Средние структурные показатели
Тема 2. ОБОБЩАЮЩИЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ
ПЛАН:
1. Понятие, функции и виды обобщающих статистических показателей.
2. Абсолютные показатели.
3. Относительные показатели.
4. Средние показатели.
Понятие, функции и виды обобщающих статистических показателей
Экономико-статистические показатели содержат количественную характеристику тех или иных свойств экономических явлений и представляют собой их модель. С помощью показателей определяются результаты экономической деятельности и состояние общества. Система статистических показателей основана на содержательном единстве характеристик объекта исследования. Развитие систем статистических показателей происходит в соответствии с развитием отражаемой объективной реальности и в результате углубления процессов познания реальных систем. Показатели формализуют содержание изучаемых социально-экономических явлений.
Обобщающие статистические показатели отражают количественную сторону изучаемой совокупности общественных явлений, представляют собой их величину, выраженную соответствующей единицей измерения. Каждый статистический показатель должен с возможной точностью соответствовать сущности того явления, которое измеряется с его помощью.
Поскольку статистика изучает массовые явления, статистический показатель – это обобщающая характеристикакакого-то свойства совокупности, группы. Этим он отличается от индивидуальных значений, которые, как отмечалось, называются признаками.Например, средняя продолжительность ожидаемой жизни родившегося поколения людей в стране – статистический показатель, а продолжительность жизни конкретного человека – признак.
|
|
|
Являясь отображением каких-либо свойств изучаемых явлений и процессов, статистический показатель служит орудием их познания. Но всякое знание всегда ограничено, неполно соответствует изучаемому объекту. Ни один статистический показатель, ни даже целая их системане могут отразить все свойства, все особенности объекта и даже часть этих свойств с абсолютной точностью. Статистический показатель – приближённое, неточное и неполное отображение свойств изучаемого объекта, доступное при имеющемся уровне знаний и возможностях учёта, измерения, сбора и передачи информации. Известно, что бывают и сознательные искажения данных – приписки. Если же речь идет о сложных свойствах жизни общества, как-то: уровень материального благосостояния, эффективность производственного процесса, культурный уровень населения, то главной причиной неточности, неполноты отображения этих сторон общественной жизни статистическими показателями является недостаточное развитие тех наук, которые формируют указанные категории, и трудности перехода от их качественного описания к количественному измерению.
|
|
|
Статистические показатели не есть нечто раз навсегда застывшее. Одни развиваются, улучшаются, от иных отказываются за ненадобностью, взамен создаются новые.
Система экономико-статистических показателей призвана выполнять ряд функций:
1). Познавательная (информационная) функция заключается в том, что статистические показатели характеризуют состояние и развитие изучаемых явлений, направление и интенсивность процессов (сведения о налогах, трудоустройстве, среднем возрасте и т. д.). Без статистической информации невозможно познание закономерностей природных и социальных массовых явлений, их регулирование либо прямое управление. Отдельный человек или семья, не представляющая, сколько в среднем за месяц или за год она расходует на покупку продуктов питания, на обувь и одежду, на оплату коммунальных услуг, не может рационально расходовать средства, планировать свой бюджет. Условием выполнения статистическими показателями их информационной, познавательной функции является их научное обоснование и достаточно точное и надёжное, а также своевременное количественное определение.
|
|
|
2). Функция мониторинга и анализа означает, что с помощью статистических показателей проводится постоянное наблюдение за социально-экономическими явлениями и процессами.
3). Управленческая функция состоит в том, что на базе проведённого анализа состояния явления, зафиксированного в виде статистических показателей, принимается соответствующее управленческое решение (план, нормативы, разряды, ставки). Попытки управлять государством субъективно, интуитивно, не опираясь на систему достаточно надёжных статистических показателей – прямой путь к социальному, экономическому и политическому кризису.
4). Оценочная функция заключается в том, что на их основе люди, общество и государство оценивают фактические результаты деятельности предприятий, организаций, трудовых коллективов и правительств. Великий немецкий писатель, поэт и мыслитель И. В. Гёте за два года до своей смерти в разговоре со своим секретарем Й. Эккерманном сказал: «Считают, будто числа управляют миром. Но я знаю, что числа учат нас узнавать, хорошо ли мир управляется». А русский статистик, первый автор учебника статистики в России, К. Ф. Герман (1767-1838) писал: «Статистик есть публичный провозвестник и доброго, и худого, и контролер правительства». Да, по надёжным, «истинным» статистическим показателям, а не по речам и рекламным роликам, население может и должно оценивать деятельность руководителей всех рангов. Но при этом недопустимо такую оценку давать по отдельному показателю, произвольно вырванному из системы. Так, неверно оценивать успешность развития экономики страны только по показателю низкой инфляции или только по внешнеторговому сальдо – по любому отдельно взятому статистическому показателю.
|
|
|
5). Прогностическая функция –статистические показатели используются для предвидения будущего. Конечно, данная функция присуща не всем статистическим показателям, а тем из них, которые используются при моделировании массовых процессов.
Общая классификация статистических показателей осуществляется на основе тесной связи их качественной и количественной стороны.
По качественным характеристикам выделяют две группы показателей:
1). Показатели конкретных свойств изучаемого объекта – это, например, средний возраст работников предприятия, объём реализованной продукции предприятия, валовой внутренний продукт государства, средний надой молока на корову на ферме, объём перевозок груза автопарком, показатели рождаемости, смертности, обеспеченности населения товарами и услугами, национальное богатство, средний душевой доход жителя страны и т. д. Особенностью этих показателей является то, что они формируются не только статистикой. В построении этих показателей качественное их содержание определяется конкретной предметной наукой: показатель рождаемости – демографией, показатель внутреннего валового продукта – теорией экономики, показатели урожайности, продуктивности скота – соответствующими сельскохозяйственными науками. Статистика же отвечает за методику учёта или расчёта количественной стороны этих показателей и их форму.
2). Показатели статистических свойствлюбых массовых явлений и процессов, не зависящих от конкретного содержания этих явлений. К таким статистическим показателям относятся: средние величины, показатели вариации, показатели связи признаков, показатели структуры и характера распределения, показатели скорости и темпов изменения, показатели колеблемости в динамике. К ним же относятся статистические оценки степени точности и надёжности любых конкретных статистических показателей, полученных при выборочном изучении совокупности, а также оценки надёжности и точности статистических прогнозов. За качественную, как и количественную сторону этих показателей, за их построение, интерпретацию и применение отвечает не какая-либо иная научная дисциплина, а только сама статистика. Система таких показателей создается и совершенствуется в ходе развития методов статистики. Теоретическая статистика разрабатывает и изучает содержание, форму, методы расчета этих показателей в общем виде: что такое средняя арифметическая величина, коэффициент вариации, уравнение тренда ряда динамики. Если же любой из этих показателей рассчитан для определённого объекта, признака, периода времени, то он становится уже конкретным показателем.
По количественной форме выражения, обобщающие статистические показатели подразделяются на три группы: абсолютные, относительные и средние.
Абсолютные показатели
Исходной, первичной формой выражения статистических показателей являются абсолютные величины.
