Скалярное произведение векторов, определение, свойства, вычисление в координатной форме
Скалярным произведением двух векторов 
и 
называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
.
«Скаляр» (лат.) – число.
Скалярное произведение обозначают еще 
.
Свойства скалярного произведения:
1) 
– коммутативность;
2) свойства линейности:
;
;
4) формула скалярного квадрата:
, откуда 
;
5) формула проекции вектора:
, следовательно,
;
6) Пусть 
. Вектор перпендикулярен вектору тогда и только тогда, когда 
.
Формула вычисления скалярного произведения векторов в координатной форме
.
Угол между двумя векторами и формула его косинуса. Условие ортогональности двух векторов
Из определения скалярного произведения получаем формулу для вычисления угла между векторами 
:
.
Далее находим 
через 
.
Если 
, то угол – острый; , то угол – тупой.
Если 
, то угол 
, т.е. получаем условие ортогональности векторов:
, т.е. 
.
Задания
3.1. Заданы точки 
, 
, 
, 
. Найти:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
.
3.2. Заданы точки 
, 
, 
, 
. Найти:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) .
3.3. Заданы векторы 
, 
, 
. Найти:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
.
3.4. Найти координаты точки 
середины отрезка 
, если:
1) 
, 
; 2) 
, 
;
3) 
, 
; 4) 
, 
.
3.5. Найти медианы треугольника 
, если:
1) 
, 
, 
;
2) , 
, 
;
3) 
, 
, 
;
4) 
, 
, 
.
3.6. Отрезок разделен точками 
, на пять равных частей. Найти:
1) координаты точек 
и 
, если 
, 
;
2) координаты точек 
и 
, если 
, 
;
3) координаты точек и , если 
, 
;
4) координаты точек и , если 
, 
.
3.7. Заданы три последовательные вершины параллелограмма 
. Найти его четвертую вершину 
:
1) , 
, 
;
2) 
.
3.8. В параллелограмме 
заданы 
, 
, 
. Найти сумму координат точки пересечения диагоналей.
3.9. Найти при каких значениях 
, векторы 
и
коллинеарны:
1) 
, 
; 2) 
, 
;
3) 
, 
; 4) 
, 
;
5) 
, 
.
3.10. Найти при каких значениях 
, векторы и
коллинеарны:
1) 
, 
;
2) 
, 
;
3) 
, 
;
4) 
, 
.
3.11. Разложить вектор 
по векторам 
и , если:
1) 
, 
, 
;
2) 
, 
, 
.
3.12. Разложить вектор 
по векторам , и , если:
1) 
, 
, 
, 
;
2) 
, 
, 
, 
.
3.13. Заданы векторы 
, 
, 
. Найти скалярное произведение:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
.
3.14. Заданы векторы , , . Найти скалярное произведение:
1) ; 2) ; 3) 
; 4) 
.
3.15. Заданы точки 
, 
, 
, 
. Вычислить:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
.
3.16. Заданы точки 
, 
, 
, 
. Вычислить:
1) ; 2) ;
3) ; 4) 
.
3.17. Найти при каких значениях 
, векторы и
ортогональны:
1) 
, ; 2) 
, 
;
3) , 
; 4) 
, 
;
5) 
, 
.
3.18. Найти при каких значениях 
, векторы и
ортогональны:
1) , 
;
2) , 
;
3) 
, ;
4) , 
.
3.19. Дано: 
. Вычислить:
1) ; 2) 
; 3) 
;
4) 
; 5) 
.
3.20. Дано: 
. Вычислить:
1) ; 2) 
; 3) 
;
4) 
; 5) 
.
3.21. Вычислить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах 
и 
, где 
единичные векторы, 
.
3.22. Заданы векторы 
, 
, 
. Вычислить:
1) проекцию вектора на вектор ;
2) проекцию вектора на вектор ;
3) проекцию вектора 
на вектор ;
4) проекцию вектора 
на вектор ;
5) проекцию вектора 
на вектор .
3.23. Заданы векторы 
, 
, 
. Вычислить:
1) проекцию вектора на вектор ;
2) проекцию вектора на вектор ;
3) проекцию вектора на вектор ;
4) проекцию вектора на вектор ;
5) проекцию вектора на вектор .
3.24. Заданы точки 
, 
, 
и векторы 
, 
, 
. Вычислить:
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
; 5) 
; 6) 
.
3.25. Заданы точки 
, 
, 
и векторы 
, 
, 
. Вычислить:
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) ; 5) 
; 6) 
.
ОТВЕТЫ : БУДЕТ ДОПОЛНЕНО
Дата добавления: 2020-12-12; просмотров: 108; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!