Четырехугольники. Описанная и вписанная окружности.
Курс Геометрии 7-9 классы.
Геометрия - 7 класс Глава1. Точки, прямые, отрезок, луч, угол (смежные, вертикальные). Глава2. Треугольники: - Сумма углов треугольника, свойства . - Высота, медиана, биссектриса. - Равенство треугольников (I,II,III признаки равенства). - Равнобедренный треугольник, его свойства и признаки . Теоремы. - Прямоугольный треугольник, его свойства. Глава3. Параллельные прямые. - Параллельные прямые, свойства и признаки параллельности. Глава 4. Окружность и круг. - Окружность, круг, касательная к окружности. Их свойства. - Описанная и вписанная окружности треугольника. | Геометрия - 9 класс Глава1. Тригонометрия. Решение треугольников. - Sin, cos, tg, ctg угла от 0 до 180. - Теорема косинусов, синусов. Сопутствующие формулы. - Разные формулы площади труегольника. - Решение треугольников. - Вписанная окружность треугольника. Глава2. Правильные многоугольники. - Правильные многоугольники, их свойства. - Длина окружности, площадь круга. Глава3. Декартовы координаты на плоскости. - Расстояние между двумя точками, середина отрезка. - Уравнение фигуры, окружности, прямой. - Угловой коэффициент прямой. Глава4. Векторы. - Координаты вектор - Сложение, вычитание векторов. - Умножение вектора на число. - Скалярное произведение векторов. Глава5. Геометрические преобразования. - Движение, параллельный перенос фигуры. - Осевая и центральная симметрия. Поворот.
- Подобие фигур.
| ||
Геометрия - 8 класс Глава1. Четырехугольники, их св-ва и признаки. - Параллелограмм. - Прямоугольник. - Ромб. - Квадрат. - Средняя линия треугольника. - Трапеция. - Центральные и вписанные углы окружности. - Описанная и вписанная окружности четырехугольника. Глава2. Подобие треугольников. - Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках. - Подобные треугольники. I, II, III признаки подобия треугольников. Глава3. Решение прямоугольных треугольников. - Метрические соотношения в прямоугольных треугольниках. - Теорема Пифагора. - Тригонометрические функции острого угла. - Решение прямоугольных треугольников. Глава4. Многоугольники. - Площадь прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции. - Теорема Чевы. |
Точки, прямые, углы.
Через любые две точки можно провести только одну прямую. | |
Две пересекающиеся прямые имеют только одну общую точку. | |
Острый угол <90 Тупой угол >90 Прямой угол = 90 Развернутый угол = 180 | |
Развернутый угол — угол образованный двумя дополнительными лучами (лучи, имеющие общее начало и лежащие на одной прямой) = 1800. Сумма смежных углов = 1800. | |
Вертикальные углы равны. | |
Перпендикулярные прямые образуют прямой угол 900 | |
- Через каждую точку, принадлежащей прямой проходит только одна прямая, перпендикулярная данной. - Через точку, не принадлежащую данной прямой проходит только одна прямая, перпендикулярная данной. |
Параллельные прямые.
|
|
Параллельные прямые не пересекаются. | |
-Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. -Расстояния от всех точек одной прямой до другой, параллельной данной, равны. | |
Признаки параллельности двух прямых: - две прямые, перпендикулярные третьей прямой — параллельны. - если накрестлежащие углы равны, то прямые параллельны. - если суммаодносторонних углов = 1800, то прямые параллельны. - если соответственные углы равны, то прямые параллельны. |
|
Свойства параллельных прямых такие же, как признаки (накрестлежащие углы равны, односторонние 1800, соответсnвенные равны) |
Треугольники
В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против меньшего угла — меньшая сторона. | |||
Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. | |||
Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним. | |||
Сумма углов треугольника = 1800. | |||
Высота треугольника перпендикулярна стороне, на которую она опущена. Все высоты треугольника пересекаются в одной точке. | |||
Медиана треугольника делит пополам сторону, на которую она опущена. Все медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. | |||
Биссектриса треугольника делит пополам угол, из которого выходит. Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (является центром вписанной окружности). | |||
Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон. Свойства средней линии треугольника: - ср.линия параллельна третьей стороне и равна ее половине. | |||
Равнобедренный треугольник (свойства) : - боковые стороны равны. - углы при основании равны. - биссектриса = медиана= высота, проведенная из вершины к основанию. |
| ||
Признаки равнобедренного треугольника такие же , как свойства (боковые стороны равны, углы при основании равны, медиана=высота=биссектриса). | |||
Равносторонний треугольник : - все стороны равны. - все углы равны 600. |
|
|
Равенство треугольников
Признаки равенства треугольников I признак (2стороны и угол между ними): Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. II признак (сторона и 2 прилежащих угла): Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. III признак (три стороны): Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. | |
В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы и против равных углов лежат равные стороны |
Подобие треугольников.