Изучая массовые общественные явления, статистика в своих выводах опирается на числовые данные, полученные в конкретных условиях места и времени. Результаты статистического наблюдения регистрируются прежде всего в форме первичных абсолютных величин, отражающих уровень развития явления или процесса. Так, основная масса народнохозяйственных абсолютных показателей фиксируется в первичных учётных документах.
Абсолютные величины получают в результате статистического наблюдения и сводки статистической информации. Практически статистическая информация формируется из абсолютных величин, отражающих естественную сторону явлений.
Абсолютные величины как обобщающие показатели выражают либо численность единиц статистической совокупности (численность экономически активного населения, количество предприятий различных форм собственности и т. д.), либо объём признаков совокупности (размер инвестиций, затраты на рабочую силу и т. д.). Абсолютные обобщающие показатели характеризуют размеры, объёмы, уровни, мощности, темпы и др. изменения различных социально-экономических явлений и процессов.
Абсолютные обобщающие показатели— это число единиц по совокупности в целом или по её отдельным группам, которое получают в результате суммирования зарегистрированных значений признаков первичного статистического материала. Данные показатели могут быть получены и расчётным путём на основе других показателей (например, прирост банковских вкладов населения за период определяется как разность вкладов на конец и начало периода).
В статистике, в отличие от математики, все абсолютные величины являются именованными, обладают конкретной размерностью, а также могут быть положительными (прибыль) и отрицательными (убыток). Они всегда имеют единицы измерения, которые определяют сущность абсолютной величины.
В зависимости от социально-экономической сущности изучаемых явлений, их физических свойств, они выражаются в натуральных, стоимостных и трудовых единицах измерения.
Натуральные единицы измерения отражают величину предметов и вещей с однородными свойствами в физических мерах длины, объёма, веса, площади и т. п. Натуральные единицы измерения могут быть простыми, отражающими одно свойство величины (тонны, штуки, метры, квадратные метры, литры) и сложными, являющимися комбинацией нескольких разноименных величин (грузооборот железнодорожного транспорта выражается в тонно-километрах, производство электроэнергии – в киловатт-часах, урожайность сельскохозяйственных культур – в центнерах с гектара). Недостаток натуральных единиц заключается в том, что они не позволяют суммировать разнородные величины.
Условно-натуральные единицы измерения применяются к абсолютным величинам с однородными свойствами, но проявляющим их по-разному (например, различные виды топлива пересчитываются в условное топливо, мощность двигателя измеряется в лошадиных силах). Например, общая масса энергоносителей (дрова, торф, каменный уголь, нефтепродукты, природный газ) измеряется в т.у.т. — тонны условного топлива, поскольку каждый его вид имеет разную теплотворную способность, а за стандарт принято 29,3 МДж/кг. Аналогично общее количество школьных тетрадей измеряется в у.ш.т. — условные школьные тетради размером 12 листов. Аналогично продукция консервного производства измеряется в у.к.б. — условные консервные банки емкостью 1/3 литра. Аналогично продукция моющих средств приводится к условной жирности 40%.
Стоимостные единицы измерения характеризуют явления и процессы в денежном выражении (руб., евро, $ и т. д.) и позволяют получать различные сводные показатели. Стоимостные единицы измерения используются, например, для выражения объёма разнородной продукции в стоимостной (денежной) форме – рублях. Недостаток стоимостных единиц в том, что часто не учитывается негативное изменение экономических условий в виде инфляции. При использовании стоимостных измерителей принимают во внимание изменение цен с течением времени. Этот недостаток стоимостных измерителей преодолевается пересчётом стоимостных величин с применением сопоставимых цен одного и того же периода.
Трудовые единицы измерения позволяют учитывать как общие затраты труда на производство продукции на предприятии, так и трудоёмкость отдельных операций технологического процесса (часы, дни, месяцы, чел-часы, чел-дни).
Виды абсолютных показателей:
А). По способу выражения размеров признаков:
1). Индивидуальные абсолютные величины характеризуют размеры количественных признаков у отдельных единиц совокупности. Индивидуальные абсолютные величины получают в результате статистического наблюдения как результат замера, взвешивания, подсчёта и оценки количественного признака и фиксируют в первичных документах. В дальнейшем они служат основанием при статистической сводке и группировке.
2). Суммарные (сводные) абсолютные величины выражают итоговое значение признака у всей изучаемой статистической совокупности в целом или какой-либо её части. Они получаются в результате сводки и группировки индивидуальных значений.
Б). По временному охвату:
1). Моментные величины показывают фактическое наличие или количественный уровень явления на определённый момент времени или дату (например, наличие запасов материалов или оборотных средств, величина незавершённого производства, численность проживающих и т. п.).
2). Интервальные величины – это итоговый накопленный результат за определённый период времени (например, выпуск продукции за месяц, квартал, год или заработная плата за месяц, квартал, год, прирост населения за тот или иной период и т. д.). В отличие от моментных, интервальные абсолютные величины допускают последующее суммирование.
Абсолютные показатели могут быть сравнимы в разные периоды времени (прошлый, настоящий, будущий). При этом рассчитываются абсолютные отклонения.
Пример. Стоимость основных фондов, тыс. руб.
| Стоимость основных фондов | Стоимость на начало года | Стоимость на конец года | Абсолютные отклонения |
| 1. Здания | 1010 | 1010 | - |
| 2. Сооружения | 900 | 920 | +20 |
| 3. Придаточные устройства | 740 | 735 | -5 |
| 4. Транспортные средства | 480 | 510 | +30 |
| ВСЕГО: | 3130 | 3175 | +45 |
По данным таблицы можно сделать вывод, что стоимость основных средств на конец года увеличилась на 45 тысяч рублей.
Абсолютные величины отражают наличие тех или иных ресурсов, это основа материального учёта. Они наиболее объективно отражают развитие экономики. Они служат для описания фактического состояния объекта, установления плановых и прогнозных значений. Абсолютные показатели позволяют точно характеризовать объект в данный момент времени, но должны уточняться в динамике (сопоставимые цены, инвестиции с учётом инфляции и т. д.).
Сама по себе абсолютная величина не даёт полного представления об изучаемом явлении, так как не показывает его структуру, соотношение между отдельными частями, развитие во времени. В ней не выявляется взаимосвязь с другими абсолютными показателями. Эти функции выполняют определяемые на основе абсолютных величин относительные показатели. Абсолютные величины являются основой для расчёта разных относительных статистических показателей.
Относительные показатели
Одной из наиболее распространённых обобщающих величин в статистике является относительная величина (показатель).
Относительная величина в статистике – это обобщающий показатель, который выражает количественное соотношение между общественными явлениями, отражаемыми двумя сопоставимыми абсолютными величинами. Относительные показатели выражают соотношение между количественными характеристиками социально-экономических явлений и процессов. Так как многие абсолютные величины взаимосвязаны, то и относительные величины одного типа в ряде случаев могут определяться через относительные величины другого типа. Относительные показатели являются производными, вторичными по отношению к абсолютным.
Относительным показателемявляется показатель, полученный путём сравнения, сопоставления абсолютных или относительных показателей в пространстве (между объектами), во времени (по одному и тому же объекту) или сравнения показателей разных свойств изучаемого объекта.
Относительные статистические показатели, получаемые при сопоставлении абсолютных показателей, могут быть названы относительными показателями первого порядка,а полученные при сопоставлении относительных же показателей – показателями высших (второго, третьего и т. д.) порядков.
