Кванторы. Операции навешивания квантора
Лекция 9
Тема «Понятие предиката. Кванторы»
Цель: получить знания о алгебре предикатов и кванторов; научиться решать простейшие примеры логики высказываний.
План лекции:
1. Понятие предиката
2. Основные множества для предикатов
3. Операции над предикатами
4. Кванторы. Операции навешивания квантора
Основные понятия:
предикат, квантор, операции над предикатами, навешивание квантора.
Понятие предиката
В дискретной математике, как и в математической теории, основными неопределяемыми понятиями являются понятия суждение, истина, ложь. Суждение не может быть одновременно истинным и ложным. Например, все предложения, которые произносит человек, являются суждениями. Суждение, зависящее от переменной величины, которое при подстановке значений переменного становится высказыванием, называют предикатом. Для описания внутренней логической структуры простых высказываний используется понятие предиката. Сегодня мы изучим основные понятия предикатов, рассмотрим операции, совершаемые с предикатами.
Определение. Предложения, содержащие переменные, истинность или ложность которого зависит от значения переменного, входящего в него, называется предикатом. Другими словами, это функция, заданная на определенном множестве.
Обозначение Р(х), Р(х,у), …, Р(х1,х2, …,хn).
Пример. Высказывание А= «Волк – это хищник»
Предикат Р(х)= «х – это хищник». Истинность Р(х) будет зависеть от того, что поставить вместо х, т.е. если поставим х=Лиса, то получим истину, а если поставим х=Коза, то получим ложь.
|
|
|
Основные множества для предикатов
Определение. Считается, что с каждым предикатом задано множество, из которого выбирают значение переменных. Такое множество называют областью определения предиката. Обозначение D(P).
Пример. Р(х) = «х+3». Какое бы число не поставить вместо х, будем получать либо ложное либо истинное высказывание.
Определение. Подмножеством области определения предиката, на котором он принимает значение истинность, называется множеством истинности данного предиката. Обозначение М(Р). М(Р) 
D(P).
Пример. Р(х) = «х+3».
Значит, М(Р) = (-∞;3).
Операции над предикатами
Все операции будем рассматривать на примере Р(х) = «х - число, делящееся на 9», K(х) = «х - цифра».
Для выполнения операций, нужно найти область определения предиката и множество истинности предиката и расписать эти множества как множество с перечислением элементов (с этого нужно начинать практическую), то есть
Для предиката Р(х) = «х - число, делящееся на 9»
D(P) = {1,2,3,4,5…95,96,97,98, …} М(Р) = {9,18,27,36,…,81,90,99,108,…}
|
|
|
Для предиката K(х)= «х - цифра»
D(К) = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} М(К) = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Определение. Отрицанием предиката Р(х) называется новый предикат 
, определённый на множестве D(Р) и истинный при тех значениях переменных х, при которых предикат Р(х) ложен.
Пример. 
={1,2,3,4,5…95,96,97,98,…}\ {9,18,27,36,…,81,90,99,108,…}={1,2,3,4,5,6,7,8,10,11,12,…,},
то есть убрать из D(P) все числа, делящиеся на 9.
Определение. Конъюнкцией двух предикатов Р(х) и Q(x) называется новый предикат Р(х)⋀Q(x), определённый на множестве D(Р) и истинный при тех значениях переменных х, при которых истины одновременно оба предиката P(x) и Q(x).
Пример.
={9,18,27,36,…,81,90,99,108,…} 
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}= {9}
Определение: Дизъюнкцией двух предикатов Р(х) и Q(x) называется новый предикат Р(х)VQ(x), определённый на множестве D(Р) и истинный при тех значениях переменных х, при которых истинен хотя бы один из предикатов P(x) и Q(x).
Пример.
={9,18,27,36,…,81,90,99,108,…} 
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}=
= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,18,27,36,…,81,90,99,108,…}
Определение. Импликацией двух предикатов Р(х) и Q(x) называется новый предикат Р(х) 
Q(x), определённый на множестве D(Р) и ложный при тех значениях переменных х, при которых предикат P(x) истинен, а предикат Q(x) ложен.
|
|
|
Пример.
={9,18,27,36,…,81,90,99,108,…}\ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} =
= {18,27,36,45,…,81,90,99,108,…}
Определение: Эквиваленцией двух предикатов Р(х) и Q(x) называется новый предикат Р(х) ↔ Q(x), определённый на множестве D(Р) и истинный при тех значениях переменных х, при которых либо оба предиката истины, либо оба предиката ложны.
Пример.
={9,10,11,12,13,14,15,16,17,19,…}
= {9},
= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,18,27,36,…,81,90,99,108,…}
={10,11,12,13,14,15,16,17,19,…}
Кванторы. Операции навешивания квантора
Для количественных характеристик обычно используют понятия «все», «некоторые», «существуют» и др. В математике эти слова называются кванторами. От латинского слова quantum – сколько.
Определение. Операция, сопоставляющая предикату Р(х) высказывание «Для любого х имеет место Р(х)» - истинное, если М(Р) совпадает с D(Р), называется операцией навешивания квантора общности.
Обозначается 
- любой или 
- «для каждого», «для любого», «для всякого».
Пример:
Если Р(х): «х+3=8» не известно истина оно или ложь, не подставляя значения, то
– ложь.
Читается это так «Для любого числа х из множества действительных чисел выполняется равенство х+3=8» - ложь
Определение. Операция, сопоставляющая предикату Р(х) высказывание «Существует х для Р(х)» - истинное, если М(Р) ≠ ǿ, называется операцией навешивания квантора существования.
|
|
|
Обозначается: ∃ - «существует» или «найдется х», «существует х», «для некоторого х».
Пример:
Если Р(х): «х+3=8» не известно истина оно или ложь, не подставляя значения, то
– истинно.
Читается это так «Существует такое число х из множества действительных чисел, для которого выполняется равенство х+3=8» - истино.
Определение. Предикатная формула – это формула, содержащая знаки булевых операций и кванторов, то есть в формуле участвуют: символы предметных переменных, символы предикатов, логические символы и символы кванторов.
Контрольные вопросы:
1. Что называется предикатом? Как он обозначается?
2. Что называется областью определения предиката и множеством истинности предиката? Как обозначаются эти области? Какая область шире?
3. Какие операции можно выполнять над предикатами?
4. Какие операции навешивания квантора на предикат можно выполнять? Как обозначаются и читаются эти операции?
5. Какая формула называется предикатной?
6. Найдите область определения D(P) и область истинности М(Р) для предиката
Р(х): «х – число, делящееся на 3».
7. Даны предикаты Р(х): «х – число, делящееся на 3» и К(х): «х – цифра».
Найдите: , Р(х) ˄ К(х), Р(х) ˅ К(х), Р(х) → К(х), Р(х) ↔ К(х).
8. Навешайте на предикат Р(х): «х2 = 4» кванторы общности и существования.
Дополнительный материал
Лекция «Логика предикатов»
https://yandex.ru/video/preview/?text=Видеоурок+по+теме+Понятие+предиката.+Кванторы&path=wizard&parent-reqid=1606659127083256-1657223286349553300163-production-app-host-vla-web-yp-349&wiz_type=vital&filmId=14837028721310047770&url=http%3A%2F%2Fvk.com%2Fvideo-191496146_456239020
https://vk.com/video-93437990_456239871
Дата добавления: 2021-01-20; просмотров: 378; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!