ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ МОМЕНТАМИ ИНЕРЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОСЕЙ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ
При растяжении стержня напряжения во всех точках одинаковы, поэтому его напряженное состояние определяется внешней нагрузкой и площадью поперечного сечения, но не зависит от его формы.
В случае изгиба и кручения брусьев напряжения в точках поперечного сечения зависят от его формы и размеров, а при изгибе еще и от его ориентации к направлению нагрузок. Кроме площади сечение характеризуется:
статическим моментом площади;
моментами инерции;
радиусами инерции;
моментами сопротивления.
У большинства характеристик физического смысла нет, но есть геометрическая интерпретация и аналогия с физическими и механическими понятиями.
СТАТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ ПЛОЩАДИ СЕЧЕНИЯ
Статический момент площади – распространенная на всю площадь сумма произведений элементарных площадок dA на расстояние от них до этой оси.
Это понятие аналогично моменту силы относительно оси. Если предположить, что А – вес пластины, имеющей форму нашего сечения, то статический момент Sz – это момент силы тяжести пластины относительно оси z. Размерность: единицы длины в третьей степени (см3; м3). Знаки: плюс, ноль и минус.
Ось центральная – ось, относительно которой статический момент площади равен нулю.
Центр тяжести сечения – точка пересечения центральных осей.
Если фигура имеет ось симметрии, то эта ось является центральной.
|
|
|
Статический момент составного сечения равен сумме статических моментов элементов этого сечения. Это следует из свойства определенного интеграла, который можно вычислять по частям – свойство аддитивности (от англ. add – прибавлять, присоединять, складывать). При известных статических моментах частей сечения можно найти координаты центра тяжести составной фигуры:
Пример 1. Определить положение центральных осей, параллельных основанию и высоте фигуры.
Дано:
H = 10 см; h = 2 см;
L= 8 см; ℓ = 2 см.
Решение
Разбиваем сложную фигуру на две простые, в конкретном примере – на два прямоугольника. Их центры тяжести расположены посредине высоты и посредине ширины.
Через найденную точку проводим центральные оси zC и yC, параллельные основанию фигуры и ее высоте.
Примечание. Центр тяжести фигуры, составленной из двух частей, лежит на линии, соединяющей центры тяжести простых фигур ее составляющих, причем расстояния до них обратно пропорциональны площадям простых фигур. Если сложная фигура составлена из нескольких простых, то общий центр тяжести находится внутри многоугольника, вершинами которого являются центры тяжести простых фигур.
МОМЕНТ ИНЕРЦИИ СЕЧЕНИЯ
|
|
|
Момент инерции – распространенная на всю площадь сумма произведений элементарных площадок dA на квадраты расстояний от них до этой оси.
Осевые моменты инерции:
Полярный момент инерции
где ρ – расстояние от площадки dA до точки (полюса), относительно которого вычисляется полярный момент инерции. Полярный момент инерции связан с осевыми моментами инерции
то есть для любой пары взаимно перпендикулярных осей, проходящих через полюс 0
Центробежный момент инерции определяется интегралом произведений элементарных площадей на их расстояния до двух взаимно перпендикулярных осей
Размерность моментов инерции – единицы длины в четвертой степени. Осевые и полярный момент инерции всегда положительны, центробежный момент инерции может принимать значения «+», «–» и ноль. Если фигура имеет ось симметрии, то относительно этой оси центробежный момент инерции равен нулю.
Пример 2. Найти моменты инерции прямоугольника относительно центральных осей, параллельных основанию и высоте.
Решение.
dA – элементарная площадь;
Аналогичное решение относительно оси у. Таким образом
Пример 3.
Найти моменты инерции круглого и кольцевого сечений.
|
|
|
Решение.
Площадь элементарного кольца радиусом ρ и толщиной dρ: dA=2πρ⋅dρ. Полярный момент инерции круга:
Поскольку имеется связь Ip=Iz+Iy, а для круга
Таким образом, полярный и осевые моменты инерции круга
МОМЕНТ СОПРОТИВЛЕНИЯ
Момент сопротивления – отношение момента инерции к расстоянию до наиболее удаленной точки.
В расчетах на прочность при изгибе используют осевые моменты сопротивления
Например, для прямоугольника
В расчетах на прочность при кручении сечений круглого профиля используют полярный момент сопротивления
Так, для круга и кольца соответственно
Примечание. Для сечений некруглого профиля, например прямоугольного, моменты инерции и моменты сопротивления вычисляют по специальным формулам, включающим высоту и ширину профиля, а также коэффициент, зависящий от отношения высоты к ширине.
ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ МОМЕНТАМИ ИНЕРЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОСЕЙ
С – центр тяжести фигуры площадью А; оси z, y – центральные; a, b – расстояния между параллельными осями. Новые координаты для произвольной площадки dA:
Интеграл I – момент инерции фигуры относительно центральной оси; интеграл II – статический момент площади A относительно оси y равен нулю, поскольку эта ось является центральной; интеграл III – площадь А фигуры.
|
|
|
Момент инерции относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно центральной оси, параллельной данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями.
Для центробежного момента инерции
Дата добавления: 2020-12-22; просмотров: 120; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!