По общему правилу, относительные показатели получаются в результате деления одной абсолютной величины на другую.
При расчёте относительных показателей, абсолютный показатель, находящийся в числителе получаемого отношения, называется текущим, или сравниваемым.
Показатель, с которым производится сравнение и который находится в знаменателе дроби, называется основанием, или базой сравнения.
Относительные показатели могут выражаться в коэффициентах, долях, кратных соотношениях, быть именованными числами. Коэффициенты применяются для обозначения результата соотношения двух однородных абсолютных величин с одинаковой размерностью. В случае если основание принимается за 100, относительная величина выражается в процентах(%), если за 1000 — в промилле (% о ), если за 10 000 – в продецимилле (%оо). Проценты применяются в тех случаях, когда сравниваемый показатель превосходит базисный не более, чем в 2-3 раза. Проценты свыше 200-300 заменяются кратным соотношением, коэффициентом (вместо 360% – в 3,6 раза). В результате сопоставления одноименных абсолютных величин получают неименованные относительные величины.
Основное условие правильного расчёта относительной величины – сопоставимость сравниваемых показателей и наличие реальных связей между изучаемыми явлениями. Таким образом, по способу получения относительные показатели – всегда величины производные, определяемые в форме коэффициентов, процентов, промилле, продецимилле и т. п. Однако нужно помнить, что этим безразмерным по форме показателям может быть, в сущности, приписана конкретная, и иногда довольно сложная, единица измерения. Так, например, относительные показатели естественного движения населения, такие как коэффициенты рождаемости или смертности, исчисляемые в промилле (‰), показывают число родившихся или умерших за год в расчёте на 1 000 человек среднегодовой численности; относительная величина эффективности использования рабочего времени – это количество продукции в расчёте на один отработанный человеко-час и т. д.
Если относительная статистическая величина – результат соотношения двух абсолютных величин с разной размерностью, то она приобретает дробную размерность, принимая статус показателя.Например, это всем известные: себестоимость продукции в руб./ед., её цена в руб./ед., производительность рабочей силы в руб./чел., энергоотдача производства в руб./кВт ч и другие показатели.
Относительная величина показывает, во сколько раз сравниваемая величина больше или меньше базисной, или какую долю первая составляет по отношению ко второй. В ряде случаев относительная величина показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой.
Важным свойством относительных показателей является то, что они абстрагируют различия абсолютных величин и позволяют сравнивать такие явления, абсолютные размеры которых непосредственно не сопоставимы.
Относительные величины применяются для качественного статистического анализа динамики, структуры, координации, сравнения и интенсивности изучаемых явлений. При этом безразмерные относительные величины наряду с именованием коэффициентами часто именуются индексами.
Относительные показатели при исследовании экономических явлений и процессов изучаются совместно с абсолютными показателями и обеспечивают сопоставимость сравниваемой и базовой величин.
Построение относительных показателей – задача, требующая сочетания конкретного знания свойств объекта и общих закономерностей статистической методологии. Остановимся на общих логико-статистических принципах построения относительных показателей.
1. Сравниваемые в относительном показателе абсолютные (или, в свою очередь, относительные) показатели должны быть чем-то связаны в реальной жизни объективно, независимо от нашего желания. Если этого условия нет, получится согласно русской поговорке «В огороде – бузина, а в Киеве – дядька». Связать этого «дядьку» с «бузиной» чисто математически, разделив одно число на другое, можно, но никакого относительного показателя мы не построим.
Необходимо добиваться как можно большего соответствия по смыслу сравниваемых показателей. Например, мы хотим построить относительный показатель, характеризующий степень грамотности населения. Можно разделить число грамотных на общую численность населения, но это не лучший из показателей. Ведь ясно, что дети до 6 лет, некоторые категории инвалидов с детства, душевнобольных не могут наравне со здоровыми и достигшими школьного возраста людьми быть обучены грамоте. Из всего населения эти категории лиц правильнее исключить при построении относительного показателя грамотности.
2. При построении относительного статистического показателя сравниваемые исходные показатели могут различаться только одним атрибутом: или видом признака (при одинаковом объекте, периоде времени, плановом или фактическом характере показателей), или временем (при том же признаке, объекте и т. п.), или только фактическим, плановым или нормативным характером показателей (тот же объект, признак, время) и т. д.Нельзя сопоставлять показатели, различные по двум и более атрибутам, скажем, сравнивать добычу угля в США в 1980 г. с выплавкой стали в Российской Федерации в 1992 г.
3. Необходимо знать возможные границы существования относительного показателя. Например, относительные показатели вариации теряют смысл и не могут применяться в тех случаях, когда их знаменатели – средние значения признаков близки к нулю, потому что при стремлении знаменателя к нулю относительный показатель стремится к абсурдному бесконечному значению. Аналогично если исходные показатели в текущем и базисном периодах имеют разные знаки, то теряет смысл и не может применяться относительная величина динамики – темп роста.
Если предприятие имело в 1992 г. убыток 150 млн. руб., а в 1993 г. получило прибыль 300 млн. руб., неверно ни то, что «финансовый результат вырос вдвое» (если отбросить знаки), ни то, что он «вырос в минус 2 раза», если делить +300 млн. на -150 млн.
Относительные показатели, измеряющие степень приближения некоторого признака к предельному значению, должны строиться так, чтобы в пределе увеличения они стремились к единице, а в другом пределе своего уменьшения – к нулю. Так строятся коэффициенты, измеряющие тесноту связи признаков, степень эффективности использования ресурсов, скажем, коэффициент полезного действия двигателя.
Относительные величины образуют систему взаимосвязанных статистических показателей. По содержанию выражаемых количественных соотношений выделяют следующие типы относительных величин.
1. Относительный показатель планового задания. Он определяется как отношение значений одной и той же абсолютной величины по плану анализируемого периода и по факту базисного.
Относительная величина планового задания:
Плановый показатель / базисный показатель.
ОППЗ 
2. Относительный показатель выполнения плана. Рассчитывается как отношение фактически достигнутого в данном периоде уровня к запланированному.
На практике различают две разновидности относительных показателей выполнения плана. В первом случае сравниваются фактические и плановые уровни. Во втором случае в плановом задании устанавливается абсолютная величина прироста или снижения показателя и соответственно проверяется степень выполнения плана по этой величине. Так, если планировалось снизить себестоимость единицы продукции на 24,2 руб., а фактическое снижение составило 27,5 руб., то плановое задание по снижению себестоимости выполнено с ростом в 27,5 : 24,2 = 1,136 раза, т. е. план перевыполнен на 13,6 %. Показатель выполнения плана по уровню себестоимости в данном случае будет меньше единицы. Если фактическая себестоимость изделия равнялась 805,8 руб. при плановой 809,1 руб., то величина выполнения плана составила 805,8 : 809,1 = 0,996, или 99,6 %. Фактический уровень затрат на одно изделие оказался на 0,4 % ниже планового.
В аналитических расчётах при исследовании взаимосвязей чаще применяется оценка выполнения плана по уровню показателя. Оценка же выполнения плана по изменению уровня обычно приводится для целей иллюстрации, особенно если планируется снижение абсолютного значения затрат, расходов по видам и т. п.
