Требования к содержанию отчета по работе
Практическое занятие № 10.
Тема: «Решение простейших задач теории вероятностей и математической статистики»
Цель работы:
Закрепить навыки построения закона распределения дискретной случайной величины по заданному условию.
В результате выполнения работы студенты осваивают следующие результаты обучения в соответствии с ФГОС СПО:
Умения
- решать основные задачи математической статистики
Знания
- основные понятия и формулы математической статистики
Порядок выполнения работы:
1.Повторите теоретические положения по теме и запишите определение, формулы расчета и т.п.
2.Выполните задание, согласно своего варианта. Исходные данные возьмите в приложении.
3.Сделайте выводы по результатам работы
Теоретическая часть
Случайная величина – величина, численное значение которой может меняться в зависимости от результата стохастического эксперимента.
Дискретной назовём случайную величину, возможные значения которой образуют конечное множество.
Законом распределения дискретной случайной величины называется правило, по которому каждому возможному значению xi ставится в соответствие вероятность pi, с которой случайная величина может принять это значение, причём 
.
Пример .
Задают ли законы распределения дискретной случайной величины следующие таблицы?
|
|
|
а)
| х | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| р | 0,1 | 0,15 | 0,1 | 0,3 | 0,15 | 0,2 |
б)
| х | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| р | 0,1 | 0,15 | 0,2 | 0,15 | 0,1 | 0,1 | 0,3 |
Решение.
Для того чтобы проверить задан ли закон распределения нужно найти сумму чисел записанных в таблице во второй строке. Если сумма равна 1, то закон распределения задан. Если сумма не равна 1, то закон распределения не задан.
а) 0,1+0,15+0,1+0,3+0,15+0,2=1.
Значит, первая таблица задает закон распределения дискретной случайной величины.
б) 0,1+0,15+0,2+0,15+0,1+0,1+0,3=1,1.
Значит, вторая таблица не задает закон распределения дискретной случайной величины.
Определение: Математическим ожиданием случайной величины называется число, равное сумме произведений всех значений случайной величины на вероятности этих значений.
Математическое ожидание случайной величины X обозначается через MX. Если случайная величина X принимает значения 
соответственно с вероятностями 
, то согласно определению:
.
Математическое ожидание часто называют средним значением случайной величины, так как оно указывает некоторое «среднее число», около которого группируются все значения случайной величины.
|
|
|
Теорема 1. Математическое ожидание случайной величины, распределённой по биноминальному закону с параметрами n и p, равно произведению np, то есть
,
где n – это количество серий независимых опытов, а p – это вероятность появления некоторого события A .
Определение: Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.
Дисперсия случайной величины X обозначается через DX. Следовательно,
.
Теорема 2. Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию квадрата этой величины без квадрата её математического ожидания, то есть
. (6)
Примеры:
Пример 1. Пусть случайная величина X – число очков, выпавших при подбрасывании игральной кости. Найти математическое ожидание случайной величины X, если случайная величина X задаётся законом распределения:
|
|
|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 
|
|
|
|
|
|
Решение:
По формуле (1), используя заданный закон распределения случайной величины, находим математическое ожидание
.
Ответ: 3,5.
Пример 2 . Найти математическое ожидание числа бракованных изделий в партии из 10000 изделий, если каждое изделие может оказаться бракованным с вероятностью 0,005.
Решение:
Число бракованных изделий – это случайная величина X, распределённая по биноминальному закону. Число серий независимых опытов n=10000, вероятность брака p=0,005. Поэтому по формуле (3) находим
.
Ответ: 50
.
Пример 3 . Случайная величина X распределена по закону:
| –1 | 1 |
|
|
Найти дисперсию случайной величины.
Решение:
Найдём сначала математическое ожидание случайной величины:
.
С помощью формулы (5) находим дисперсию
.
Ответ: 1.
Пример 4.
Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения:
| Х | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| Р | 0,15 | 0,2 | 0,1 | 0,15 | 
| 0,05 |
Найдите 
.
