая цифра. Найти вероятность того, что оба раза будет выбрана нечетная цифра.

6. В магазин поступили новые телевизоры, 60% которых доставила первая фабрика, 25% – вторая фабрика и 15% – третья. Какова вероятность того, что купленный наугад телевизор изготовлен на первой или третьей фабрике?

7. На тепловой электростанции 15 сменных инженеров, из которых три женщины. Найти вероятность того, что в случайно выбранную смену мужчин окажется не менее двух, если в смену занято 5 человеке.

8. Производится стрельба по цели с вероятностью попадания 0,2 при одном выстреле. Стрельба прекращается при первом попадании. Найти вероятность того, что будет произведено ровно шесть выстрелов.

9. Каждое из четырех несовместных событий может произойти соответственно с вероятностями: 0,012; 0,010; 0,006; 0,002. Определить вероятность того, что в результате опыта произойдет хотя бы одно из этих событий.

10. Предприятие изготовляет 95% изделий стандартных, причем из них 86% – первого сорта. Найти вероятность того, что взятое наудачу изделие окажется первосортным.

11. В урне находится 30 шаров, из них 15 белых, 8 черных и 7 красных. Определить вероятность извлечения красного или черного шара.

12. Три электрических лампочки последовательно включены в цепь. Вероятность того, что одна (любая) лампочка перегорит, если напряжение в цепи превысит номинальное, равна 0,6. Найти вероятность того, что при повышенном напряжении тока в цепи не будет.

13. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной и той же цели. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,9. Найти вероятность поражения цели.

14. В партии 10 деталей, из них 8 – стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных двух деталей есть хотя бы одна стандартная.

15. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса.

16. В ящике 10 деталей, среди которых две нестандартные. Найти вероятность того, что в наудачу отобранных шести деталях окажется не более одной нестандартной детали.

17. При увеличении напряжения в два раза может произойти разрыв электрической цепи вследствие выхода из строя одного из трех последовательно соединенных элементов соответственно о вероятностями: 0,3; 0,4; 0,5. Определить вероятность того, что разрыва цепи не будет.

18. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатора, равна 0,96; для второго вероятность срабатывания равна 0,9. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

19. Для разрушения моста достаточно попадания одной авиабомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него будут сброшены четыре бомбы с вероятностями попадания, соответственно равными 0,3; 0,4; 0,6; 0,7.

20. В урне 20 белых, 6 черных шаров. Из нее вынимают наугад два шара подряд. Найти вероятность того, что оба шара черные.

Задание 3

Формула полной вероятности.

Формула Байеса. Схема Бернулли.

1. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов, 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника – 0,9, для велосипедиста – 0,8 и для бегуна – 0,75. Найти вероятность того, что выбранный наудачу спортсмен выполнит норму.

2. На сборку попадают детали о трех автоматов. Известно, что первый автомат дает 0,3% брака, второй – 0,2% и третий – 0,4 %.Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступает 1000, со второго – 2000 и с третьего – 2500 деталей.

3. Имеется десять одинаковых урн, в девяти из которых находится по два черных и два белых шара, а в одной – пять белых и один черный шар. Из наугад взятой урны извлечен наудачу шар белого цвета. Чему равна вероятность того, что этот шар взят из урны, содержащей пять белых шаров?

4. Вероятность выигрыша по облигации займа за все время его действия равна 0,25. Какова вероятность того, что некто, приобретя восемь облигаций, выиграет по шести из них?

5. Определить вероятность того, что в семье, имеющей пять детей, не более трех девочек, если вероятности рождения мальчика и девочки считать одинаковыми.

6. В телевизионном ателье имеется четыре кинескопа. Вероятности того, что кинескоп выдержит гарантийный срок службы, соответственно равны 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Найти вероятность того, что взятый наудачу кинескоп выдержит гарантийный срок.

7. Сборщик получил три коробки деталей, изготовленных заводом №1, и две коробки – заводом №2. Вероятность того, что деталь завода №1 стандартна, равна 0,8, а завода №2 – 0,9. Сборщик берет наугад деталь из наудачу взятой коробки. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь.

8. Два охотника одновременно стреляют в цель. Известно, что вероятность попадания у первого охотника равна 0,2, а у второго – 0,6. В результате первого залпа оказалось одно попадание в цель. Чему равна вероятность того, что промахнулся первый охотник?

9. В цехе шесть моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент включено четыре мотора.

10. Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что герб выпадет менее двух раз.

11. Имеется три урны с шарами. В первой урне 4 белых и 3 черных, во второй – 5 белых и 2 черных, в третьей – 2 белых в 5 черных шаров. Некто выбирает наугад одну из урн в вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар окажется белым.