Относительная величина выполнения плана:
Достигнутый показатель / плановый показатель.
ОПВП 
3. Относительный показатель динамики. Характеризует изменение уровня развития какого-либо явления во времени. Получается в результате деления уровня признака в определённый период или момент времени на уровень этого же показателя в предшествующий период или момент.
Критериальным значением относительного показателя динамики служит единица. Если он больше её, имеет место рост явления; равен единице – стабильность; если меньше единицы, наблюдается спад явления.
Относительная величина динамики:
Достигнутый показатель / базисный показатель.
ОПД 
или ОПД 
.
Относительные величины динамики, планового задания и выполнения плана связаны соотношением 
i=iпл.з.× iвып.пл.
ОПД = ОППЗ · ОПВП 
.
4. Относительный показатель структуры. Характеризует доли, удельные веса составных элементов в общей совокупности. Как правило, их получают в форме процентного содержания:
Для аналитических расчётов предпочтительнее использовать коэффициентное представление, без умножения на 100.
Совокупность относительных величин структуры показывает строение изучаемого явления. При исчислении относительных показателей структуры необходимо, чтобы части, относимые к целому, и само целое были равномасштабными.
Таблица 1. Структура основных фондов, тыс. руб.
| Основные Фонды | Стоимость на начало года | Стоимость на конец года | Удельный вес. % | |
| Начало года | Конец года | |||
| 1. Здания | 1010 | 1010 | 
| 32 |
| 2. Сооружения | 900 | 920 | 29 | 29 |
| 3. Придаточные устройства | 740 | 735 | 24 | 23 |
| 4. Транспортные средства | 480 | 510 | 13 | 16 |
| ВСЕГО: | 3130 | 3175 | 100 | 100 |
Относительная величина структуры:
Отношение частей и целого.
ОПС 
5. Относительный показатель координации (ОПК). Характеризует отношение частей данной совокупности к одной из них, принятой за базу сравнения. ОПК показывают, во сколько раз одна часть совокупности больше другой либо сколько единиц одной части приходится на 1, 10, 100, 1000, ... единиц другой части. Относительные величины координации могут рассчитываться и по абсолютным показателям, и по показателям структуры. Они получаются посредством деления друг на друга разноимённых исходных показателей. Они дают типическую характеристику соотношения однопорядковых по значимости исходных показателей, во-первых, непосредственно связанных между собой, во-вторых, обладающих некоторой общностью (производительность труда, плотность населения).
Например, на начало 1984 года в нашей стране насчитывалось 128,8 млн. мужчин и 145,5 млн. женщин. Следовательно, на 1000 мужчин приходилось:
женщины.
По относительным величинам координации можно восстановить исходные относительные показатели структуры, если вычислить отношение относительной величины координации данной части (ОВК) к сумме всех ОВК (включая и ту, которая принята за базу сравнения):
.
Относительная величина координации:
Соотношение частей целого между собой.
ОПК 
6. Относительный показатель сравнения (ОПС). Характеризует сравнительные размеры одноименных абсолютных величин, относящихся к одному и тому же периоду либо моменту времени, но к различным объектам или территориям. Посредством этих показателей сопоставляются мощности различных видов оборудования, производительность труда отдельных рабочих, производство продукции данного вида разными предприятиями, районами, странами. Например, по производству нефти и газа в 1985 г. СССР превосходил США: по нефти – в 1,36 раза, по газу – в 1,24 раза. Уровень производства электроэнергии (млрд. кВт • ч) в СССР составлял от уровня США 1544:2650 = 0,583, или 58,3 %.
Сопоставляя показатели динамики разных явлений, получают ещё один вид относительных величин сравнения – коэффициенты опережения (отставания) по темпам роста или прироста. Так, если производительность труда на предприятии возросла на 12%, а фонд оплаты труда увеличился на 7,5 %, то коэффициент опережения производительности труда по темпам роста составит 112 : 107,5 = 1,042; коэффициент опережения по темпам прироста равен 12 : 7,5 = 1,60.
ОПСр 
7. Относительный показатель интенсивности. Характеризует степень распределения или развития данного явления в той или иной среде. Выражает соотношение между разноимёнными показателями. Применяется для характеристики отношения между разными признаками одной совокупности или между объёмами двух органически связанных друг с другом совокупностей. Представляет собой отношение абсолютного уровня одного показателя, свойственного изучаемой среде, к другому абсолютному показателю, также присущему данной среде и, как правило, являющемуся для первого показателя факторным признаком. Так, при изучении демографических процессов рассчитываются показатели рождаемости, смертности, естественного прироста и т. д. как отношение числа родившихся (умерших) или величины прироста населения за год к среднегодовой численности населения данной территории в расчете на 1000 чел. Если получаемые значения очень малы, то делают расчет на 10 000 человек. Так, по состоянию на 1987 г. имеем в целом по стране Крожд. = 19,8 ‰, Кест.прирост = 9,9 ‰. В том числе по г. Новосибирску Крожд. = 15,2 ‰, Ксм.= 9,1 ‰, Кбрачности = 10,9 ‰, Кразв. = 5,2 ‰ и т. д.
Относительными величинами интенсивности выступают, например, показатели выработки продукции в единицу рабочего времени, затрат на единицу продукции, трудоёмкости, эффективности использования производственных фондов и т. д., поскольку их получают сопоставлением разноименных величин, относящихся к одному и тому же явлению и одинаковому периоду или моменту времени. Метод расчёта относительных величин интенсивности применяется при определении средних уровней (среднего уровня выработки, средних затрат труда, средней себестоимости изделий, средней цены и т. д.). В связи с этим распространено мнение, что относительные величины интенсивности – это один из способов выражения средних величин.
Обычно ОПИ рассчитывается в тех случаях, когда абсолютная величина оказывается недостаточной для формулировки обоснованных выводов о масштабах явления, его размерах, насыщенности, плотности распространения. Так, например, для определения уровня обеспеченности населения легковыми автомобилями рассчитывается число автомашин, приходящихся на 100 семей, для определения плотности населения рассчитывается число людей, приходящихся на 1 км2.
Например, если число граждан, состоящих на учёте в службе занятости, составляет 3064 тыс. человек, а число заявленных предприятиями вакансий – 309 тыс., то на каждых 100 незанятых приходилось 10 свободных мест ( 
).
Разновидностью относительных показателей интенсивности являются относительные показатели уровня экономического развития, характеризующие производство продукции в расчёте на душу населения и играющие важную роль в оценке развития экономики государства. Так как объёмные показатели производства продукции по своей природе являются интервальными, а показатель численности населения – моментным, в расчётах используют среднюю за период численность населения. Об уровне развития экономики корректнее судить не по абсолютной величине валового национального продукта, а по относительному показателю ВНП на душу населения, который и используется в международных сопоставлениях.
ОПИ 
Пример 1. Относительные показатели планового задания и выполнения плана
По промышленному предприятию за отчётный год имеются следующие данные о выпуске продукции:
| Наиме-нование продукции | План на I кв., тыс. шт. | Фактический выпуск, тыс. шт. | Отпускная цена единицы продукции, руб. | ||
| Январь | Февраль | Март | |||
| Изделие 1 | 335 | 110 | 115 | 108 | 1700 |
| Изделие 2 | 225 | 75 | 90 | 100 | 2080 |
Определить процент выполнения квартального плана по выпуску каждого вида изделий и в целом по выпуску всей продукции. Найти объём фактического товарооборота за квартал.