Теорема Фалеса: Если параллельные прямые пересекают стороны угла и отсекают на одной стороне угла равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой стороне угла. | |
Теорема о пропорциональных отрезках: Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, образовавшиеся на одной стороне угла пропорциональны соответствующим отрезкам на другой стороне угла. | |
Свойство медиан треугольника: Все медианы треугольника пересекаются в одной точке и этой точкой делятся на отрезки в отношении 2:1, считая от вершины. | |
Свойство биссектрисы треугольника: Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам. | |
Подобные треугольники — это треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны соответственно пропорциональны. | |
Прямая, параллельная одной стороне и пересекающая две его другие стороны, отсекает от данного треугольника подобный ему треугольник. | |
Признаки подобия треугольников: - по двум углам: если два угла одного треуг-ка равны двум углам другого треуг-ка, то эти треуг-ки подобны. - по двум сторонам и углу между ними: если две стороны одного треуг-ка пропорциональны двум сторонам другого треуг-ка, а углы, образованные этими сторонами соответственно равны, то треуг-ки подобны. - по трем сторонам: если три стороны одного треуг-ка пропорциональные трем сторонам другого треуг-ка, то треуг-ки подобны. | |
Средняя линия треугольника всегда отсекает подобный треугольник от исходного |
Прямоугольный треугольник.
Прямоугольный треугольник (свойства): - угол 900 - сумма острых углов 900 - гипотенуза больше катетов.
- катет, лежащий против угла 300 равен половине гипотенузы. - если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 300. | ||
- по гипотенузе и катету: если гипотенуза и катет одного прям-го треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прям-го треугольника, то такие треугольники равны.
- по двум катетам: если два катета одного прям-го треугольника соответственно равны двум катетам другого прям-го треугольника, то такие треугольники равны.
- по катету и острому углу (прилежащему или противолежащему): если катет и острый угол одного прям-го треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
- по гипотенузе и острому углу: если гипотенуза и острый угол одного прям-го треугольника соответственно равен гипотенузе и острому углу другого прям-го треугольника, то такие треугольники равны.
| ||
Метрические соотношения в прям-м треуг-ке: Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведенной из прямого угла, равен произведению отрезков, на которую она делит гипотенузу. | ||
Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. | ||
Теорема Пифагора: Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. |
Окружность и круг.
Окружность: - все радиусы равны - диаметр в два раза больше радиуса |
| ||
Диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам.
Диаметр, делящий хорду пополам, перпендикулярен этой хорде. |
| ||
Свойства окружности: - Касательная и окружность имеют только одну общую точку. - Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания. |
| ||
Признаки касательной: - если прямая в точке касания перпендикулярна радиусу, то эта прямая - касательная. - если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, то эта прямая -касательная. | |||
|
| ||
Описанная (около треугольника) окружность: - проходит через все вершины треугольника - около любого треуг-ка можно описать окружность |
| ||
Центр описанной окружности - это точка пересечения серединных перпендикуляров всех его сторон. | |||
Вписанная (в треугольник) окружность: - касается всех его сторон. - радиус перпендикулярен стороне в точке касания. - в любой треугольник можно вписать окружность. |
| ||
Центр вписанной окружности — это точка пересечения всех его биссектрис. | |||
Центральный угол окружности — угол с вершиной в центре окружности. Вписанный угол окружности — угол с вершиной на окружности и сторонами, которые пересекают окружность. |
| ||
Центральный угол окружности равен дуге на которую он опирается (в градусной мере).
|
| ||
Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. | |||
Вписанный угол, опирающийся на диаметр — прямой. |
| ||
Все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу — равны. |
| ||
Лемма о пересекающихся хордах (вытекает из определения синуса): Хорда окружности равна произведению диаметра и синуса любого вписанного угла, опирающегося на эту хорду.
| |||
Число Пи - математическая константа, равная отношению длины окружности к её диаметру. | |||
Длина окружности |
| ||
Площадь круга | |||
Длина дуги окружности в n градусов (если дуга дана в градусах) |
| ||
Площадь сектора, содержащего дугу окружности в n градусов | |||
Площадь сегмента : Меньший сегмент = площадь меньшего сектора АОВ - площадь треугольника АОВ Больший сегмент = площадь большего сектора АОВ + площадь треугольника АОВ |
| ||
Четырехугольники. Описанная и вписанная окружности.
