Площадь четырехугольника с взаимно перпендикулярными диагоналями.

Формула для вычисления площади четырехугольника с взаимно перпендикулярными диагоналями: Площадь четырехугольника с взаимно перпендикулярными диагоналями равна половине произведения его диагоналей.

Дано:

ABCD – четырехугольник;

AC^BD.

Доказать: .

Доказательство:

1. Обозначим ACÇBD=O. Поскольку AC^BD, AO – высота DABD, а CO – высота DCBD (рисунки 18а и 18б для случаев выпуклого и невыпуклого четырехугольников соответственно).

2.
 (знаки «+» или «-» соответствуют случаям выпуклого и невыпуклого четырехугольников соответственно).                                                                                                                                                 #

9. Прямая и обратная теоремы Пифагора.

Теорема Пифагора играет исключительно важную роль в решении самых разнообразных задач; она позволяет находить неизвестную сторону прямоугольного треугольника по двум известным его сторонам. Известно множество доказательств теоремы Пифагора. Приведем наиболее простое из них, опирающееся на формулы для вычисления площадей квадрата и треугольника:

Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано:

DABC – п/у;

ÐA=90°.

Доказать:

BC²=AB²+AC².

Доказательство:

1. Обозначим AC=a, AB=b. Отложим на луче AB отрезок BP=a, а на луче AC – отрезок CV=b (рисунок 19). Проведем через точку P прямую PRïêAV, а через точку V – прямую VRïêAP. Тогда APRV - п/г по определению. При этом поскольку ÐA=90°, APRV – прямоугольник. А т.к. AV=a+b=AP, APRV – квадрат со стороной a+b, и S_APRV=(a+b)². Далее поделим сторону PR точкой Q на отрезки PQ=b и QR=a, а сторону RV – точкой T на отрезки RT=b и TV=a.

2. DABC=DPQB=DRTQ=DVCT по двум катетам, Þ ÐACB=ÐPBQ=ÐRQT=ÐVTC, BC=QB=TQ=CT, и
.

3. Т.к. BC=QB=TQ=CT, CBQT – ромб. При этом ÐQBC=180°-(ÐABC+ÐPBQ)=180°-(ÐABC+ÐACB)=ÐBAC=90°; Þ CBQT – квадрат, и S_CBQT=BC².

4. . Итак, BC²=AB²+AC².                                                                                                                                                                                                  #

 

Обратная теорема Пифагора является признаком прямоугольного треугольника, т.е. позволяет по трем известным сторонам треугольника проверить, является ли он прямоугольным.

Обратная теорема Пифагора: Если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то этот треугольник прямоугольный, а его большая сторона является гипотенузой.

Дано:

DABC;

BC²=AB²+AC² .

Доказать: DABC – п/у;

ÐA=90°.

Доказательство:

1. Построим прямой угол A₁ и на его сторонах отложим отрезки A₁B₁=AB и A₁C₁=AC (рисунок 20). В полученном п/у DA₁B₁C₁ по теореме Пифагора B₁C₁²=A₁B₁²+A₁C₁²=AB²+AC²; но по условию AB²+AC²=BC²; Þ B₁C₁²=BC², Þ B₁C₁=BC.

2. DABC=DA₁B₁C₁ по трем сторонам (A₁B₁=AB и A₁C₁=AC по построению, B₁C₁=BC из п.1), Þ ÐA=ÐA₁=90°, Þ DABC - п/у.                                                                                                    #

 

 

Прямоугольные треугольники, длины сторон которых выражаются натуральными числами, называются пифагоровыми треугольниками, а тройки соответствующих натуральных чисел – пифагоровыми тройками. Пифагоровы тройки полезно помнить (большее из этих чисел равно сумме квадратов двух других). Приведем некоторые пифагоровы тройки:

3, 4, 5;

5, 12, 13;

8, 15, 17;

7, 24, 25;

20, 21, 29;

12, 35, 37;

9, 40, 41.

Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 использовался в Египте для построения прямых углов, в связи с чем такой треугольник называют египетским.

 

10. Формула Герона.

Формула Герона позволяет находить площадь произвольного треугольника по трем его известным сторонам и является незаменимой при решении многих задач.

Формула Герона: Площадь треугольника со сторонами a, b и c вычисляется по следующей формуле: , где  ‑ полупериметр треугольника.

Дано :

DABC;

BC=a; AC=b; AB=c.

Доказать: ,

где .

Доказательство:

1. Пусть ÐB – наибольший из углов треугольника ABC (рисунок 21), тогда ÐA и ÐC – острые, и основание высоты BH лежит на стороне AC (а не на ее продолжении).

2. Обозначим BH=h, AH=x, тогда CH=b - x. По теореме Пифагора из D-ков ABH и CBH получаем: BH²=AB²-AH²=BC²-CH².

3. Из пункта 2 получаем: , Þ
. Подставим полученное выражение для x в формулу для вычисления высоты h и проведем преобразования:


 (здесь учтено, что периметр DABC вдвое больше полупериметра: ). Тогда .

4. Подставим полученное выражение для высоты в формулу для вычисления площади треугольника: .                                                                                                                                                                                                                            #

 

---

Дата добавления: 2020-11-29; просмотров: 1373; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!