Решение:
1). Находим квартальный фактический выпуск:
а) по изделию 1: Х1факт=110+115+108=333 тыс. шт.;
б) по изделию 2: Х2факт=75+90+100=265 тыс. шт.
2). Определяем относительные показатели выполнения плана:
а) по изделию 1:
ОПВП1 
б) по изделию 2:
ОПВП2 
По изделию 1 план недовыполнен на 0,6%, а по изделию 2 план перевыполнен на 17,8%.
3). Относительный показатель выполнения плана по выпуску всей продукции:
ОПВП 
Общий план выпуска продукции по предприятию перевыполнен на 3,1%.
4). Объём фактического товарооборота:
а) по изделию 1: V1=X1факт·P1=333·1700=566100 тыс. руб.
б) по изделию 2: V2=X2факт·P2=265·2080=551200 тыс. руб.
в) в целом по предприятию: V=V1+V2=566100+551200=1117300 тыс. руб.
Пример 2. Относительные показатели динамики
Потребление электроэнергии в регионе характеризуется следующими данными: в предыдущем году – 45,2 млрд. кВт·ч, в следующем году – 49,8 млрд. кВт·ч. Среднегодовая численность населения региона составила: в предыдущем году – 8,7 млн. чел., в следующем году – 9,2 млн. чел. Определить, насколько процентов изменилось потребление электроэнергии на душу населения.
Решение:
1). Потребление электроэнергии на душу населения:
а) в предыдущем году:
б) в следующем году:
2). Изменение в потреблении электроэнергии по сравнению с предыдущим годом определяем через относительный показатель динамики:
ОПД 
Потребление электроэнергии на душу населения за рассматриваемый период увеличилось на 4,2%.
Пример 3. Относительные показатели структуры
Общий объём продукции, произведенной тремя предприятиями, составил 2546 млн. руб., в том числе: предприятие А – 45,6%; предприятие Б – 23,5; предприятие В – 30,9%. Определить фактический объём продукции, произведённой каждым предприятием в отдельности.
Решение:
Относительные показатели структуры вычисляются по формуле:
ОПСi 
Отсюда можно выразить фактический объём продукции х i:
Подставляем исходные данные задачи в указанную формулу:
а) для предприятия А: хА=(2546·45,6%)/100%=1161,0 (млн. руб.);
б) для предприятия Б: хБ=(2546·23,5%)/100%=598,3 (млн. руб.);
в) для предприятия В: хВ=(2546·30,9%)/100%=786,7 (млн. руб.).
Пример 4. Относительные величины сравнения
По данным о численности населения и площади территории стран А и Б определить плотности населения и сравнить их.
| Страна | Численность населения, тыс. чел. | Территория, тыс. кв. км |
| А Б | 253259 48830 | 22402,2 603,7 |
Решение:
Плотность населения представляет собой отношение численности населения к площади территории:
а) для страны А: хА=253259/22402,2=11,3 (чел./кв. км);
б) для страны Б: хБ=48830/603,7=80,9 (чел./кв. км).
Определяем относительный показатель сравнения:
Плотность населения в стране Б превышает плотность населения в стране А более, чем в 7 раз.
Пример 5. Относительные показатели интенсивности
Оценить динамику уровня экономического развития России по следующим данным:
| Показатель | 2002 | 2007 | 2012 |
| Валовый внутренний продукт в текущих ценах, млрд. руб. | 10830,5 | 33247,5 | 62218,4 |
| Среднегодовая численность населения, млн. чел. | 145,1 | 142,8 | 143,2 |
Решение:
Наиболее общим относительным показателем уровня экономического развития государства является ВВП на душу населения:
а) 2002 год: ВВП на д/н = 10830,5/145,1 = 74,6 тыс. руб./чел.;
б) 2007 год: ВВП на д/н = 33247,5/142,8 = 232,8 тыс. руб./чел.;
в) 2012 год: ВВП на д/н = 62218,4/143,2 = 434,5 тыс. руб./чел.
Динамика ВВП на душу населения составляет:
а) за период 2002 – 2007 годов:
ОПД1 
б) за период 2007 – 2012 годов:
ОПД2 
в) за весь период 2002 – 2012 годов:
ОПД 
Таким образом, ВВП на душу населения в текущих ценах за десять лет вырос в 5,8 раза.
Средние показатели
Среди обобщающих показателей, характеризующих статистическую совокупность, большое значение имеют средние величины.
Статистическая совокупность содержит некоторое количество статистических величин, имеющих, как правило, разные значения и признаки, что делает невозможным сравнение нескольких совокупностей в целом. Для этой цели применяется средняя величина как обобщающий показатель совокупности,характеризующий уровень изучаемого явления или процесса.
Средний показатель (величина) является обобщающей характеристикой совокупности однотипных явлений по одному количественному признаку. Он выражает величину признака, отнесённую к единице однородной совокупности. Средняя величина должна вычисляться с учётом экономического содержания определяемого показателя. Она является отражением значений изучаемого признака, следовательно, измеряется в той же размерности, что и этот признак.
Средняя величина всегда обобщает количественное выражение признака и погашает индивидуальные различия статистических величин совокупности, вызванные случайными обстоятельствами. Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности.
В отличие от средней абсолютная величина, характеризующая уровень признака отдельной единицы совокупности, не позволяет сравнивать значения признака у единиц, относящихся к разным совокупностям. Так, если нужно сопоставить уровни оплаты труда работников на двух предприятиях, то нельзя сравнивать по данному признаку двух работников разных предприятий. Оплата труда выбранных для сравнения работников может быть не типичной для этих предприятий. Если же сравнивать размеры фондов оплаты труда на рассматриваемых предприятиях, то не учитывается численность работающих и, следовательно, нельзя определить, где уровень оплаты труда выше. В конечном итоге сравнить можно лишь средние показатели, т. е. сколько в среднем получает один работник на каждом предприятии. Таким образом, возникает необходимость расчёта средней величины как обобщающей характеристики совокупности.
Средний показатель отражает общее свойство всей совокупности. Вычисление среднего – один из распространенных приёмов обобщения; средний показатель обозначает то общее, что характерно (типично) для всех единиц изучаемой совокупности, в то же время он игнорирует различия отдельных единиц. В каждом явлении и его развитии имеет место сочетание случайности и необходимости. При исчислении средних в силу действия закона больших чисел случайности взаимопогашаются, уравновешиваются, поэтому можно абстрагироваться от несущественных особенностей явления, от количественных значений признака в каждом конкретном случае. В способности абстрагироваться от случайности отдельных значений, колебаний и заключена научная ценность средних как обобщающих характеристик совокупностей. Способность среднего показателя сохранять свойства статистической совокупности является его определяющим свойством. Это понятие было сформулировано А. Я. Боярским и О. Кизини. Сущность средней заключается в том, что, хотя она является обобщающей характеристикой всей статистической совокупности, но при этом ориентируется на определённую величину, связанную со всеми единицами совокупности.