12. В двух ящиках имеются радиолампы. В первом ящике 12 ламп, из них одна нестандартная, во втором – 10 ламп, из них одна нестандартная. Из первого ящика наудачу взята лампа и переложена во второй, найти вероятность того, что наугад извлеченная из второго ящика лампа будет нестандартной.

13. 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин – дальтоники. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность, что это мужчина?

14. Монета подбрасывается восемь раз. Какова вероятность того, что она упадет гербом вверх шесть раз?

15. В мастерской 12 моторов. При существующем режиме работы вероятность того, что мотор в данный момент работает с полной нагрузкой, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент не менее 10 моторов работают с полной нагрузкой.

16. Литье в болванках поступает из двух заготовительных цехов: 70% из первого и 30% из второго. При этом материал первого цеха имеет 10% брака, а второго – 20%. Найти вероятность того, что взятая наугад болванка без дефекта.

17. Вероятности того, что во время работы цифровой электронной машины возникнет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах, относятся как 3:2:6. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.

18. Для участия в спортивных соревнованиях выделены студенты: с 1-го курса – четыре, со 2-го – шесть, с 3-го – пять. Вероятность того, что студент 1-го курса попадет в команду равна 0,9; 2-го – 0,7; 3-го – 0,8. Найти вероятность того, что студент, попавший в команду, учится на 1 курсе.

19. В классе 30 учеников: 20 мальчиков и 10 девочек. На каждый из трех вопросов, заданных учителем, ответили по одному ученику. Какова вероятность того, что среди отвечавших – было два мальчика в одна девочка?

20. Производится четыре независимых опыта, в каждом из которых событие А происходит с вероятностью 0,3. Найти вероятность того, что событие А произойдет не менее трех раз.

Задание 4

1. Дискретные случайные независимые величины заданы законами распределения:

Х 1 2 У 0,5 1

Р 0,2 0,8 Р 0,3 0,7

Найти математическое ожидание произведения ХУ двумя способами.

2. Вероятность появления события в каждом испытании равна 0,25. Пользуясь неравенствами Чебышева, оценить вероятность того, что число Х появлений события будет заключено в пределах от 150 до 250, если будет произведено 800 испытаний.

3. Дискретная случайная величина Х принимает только два возможных значения х₁ и х₂, причем х₁<х₂ , с вероятностями 0,2 и 0,8. Найти закон распределения х, зная математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение .

4. Испытывается устройство, состоящее из четырех независимо работающих приборов. Вероятности отказов приборов таковы: р=0,3; р=0,4; р=0,5; р=0,6. Найти математическое ожидание и дисперсию числа отказавших приборов.

Доказать, что математическое ожидание отклонения равно нулю.

5. Дискретные случайные величины Х и Y заданы законами распределения:

Х 1 2 Y 0,5 1

Р 0,2 0,8 P 0,3 0,7

Найти математическое ожидание суммы Х+Y двумя способами.

6. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

Х 0,3 0,6

Р 0,2 0,8

Пользуясь неравенствами Чебышева, оценить вероятность того, что

7. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины X: х₁=-1, х₂=0, х₃=1, а также даны математические ожидания этой величины и ее квадрата: . Найти вероятности р₁, р₂, р_3, соответствующие возможным значениям х₁, х₂, х₃.

8. Бросают n игральных костей. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые выпадут на всех гранях.

9. Доказать, что математическое ожидание дискретной случайной величины заключено между наименьшим и наибольшим её возможными значениями.

10. Найти дисперсию случайной величины Х – числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если (вычисления провести двумя способами).

11. Дискретная случайная величина задана законом распределения:

Х 1 2 3 4 5 6

Р 0,05 0,1 0,25 0,3 0,2 0,1

Чему равна вероятность того, что ? Оценить эту вероятность, пользуясь неравенством Чебышева.

12. Производится четыре выстрела с вероятностями попадания в цель р=0,6; р=0,4; р=0,5; р=0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию общего числа попаданий.

13. Бросают n игральных костей. Найти математическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно m шестерок, если общее число бросаний N.

14. Найти математическое ожидание произведения числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей.

15. Среднее значение длины детали – 50 см. Дисперсия равна 0,1. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что случайно взятая деталь окажется по длине не менее 49,5 см и не более 50,5 см.

16. Дискретная случайная величина Х имеет два возможных значения х₁ и х₂, причем х₁ < х₁. Вероятность того, что случайная величина примет значение х, равна 0,6. Найти закон распределения величины X, если

17. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. В каждой партии содержится пять изделий. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х – числа партий, в каждой из которых окажется ровно четыре стандартных изделия, если проверке подлежит 50 партий.

Дата добавления: 2021-01-20; просмотров: 91; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!