Скалярное произведение векторов, определение, свойства, вычисление в координатной форме
Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
.
«Скаляр» (лат.) – число.
Скалярное произведение обозначают еще .
Свойства скалярного произведения:
1) – коммутативность;
2) свойства линейности:
;
;
4) формула скалярного квадрата:
, откуда ;
5) формула проекции вектора:
, следовательно,
;
6) Пусть . Вектор перпендикулярен вектору тогда и только тогда, когда .
Формула вычисления скалярного произведения векторов в координатной форме
.
Угол между двумя векторами и формула его косинуса. Условие ортогональности двух векторов
Из определения скалярного произведения получаем формулу для вычисления угла между векторами :
.
Далее находим через .
Если , то угол – острый; , то угол – тупой.
Если , то угол , т.е. получаем условие ортогональности векторов:
, т.е. .
Задания
3.1. Заданы точки , , , . Найти:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) .
3.2. Заданы точки , , , . Найти:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) .
3.3. Заданы векторы , , . Найти:
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
3.4. Найти координаты точки середины отрезка , если:
1) , ; 2) , ;
3) , ; 4) , .
3.5. Найти медианы треугольника , если:
|
|
1) , , ;
2) , , ;
3) , , ;
4) , , .
3.6. Отрезок разделен точками , на пять равных частей. Найти:
1) координаты точек и , если , ;
2) координаты точек и , если , ;
3) координаты точек и , если , ;
4) координаты точек и , если , .
3.7. Заданы три последовательные вершины параллелограмма . Найти его четвертую вершину :
1) , , ;
2) .
3.8. В параллелограмме заданы , , . Найти сумму координат точки пересечения диагоналей.
3.9. Найти при каких значениях , векторы и
коллинеарны:
1) , ; 2) , ;
3) , ; 4) , ;
5) , .
3.10. Найти при каких значениях , векторы и
коллинеарны:
1) , ;
2) , ;
3) , ;
4) , .
3.11. Разложить вектор по векторам и , если:
1) , , ;
2) , , .
3.12. Разложить вектор по векторам , и , если:
1) , , , ;
2) , , , .
3.13. Заданы векторы , , . Найти скалярное произведение:
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
3.14. Заданы векторы , , . Найти скалярное произведение:
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
3.15. Заданы точки , , , . Вычислить:
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
3.16. Заданы точки , , , . Вычислить:
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
3.17. Найти при каких значениях , векторы и
ортогональны:
1) , ; 2) , ;
3) , ; 4) , ;
5) , .
3.18. Найти при каких значениях , векторы и
ортогональны:
|
|
1) , ;
2) , ;
3) , ;
4) , .
3.19. Дано: . Вычислить:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) .
3.20. Дано: . Вычислить:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) .
3.21. Вычислить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и , где единичные векторы, .
3.22. Заданы векторы , , . Вычислить:
1) проекцию вектора на вектор ;
2) проекцию вектора на вектор ;
3) проекцию вектора на вектор ;
4) проекцию вектора на вектор ;
5) проекцию вектора на вектор .
3.23. Заданы векторы , , . Вычислить:
1) проекцию вектора на вектор ;
2) проекцию вектора на вектор ;
3) проекцию вектора на вектор ;
4) проекцию вектора на вектор ;
5) проекцию вектора на вектор .
3.24. Заданы точки , , и векторы , , . Вычислить:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) .
3.25. Заданы точки , , и векторы , , . Вычислить:
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6) .
ОТВЕТЫ : БУДЕТ ДОПОЛНЕНО
Дата добавления: 2020-12-12; просмотров: 93; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!