Решение.
Сумма чисел во второй строке должна быть равна 1, так как задан закон распределения. Значит,
|
|
|
0,15+0,2+0,1+0,15+ 
+0,05=1
=1-0,65
= 0,35.
Ответ. 0,35
Требования к содержанию отчета по работе
Отчёт о работе должен содержать название и цель работы, задание, результаты выполнения задания. По результатам работы необходимо сделать выводы.
Контрольные вопросы (Задания для самопроверки качества освоенных результатов обучения):
- понятие случайной величины
- законом распределения случайной величины
- формула математического ожидания и дисперсии случайной величины
Приложение
Задание 1. Задает ли закон распределения дискретной случайной величины данная таблица
1)
| X | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| P | 0,1 | 0,2 | 0,25 | 0,17 | 0,3 |
2)
| X | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
| P | 0,11 | 0,19 | 0,2 | 0,2 | 0,3 |
3)
| X | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| P | 0,13 | 0,17 | 0,3 | 0,37 | 0,68 |
4)
| X | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| P | 0,2 | 0,3 | 0,11 | 0,13 | 0,47 |
5)
| X | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| P | 0,1 | 0,2 | 0,25 | 0,17 | 0,3 |
6)
| X | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
| P | 0,11 | 0,19 | 0,2 | 0,2 | 0,3 |
7)
| X | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| P | 0,13 | 0,17 | 0,3 | 0,37 | 0,68 |
8)
| X | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| P | 0,2 | 0,3 | 0,11 | 0,13 | 0,47 |
9)
| X | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| P | 0,1 | 0,2 | 0,25 | 0,17 | 0,3 |
10)
| X | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| P | 0,1 | 0,2 | 0,25 | 0,17 | 0,3 |
Задание 2. Дискретная случайная величина имеет закон распределения. Найти неизвестную вероятность.
1)
| X | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| P | 0,13 | 0,3 | 0,2 | P4 | 0,17 |
2)
| X | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| P | 0,15 | 0,16 | P3 | 0,5 | 0,07 |
3)
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| P | 0,3 | P2 | 0,2 | 0,29 | 0,1 |
4)
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| P | 0,16 | P2 | 0,15 | 0,07 | 0,5 |
5)
| X | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| P | 0,13 | 0,3 | 0,2 | P4 | 0,17 |
6)
| X | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| P | 0,15 | 0,16 | P3 | 0,5 | 0,07 |
8)
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| P | 0,3 | P2 | 0,2 | 0,29 | 0,1 |
9)
| X | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| P | 0,13 | 0,3 | 0,2 | P4 | 0,17 |
10)
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| P | 0,3 | P2 | 0,2 | 0,29 | 0,1 |
Задание 3.
1. Случайная величина X распределена по закону:
| –1 | 0 | 1 | 2 |
|
| 
| 
| 
|
Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
2. Случайная величина X распределена по закону:
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| 
| 
| 
|
Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
3. Случайная величина X распределена по закону:
| –1 | 0 | 1 |
| 
| 
|
Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
4. Случайная величина X распределена по закону:
| –1 | 1 | 2 | 3 |
| 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 |
Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
5. Случайная величина X распределена по закону:
| –2 | –1 | 1 | 2 |
| 0,2 | 0,1 | 0,2 | 0,5 |
Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
6. Случайная величина X распределена по закону:
| 1 | 2 | 3 |
| 0,07 | 0,03 | 0,9 |
Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
7. Случайная величина X распределена по закону:
| –1 | 1 | 2 |
| 
| 
|
Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
8. Случайная величина X распределена по закону:
| 0 | 1 | 2 |
| 0,4 | 0,5 | 0,1 |
Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
9. Случайная величина X распределена по закону:
| –1 | 0 | 1 |
|
| 
| 
|
Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
10. Случайная величина X распределена по закону:
| –1 | 0 | 1 | 2 |
|
|
|
|
|
Дата добавления: 2020-12-22; просмотров: 44; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!