Сумма углов четырехугольника = 3600 | |
Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны. | |
Свойства параллелограмма: - противолежащие стороны равны. - противолежащие углы равны. - диагонали точкой пересечения делятся пополам. |
|
Признаки параллелограмма: - если каждые две противолежащие стороны четырехугольника равны, то это параллелограмм. - если две противолежащие стороны четырехугольника равны и параллельны, то это параллелограмм. - если диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм. | |
Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые (прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма). | |
Свойство прямоугольника (плюс к свойствам парал-ма): - диагонали прямоугольника равны |
|
Признаки прямоугольника: - если один из углов параллелограмма прямой, то это прямоугольник. - если диагонали параллелограмма равны, то это прямоугольник. | |
Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. | |
Свойство ромба (плюс к свойствам параллелограмма): - диагонали ромба перпендикулярны и являются биссектрисами углов. |
|
Признаки ромба: - если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то это ромб. - если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то это ромб. | |
Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны ( квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба) | |
Трапеция — это четырехугольник, которого две стороны параллельны. | |
Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон. |
|
Свойства ср.линии трапеции: - ср.линия трапеции параллельна основаниям и равна половине их суммы | |
Описанная вокруг четырехугольника окружность проходит через все его вершины. Вписанная окружность четырехугольника касается всех его сторон. |
|
Радиус вписанной окружности перпендикулярен стороне четырехугольника в точке касания. | |
Сумма противолежащих углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 1800. | |
Суммы противолежащих сторон четырехугольника, описанного около окружности, равны. |
Тригонометрия
Синус острого угла прямоугольного треуг-ка = отношению противолежащего катета к гипотенузе. |
| |||||
Косинус острого угла прямоугольного треуг-ка = отношнию прилежащего угла к гипотенузе. | ||||||
Тангенс острого угла прямоугольного треуг-ка = отношению противолежащего угла к прилежащему. | ||||||
Котангенс острого угла прямоугольного треуг-ка = отношению прилежащего угла к противолежащему. | ||||||
Основное тригонометрическое тождество - сумма квадратов синуса и косинуса угла равна 1. | ||||||
Sin, cos, tg, ctg - второго острого угла
Правило болванчика 1) Каков знак функции сейчас (смотрим исходный угол и определяем исходное значение функции в нем)? 2) Функция меняется? (смотрим на взятую ось 90/270 или 180/360): - вертикальная ось (болванчик кивает) - да, меняется. - горизонтальная ось (болванчик отрицает) - нет, не меняется.
|
| |||||
Тангенс = отношение синуса к косинусу угла |
| |||||
Котангенс = отношение косинуса к синусу | ||||||
Область значения sin и cos [-1;1] | ||||||
Знаки sin, cos, tg, ctg
| ||||||
Если c2 = a 2 +b 2 ,то треугольник прямоугольный Если c2 > a 2 +b 2 ,то треугольник тупоугольный Если c2 < a 2 +b 2 ,то треугольник остроугольный
| ||||||
Теорема косинусов Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними |
| |||||
Теорема синусов Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
- отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла = два радиуса описанной окружности.
| ||||||
Площади многоугольников
Площади фигур: Параллелограмм - произведение стороны и высоты, проведенной к ней. - половина произведения диагоналей на синус угла между ними | ||
Прямоугольник - произведение длин его сторон. | ||
Ромб - половина произведения диагоналей. | ||
!!Ромб и прямоугольник так же являются частными случаями параллелограмма, поэтому их площади можно находить по формуле параллелограмма. | ||
Трапеция - произведение полусуммы оснований и высоты. - произведение средней линии и высоты. |
Площадь треугольника: - половина произведения основания на высоту Прямоугольный треугольник - половина произведения катетов( тк катеты перпендикулярны, они и являются высотой и основанием) -половина произведения двух сторон и синуса угла между ними. -по формуле Герона, где p - полупериметр - по радиусу R описанной окружности - по радиусу r вписанной окружности, где p- полупериметр | ||
Радиус вписанной в треугольник окружности r - отношение площади треугольника к его полупериметру. | ||
Радиус описанной вокруг треугольника окружности: - отношение стороны к двум синусам противолежащего угла. - отношение произведения сторон к четырем площадям треугольника | ||
Площадь многоугольника, описанного около окружности- произведение его полупериметра и радиуса вписанной окружности |
Дата добавления: 2021-01-20; просмотров: 141; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!