Но по значению средней величины нельзя делать принципиальные выводы. Так, если один ученик имеет тетрадь в 48 листов, а другой – ни одной, то в среднем получается по 2 у.ш.т. на ученика. Но из этого нельзя заключать, что все ученики школьными тетрадями обеспечены.
Статистические средние рассчитываются на основе массовых данных правильно статистически организованного массового наблюдения (сплошного и выборочного). Однако статистическая средняя будет объективна и типична, если она рассчитывается по массовым данным для качественно однородной совокупности (массовых явлений). Например, если рассчитывать среднюю заработную плату в коммерческих предприятиях и на госпредприятиях, а результат распространить на всю совокупность, то средняя фиктивна, так как рассчитана по неоднородной совокупности, и такая средняя теряет всякий смысл. Средние величины должны определяться не для всех совокупностей, а только для тех, которые являются однородными. Средние величины, полученные для неоднородных совокупностей, не только не имеют ценности, но даже могут принести вред, искажая истинный характер общественного явления.
Значение средней величины в следующем: их используют для оценки результатов использования научных разработок в производстве, в социальной жизни, а также в изыскании скрытых и неиспользованных резервов. Средние величины характеризуют качественные показатели коммерческой деятельности: издержки обращения, прибыль, рентабельность и др.
В виде средних величин учитываются такие важные социально-экономические показатели, как:
1) плотность населения страны;
2) уровень жизни населения;
3) объём продаж и цена продукции за определённый период времени;
4) затраты предприятия.
Абсолютные показатели здесь мало применимы, поскольку они могут значительно колебаться в различных регионах.
Правильное понимание сущности средних показателей определяет их особую значимость в условиях рыночной экономики, когда средняя через единичное и случайное позволяет выявить общее и необходимое, отразить достигнутый на данный момент времени уровень развития объекта, выявить тенденции, закономерности дальнейшего экономического развития.
Средние показатели позволяют:
1) заменить отдельные значения признака на одно представительное значение (агрегирование);
2) сравнивать результаты для одного и того же признака в различных совокупностях.
Для того чтобы средний показатель был действительно типизирующим, отражал реальный уровень состояния изучаемого объекта, он должен рассчитываться с учётом определённых принципов и требований. В статистике соблюдаются следующие принципы применения средних величин:
1. Необходим обоснованный выбор статистической совокупности, для которой определяется средняя величина.
2. Средняя должна исчисляться для совокупности, состоящей из достаточно большого числа единиц. Репрезентативность средних показателей в экономических расчётах, как правило, достигается при наличии минимум 25-30 единиц статистической совокупности, особенно если их значения сильно отличаются. Наиболее объективный характер имеет средняя, рассчитанная по исчерпывающему кругу явлений.
3. При определении средней величины исходят из качественного содержания статистических величин, учитывая возможную взаимосвязь изучаемых признаков.
4. Средняя величина должна рассчитываться по качественно однородной совокупности, которая позволяет применять метод группировки, предполагающий расчёт системы обобщающих показателей.
5. Общая средняя величина должна подкрепляться и поясняться групповыми средними величинами.
Главное требование к формуле расчёта среднего значения заключается в том, чтобы все этапы расчёта имели реальное содержательное обоснование; полученное среднее значение должно заменить индивидуальные значения признака у каждого объекта без нарушения связи индивидуальных и сводных показателей. Иначе говоря, средняя величина должна исчисляться так, чтобы при замене каждого индивидуального значения осредняемого показателя его средней величиной оставался без изменения некоторый итоговый сводный показатель, связанный тем или другим образом с осредняемым. Этот итоговый показатель называется определяющим, поскольку характер его взаимосвязи с индивидуальными значениями определяет конкретную формулу расчёта средней величины.
Каждая средняя величина характеризует изучаемую совокупность по какому-либо одному признаку. Чтобы получить полное и всестороннее представление об изучаемой совокупности по ряду существенных признаков в целом, необходимо располагать системой средних показателей, которые могут описать явление с разных сторон.
Средние показатели делятся на два больших класса: степенные средние (аналитические, порядковые) и структурные средние (позиционные).
Рассмотрим общую формулу степенной средней величины.
Осреднённый признак – тот признак, по которому находится средняя величина, обозначается 
.
В общем виде структура степенной средней состоит из следующих элементов:
1). Варианты – индивидуальные значения признака, по которым рассчитывается средняя, величина усредняемого признака у каждой единицы совокупности, обозначается 
.
2). Объём статистической совокупности – число единиц в изучаемой совокупности, объём усредняемого признака, количество вариант, обозначается n.
3). Частота (вес) – показатель повторяемости вариант в статистической совокупности, обозначается fi.
4). Объём частот определяется через произведение варианты и частоты, обозначается как 
, i=1, 2, …, n.
5). Частость (доля, удельный вес) – отношение частоты повторения индивидуального значения признака к сумме всех частот: 
6). Степень средней, обозначается k.
Степенные средние, в зависимости от представления отдельных величин, могут быть простыми и взвешенными.
Простая степенная средняя рассчитывается при наличии двух и более статистических величин, расположенных в произвольном порядке. Общая формула простой средней величины имеет вид:
Взвешенная степенная средняя величина рассчитывается по сгруппированным статистическим величинам с использованием следующей общей формулы:
В зависимости от показателя степени k выделяют различные виды степенной средней:
1) при k=-1 – средняя гармоническая;
2) при k=0 – средняя геометрическая;
3) при k=1 – средняя арифметическая;
4) при k=2 – средняя квадратическая;
5) при k=3 – средняя кубическая;
6) при k=4 – средняя биквадратическая.
1). Средняя арифметическая (k=1) является самым распространённым видом средних величин. Она исчисляется в тех случаях, когда объём варьирующего признака для всей совокупности образуется как сумма значений признака отдельных её единиц.
Средняя арифметическая простая (невзвешенная) равна сумме отдельных значений признака, делённой на число этих значений:
.
Средняя арифметическая как величина теоретическая может принимать такое числовое значение, которое не встречается в представленной совокупности индивидуальных значений признаков.
Средняя арифметическая взвешенная учитывает частоту повторяемости варианты:
, 
.
Средняя арифметическая взвешенная зависит не только от индивидуальных значений признака, но и от соотношения их частот (весов). Чем большие веса имеют малые значения вариант, тем меньше величина средней, и наоборот.
| средняя арифметическая простая |
| средняя арифметическая взвешенная |
Средняя арифметическая обладает некоторыми математическими свойствами:
| Свойство | Формула расчёта |
| Основные | |
| 1. Средняя от постоянной величины равна ей самой | 
|
| 2. Сумма отклонений индивидуальных значений признака (вариант) от средней арифметической равна нолю (нулевое свойство) | 
или
|
| 3. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака (вариант) от средней арифметической есть наименьшее число (минимальное свойство) | 
или
|
| Производные (расчётные) | |
| 4. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений отдельных вариантов на соответствующие им частоты | 
|
| 5. Увеличение (уменьшение) каждой варианты на какое-либо произвольное число увеличивает (уменьшает) среднюю на то же число | 
или
|
| 6. Умножение (деление) каждой варианты на какое-либо произвольное число увеличивает (уменьшает) среднюю во столько же раз | 
или
|
| 7. Изменение всех частот (весов) в одно и то же число раз не изменяет величину средней | 
|
| 8. Общий множитель вариант может быть вынесен за знак средней | 
|
| 9. Средняя суммы (разности) двух или нескольких величин равна сумме (разности) их средних | 
|
Пример 1.
5 рабочих токарей делают одинаковые детали за смену: первый – 12, второй – 9, третий – 11, четвертый – 13, пятый – 15.
Определить среднюю производительность труда рабочих.
Исходные данные не повторяются, поэтому используем простую среднюю арифметическую величину:
= 
= 
= 12.
Пример 2.
Определить среднюю грузоподъёмность одного крана, если имеется:
Число кранов (  )
| Грузоподъёмность, тонн (х) |
| 1 | 40 |
| 2 | 25 |
| 3 | 10 |
| 4 | 5 |
| Итого 10 |
Для сгруппированных данных применяем среднюю арифметическую взвешенную:
тонн.
Определение средней арифметической по данным интервального вариационного ряда происходит следующим образом: для каждого ряда определяется среднее значение интервала как полусумма его нижнего и верхнего значения вариант, а далее расчёт ведётся по формуле средней арифметической взвешенной.
Пример 3.
Распределение рабочих цеха по производительности
| Производительность, шт. | Среднее значение xi | Количество рабочих fi |
| 0-5 | 2,5 | 146 |
| 5-10 | 7,5 | 495 |
| 10-15 | 12,5 | 237 |
| 15-20 | 17,5 | 103 |
| 20 и более | 22,5 | 19 |
| Всего: | 1000 |
(лет)
В практике экономической статистики иногда приходится исчислять среднюю по групповым средним или по средним отдельных частей совокупности (частным средним). В таких случаях за варианты (х) принимаются групповые или частные средние, на основании которых исчисляется общая средняя как обычная средняя арифметическая взвешенная.
Если статистические данные представлены на определённый момент времени (дату) и интервалы времени между датами равны, то расчёт средней ведут по формуле средней хронологической простой, которая является частным случаем средней арифметической простой:
Пример 4.
Дан моментный ряд:
| 1.01 | 1.02 | 1.03 | 1.04 | |
| Численность рабочих, чел. | 100 | 108 | 102 | 96 |
Определить среднюю численность рабочих за четыре месяца.
чел.
2). Средняя гармоническая (k=-1) вычисляется в тех случаях, когда приходится суммировать не сами варианты, а обратные им величины: 1/x1, 1/x2, …,1/xn. Это величина, обратная среднеарифметической. Она применяется, когда известны отдельные значения варьирующего признака и вся совокупность признаков, а частоты неизвестны.
Средняя гармоническая имеет более сложную конструкцию, чем средняя арифметическая. Среднюю гармоническую применяют для расчётов тогда, когда в качестве весов используются не единицы совокупности – носители признака, а произведения этих единиц на значения признака (т. е. w = xf).
Существует два вида среднегармонической.
Средняя гармоническая простая определяется:
К средней гармонической простой следует прибегать в случаях определения, например, средних затрат труда, времени, материалов на единицу продукции, на одну деталь по двум (трём, четырём и т. д.) предприятиям, рабочим, занятым изготовлением одного и того же вида продукции, одной и той же детали, изделия.
Пример 5.
Скорость по течению реки 60 км/ч., против течения – 40 км/ч. Определить среднюю скорость движения.
Весь путь S=1, но тем не менее путь проходят дважды, то S=2, V1=60 км/ч., V2=40 км/ч., тогда средняя скорость движения:
Средняя гармоническая взвешеннаяопределяется:
Пример 6.
Имеются данные о валовом сборе и урожайности зерновых культур по трём сельскохозяйственным предприятиям:
| С/х предприятие | Валовый сбор, ц | Урожайность, ц/га |
| 1 | 1000 | 20 |
| 2 | 1100 | 22 |
| 3 | 1440 | 24 |
| w | 
|
Определить среднюю урожайность.
Валовый сбор = урожайность 
площадь.
Частота – площадь посевов.
| средняя гармоническая простая |
| средняя гармоническая взвешенная |
3). Средняя геометрическая (k=0) используется в тех случаях, если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменным произведение индивидуальных величин.
На практике используется для вычисления среднего коэффициента роста в рядах динамики.
Формула средней геометрической простой
используется чаще всего при расчёте среднего значения по индивидуальным относительным величинам динамики.
При неравенстве отрезков времени при определении динамики используются частоты f, и расчёт ведётся по формуле средней геометрической взвешенной:
= 
Средняя геометрическая применяется, если задана последовательность цепных относительных величин динамики, указывающих, например, на рост объёма производства по сравнению с уровнем предыдущего года.
| средняя геометрическая простая |
| средняя геометрическая взвешенная |
4). Средняя квадратическая (k=2) применяется в тех случаях, если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин.
На практике используется, например, при расчёте средних диаметров труб, стволов деревьев, а также для вычисления среднего квадратического отклонения и других показателей вариации.
| средняя квадратическая простая |
| средняя квадратическая взвешенная |
Таблица 2. Виды средних степенных величин
| k | Наименование средней | Формула средней | Когда используется |
| 11 | Средняя арифметическая простая (невзвешенная) |  , где xi – i-й вариант осредняемого признака (  ); n – число вариант
| Используется, когда расчёт осуществляется по несгруппированным данным |
| 1 | Средняя арифметическая взвешенная |  , где fi – частота повторяемости i-го варианта
| Используется, когда данные представлены в виде рядов распределения или группировок |
| -1 | Средняя гармоническая взвешенная |  , где  .
| Используется, когда известны индивидуальные значения признака и веса W за ряд временных интервалов |
| -1 | Средняя гармоническая невзвешенная | 
| Используется в случае, когда веса равны |
| 0 | Средняя геометрическая невзвешенная | 
| Используется в анализе динамики для определения среднего темпа роста |
| 0 | Средняя геометрическая взвешенная | 
| |
| 2 | Средняя квадратическая невзвешенная | 
| Используется при расчете показателей вариации |
| 2 | Средняя квадратическая взвешенная | 
|
Если рассчитать все виды средних для одних и тех же исходных данных, то значения их окажутся неодинаковыми. Здесь действует правило мажорантности средних (впервые сформулировал профессор А. Я. Боярский): с ростом показателя степени k в общей формуле увеличивается и соответствующее значение средней величины:
В статистической практике чаще, чем остальные виды средних взвешенных, используются средние арифметические и средние гармонические взвешенные.
Средние структурные показатели
Особый вид средних величин – структурные средние – применяется для изучения внутреннего строения рядов распределения значений признака, а также для оценки средней величины (степенного типа), если по имеющимся статистическим данным её расчет не может быть выполнен.
Структурные средние, в отличие от степенных средних, которые в значительной степени являются абстрактной характеристикой совокупности, выступают как конкретные величины, совпадающие с вполне определёнными вариантами совокупности. Это делает их незаменимыми при решении ряда практических задач.
Наиболее широко применяются в статистике такие разновидности структурных средних, как мода и медиана.
1). Мода (Мо) представляет собой значение признака (варианты), повторяющееся в изучаемой совокупности с наибольшей частотой.
В дискретном ряду мода – это варианта с наибольшей частотой.
В интервальном ряду модой считают центральную варианту модального интервала. В пределах интервала надо определить то значение признака, который обладает наибольшей частотой. Для определения моды используют следующую формулу:
, где:
- нижняя граница модального интервала;
- величина модального интервала;
- частота модального интервала;
- частота, следующая за модальным интервалом;
- частота, предшествующая модальному интервалу.
Мода обладает определённой устойчивостью к вариации признака. Если в совокупности первичных признаков нет повторяющихся значений, то для определения моды проводят группировку.
Модальные показатели широко используются в экономическом анализе. Например, при изучении рыночной конъюнктуры обычно рассчитывается модальная цена, т. е. цена, по которой продаётся максимальное количество товаров того или иного вида.
2). Медианой (Ме) называют значение признака, приходящееся на середину упорядоченной (ранжированной в возрастающем или убывающем порядке) совокупности. Медиана делит ряд на две одинаковые части таким образом, чтобы по обе её стороны находилось одинаковое число единиц совокупности. В итоге у одной половины единиц совокупности значение признака больше медианного уровня, а у другой – меньше его.
В ранжированных рядах несгруппированных данных нахождение медианы сводится к отысканию порядкового номера и значения варианты у этого номера.
В дискретном ряду с нечётным числом членов медианой является варианта, расположенная в центре ряда. Её порядковый номер определяется по формуле:
.
В дискретном ряду с чётным числом членов медианой будет являться среднее значение между двумя вариантами, определёнными по формуле:
.
Нахождение медианы в интервальных вариационных рядах требует предварительного определения интервала в котором находится медиана, т. е. медианного интервала – этот интервал характеризуется тем, что его накопленная частота равна или превышает половину общей суммы всех частот совокупности.
В зависимости от этого медиану определяют по формуле:
где 
- нижняя граница (начальное значение) медианного интервала;
- величина медианного интервала;
- сумма частот ряда;
- сумма накопленных частот до частоты медианного интервала;
- частота медианного интервала.
Также в интервальных вариационных рядах медиана может быть найдена с помощью кумуляты как значение признака, для которого
или 
.
Главное свойство медианы заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы всегда меньше, чем сумма отклонений вариант от любой другой величины: 
.
В симметричных рядах имеет место следующее соотношение моды, медианы и средней арифметической: 
.
В случае, если 
, имеет место левосторонняя асимметрия ряда.
В случае, если 
, имеет место правосторонняя асимметрия ряда.
1 2 3
1 – распределение с левосторонней асимметрией
2 – распределение с правосторонней асимметрией
3 – нормальное (симметричное) распределение
Мода и медиана,в отличие от степенных средних, являются конкретными характеристиками совокупности. Медиана – характеризует центр, вычисляется проще и не чувствительна к концам интервала. Мода – наиболее вероятное значение в изучаемой совокупности (например, наиболее возможные результаты).
Пример 7.
Определить медиану, если:
| Стаж рабочих, лет | Численность рабочих, чел. | Накопленные частоты |
| 0-5 | 146 | 146 |
| 5-10 | 495 | 641 |
| 10-15 | 237 | 878 |
| 15-20 | 103 | 981 |
| 20 и более | 19 | 1000 |
| Всего: | 1000 |
Вывод: из 1000 рабочих 500 чел. имеет стаж работы меньше 8,57 лет.
Пример 8.
Имеются данные о распределении работников предприятия по уровню среднемесячной заработной платы:
| № группы | Заработная плата, ден. ед. | Число работников, чел. | Сумма накопленных частот |
| 1 2 3 4 5 6 | 500-600 600-700 700-800 800-900 900-1000 свыше 1000 | 10 30 70 60 25 5 | 10 40 110 - - - |
Определить модальный размер и медианный интервал заработной платы.
Решение: Первоначально по наибольшей частоте признака определим модальный интервал. Наибольшее число работников (70 человек) имеют заработную плату в интервале 700-800 ден. ед., который и является модальным.
ден. ед.
Модальный доход показывает, что большинство работников получали заработную плату в размере 780 ден. ед.
Определяем медианный интервал, в котором находится порядковый номер медианы. Для этого подсчитаем сумму частот накопленным итогом до числа, превышающего половину объема совокупности (200/2=100).
В графе «сумма накопленных частот» значение 110 соответствует интервалу 700-800. Это и есть медианный интервал, в котором находится медиана.
ден. ед.
Из расчета видно, что половина работников предприятия имеют заработную плату до 785,7 ден. ед., а половина – выше этой суммы.
Пример 9.
По результатам зимней экзаменационной сессии студентов экономического факультета очной формы обучения было получено следующее распределение оценок:
| Балл оценки знаний студентов | 2 | 3 | 4 | 5 | Итого |
| Число оценок, полученных студентами | 6 | 75 | 120 | 99 | 300 |
Определить:
1) средний балл оценки знаний студентов;
2) модальный балл успеваемости;
3) медианное значение балла успеваемости.
Сделать вывод о характере данного распределения баллов.
Решение:
1). Средний балл оценки знаний студентов рассчитывается по формуле средней арифметической взвешенной, где в качестве весов выступает количество полученных оценок:
2). Модальным баллом успеваемости является 4, так как именно эта оценка в дискретном ряду распределения имеет наибольшую частоту – 120.
3). Так как данный ряд распределения является дискретным с чётным количеством единиц (300), то медиана расположена между 150 и 151 единицей совокупности. Медианный балл успеваемости равен 4, так как количество студентов, сдавших сессию на 2 и 3, равно 81 чел., что меньше 150, а количество студентов, сдавших сессию на 2, 3 и 4, равно 201 чел., что больше 151.
Поскольку значения средней, моды и медианы оказались равными друг другу, то распределение оценок студентов является симметричным.
Пример 10.
Дано следующее распределение студентов факультета по росту:
| Рост, см. | Численность студентов, чел. |
| До 162 162 – 166 166 – 170 170 – 174 174 – 178 178 – 182 182 и более | 30 55 90 125 130 50 20 |
| Итого: | 500 |
Определить среднюю величину, моду и медиану роста студентов.
Решение:
1). Данный ряд распределения является интервальным с величиной интервала, равной 4 см. Тогда нижняя граница первого интервала составляет: 162 – 4 = 158 см, а верхняя граница последнего интервала равна: 182 + 4 = 186 см.
Для расчёта среднего роста студентов будем брать середины каждого из интервалов: 160, 164, 168, 172, 176, 180 и 184 см. Подставляем данные значения в формулу средней арифметической взвешенной:
2). Модальный интервал – 174 – 178 см, так он имеет наибольшую частоту по сравнению с остальными интервалами – 130 чел.
Рассчитываем значение моды:
3). Для определения медианного интервала рассчитаем накопленные частоты:
| Рост, см. | Накопленная частота численности студентов, чел. |
| До 162 162 – 166 166 – 170 170 – 174 174 – 178 178 – 182 182 и более | 30 30+55=85 85+90=175 175+125=300 300+130=430 430+50=480 480+20=500 |
Полусумма частот – 250, значит медианный интервал – 170 – 174, так как его накопленная частота 300 больше 250.
Рассчитываем значение медианы:
Так как 
, то имеет место левосторонняя асимметрия ряда распределения.
Дата добавления: 2020-11-29; просмотров: 1562; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!